三角恒等变换学案专题.docx
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三角恒等变换学案专题
三角恒等变换
【考纲要求】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、两角和、差的正、余弦公式
要点诠释:
1.公式的适用条件(定义域):
前两个公式
对任意实数α,β都成立,这表明该公式是R上的恒等式;公式
中
2.正向用公式
,能把和差角
的弦函数表示成单角α,β的弦函数;反向用,能把右边结构复杂的展开式化简为和差角
的弦函数。
公式
正向用是用单角的正切值表示和差角
的正切值化简。
考点二、二倍角公式
1.在两角和的三角函数公式
时,就可得到二倍角的三角函数公式
:
;
;
。
要点诠释:
1.在公式
中,角α没有限制,但公式
中,只有当
时才成立;
2.余弦的二倍角公式有三种:
=
=
;解题对应根据不同函数名的需要,函数不同的形式,公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。
3.二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式,其它如4α是2α的二倍,
,
的二倍等等,要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系,才能熟练地应用二倍角公式,这是灵活运用这些公式的关键。
考点三、二倍角公式的推论
降幂公式:
;
;
.
万能公式:
;
.
半角公式:
;
;
.
其中根号的符号由
所在的象限决定.
要点诠释:
(1)半角公式中正负号的选取由
所在的象限确定;
(2)半角都是相对于某个角来说的,如
可以看作是3α的半角,2α可以看作是4α的半角等等。
(3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z)
正切还有另外两个半角公式:
,这两个公式不用考虑正负号的选取问题,但是需要知道两个三角函数值。
常常用于把正切化为正余弦的表达式。
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