第五章 学案6.docx
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第五章学案6
学案6 向心加速度
[学习目标定位]1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.
一、对圆周运动的认识
1.圆周运动的速度方向不断变化,一定是变速运动,必定有加速度.
2.实例分析
(1)地球受太阳的引力方向指向地球轨迹圆的圆心;地球加速度的方向也指向圆心.
(2)光滑桌面上的小球由于细线的牵引绕桌面上的图钉做匀速圆周运动,小球受重力、支持力、拉力的作用,合力指向圆心,加速度的方向指向圆心.
二、向心加速度
1.定义:
任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心,这个加速度叫做向心加速度.
2.大小:
an=
=ω2r.
3.方向:
总是沿着圆周运动的半径指向圆心.
一、向心加速度的方向
[问题设计]
如图1甲所示,表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的);如图乙所示,表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.分析地球和小球的运动,并回答以下问题:
甲 乙
图1
(1)在匀速圆周运动过程中,地球、小球的运动状态发生变化吗?
若变化,变化的原因是什么?
(2)分析地球受到什么力的作用?
这个力沿什么方向?
小球受到几个力的作用,合力沿什么方向?
(3)根据牛顿第二定律,分析地球和小球的加速度方向变化吗?
匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢?
答案
(1)地球和小球的速度方向不断发生变化,所以运动状态发生变化.运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用.
(2)地球受到太阳的引力作用,方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、绳的拉力作用,合力等于绳的拉力,方向沿半径指向圆心.
(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致,所以地球和小球的加速度都是沿半径指向圆心.
加速度的方向时刻指向圆心,所以方向不断变化.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.
[要点提炼]
1.向心加速度的方向:
总指向圆心,方向时刻改变.
2.向心加速度的作用:
向心加速度的方向总是与速度方向垂直,故向心加速度的作用只改变速度的方向,对速度的大小无影响.
3.圆周运动的性质:
不论向心加速度an的大小是否变化,其方向时刻改变,所以圆周运动的加速度时刻发生变化,圆周运动是变加速曲线运动.
二、向心加速度的大小
[问题设计]
1.阅读教材“做一做:
探究向心加速度大小的表达式”,了解向心加速度的推导过程.
答案 物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点,转过的角度为Δθ,如图所示,因为vA与OA垂直,vB与OB垂直,且vA=vB,OA=OB,所以△OAB与vA、vB、Δv组成的矢量三角形相似.
用v表示vA和vB的大小,用Δl表示弦AB的长度,则有
=
或Δv=Δl·
用Δt除上式得
=
·
当Δt趋近于零时,
表示向心加速度an的大小,此时弧AB对应的圆心角Δθ很小,弧长和弦长相等,所以Δl=rΔθ,代入上式可得an=
=
·
=ω2r,又由v=ωr可得an=
.
2.请利用ω、v、T的关系推导向心加速度与ω或T的关系.
答案 由an=
和v=ωr可得an=ω2r
由an=ω2r和ω=
可得an=(
)2r
由an=(
)2r和n=
可得an=(2πn)2r
[要点提炼]
1.向心加速度公式
(1)基本公式:
①an=
,②an=ω2r
(2)拓展公式:
①an=
r,②an=ωv.
2.向心加速度的物理意义:
描述线速度方向变化的快慢.
3.向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动,且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心.
[延伸思考]
甲同学认为由公式an=
知向心加速度an与运动半径r成反比;而乙同学认为由公式an=ω2r知向心加速度an与运动半径r成正比,他们两人谁的观点正确?
说一说你的观点.
答案 他们两人的观点都不正确.当v一定时,an与r成反比;当ω一定时,an与r成正比.(an与r的关系图象如图所示)
一、对向心加速度的理解
例1
下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A.向心加速度的方向始终指向圆心
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化
解析 向心加速度的方向时刻指向圆心,A正确;向心加速度的大小不变,方向时刻变化,故B、C、D错误.
答案 A
针对训练 关于向心加速度,下列说法正确的是( )
A.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B.向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量
C.向心加速度时刻指向圆心,方向不变
D.向心加速度是平均加速度,大小可用a=
来计算
答案 B
解析 加速度是描述速度变化快慢的物理量,向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,因此A错、B对.虽然向心加速度时刻指向圆心,但是沿不同的半径指向圆心,所以方向不断变化,C错.加速度公式a=
适用于平均加速度的计算,向心加速度是瞬时加速度,D错.
二、向心加速度大小的计算
例2
如图2所示,一个大轮通过皮带拉着小轮转动,皮带和两轮之间无滑动,大轮的半径是小轮的2倍,大轮上的一点S到转动轴的距离是大轮半径的
.当大轮边缘上P点的向心加速度是12m/s2时,大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少?
图2
解析 同一轮子上的S点和P点角速度相同:
ωS=ωP,由向心加速度公式an=ω2r可得:
=
,则anS=anP·
=12×
m/s2=4m/s2.
又因为皮带不打滑,所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等:
vP=vQ.
由向心加速度公式an=
可得:
=
.
则anQ=anP·
=12×
m/s2=24m/s2
答案 4m/s2 24m/s2
例3
如图3所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象,其中A为双曲线的一个分支,由图可知( )
图3
A.A物体运动的线速度大小不变
B.A物体运动的角速度大小不变
C.B物体运动的角速度大小不变
D.B物体运动的角速度与半径成正比
解析 因为A为双曲线的一个分支,说明a与r成反比,由a=
可知,A物体的线速度大小不变,故A对,B错;而OB为过原点的直线,说明a与r成正比,由a=ω2r可知,B物体的角速度大小不变,故C对,D错.
答案 AC
1.(对向心加速度的理解)关于向心加速度,下列说法正确的是( )
A.向心加速度是描述线速度变化的物理量
B.向心加速度既改变线速度的方向,又改变线速度的大小
C.向心加速度大小恒定,方向时刻改变
D.物体做非匀速圆周运动时,向心加速度的大小也可用an=
来计算
答案 D
解析 加速度是描述速度变化快慢的物理量,向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,因此A、B错;只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定,故C错,D对.
2.(对向心加速度的理解)如图4所示,一圆环以直径AB为轴做匀速转动,P、Q、R是环上的三点,则下列说法正确的是( )
图4
A.向心加速度的大小aP=aQ=aR
B.任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同
C.线速度vP>vQ>vR
D.任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
答案 C
解析 圆环各处的角速度相等由a=ω2r知aP>aQ>aR,故A错误;由v=ωr知vP>vQ>vR,故C正确.由于向心加速度总是指向圆心,所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴,即P、Q、R三点向心加速度的方向相同,B错误;线速度方向都垂直于半径,故P、Q、R三点的线速度方向相同,D错误.
3.(向心加速度公式的应用)关于北京和广州随地球自转的向心加速度,下列说法中正确的是( )
A.它们的方向都是沿半径指向地心
B.它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度与广州的向心加速度大小相同
答案 B
解析 如图所示,
地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴,选项B正确,A错误;设地球半径为R0,在地面上纬度为φ的P点,做圆周运动的轨道半径R=R0cosφ,其向心加速度为an=ω2R=ω2R0cosφ.由于北京的地理纬度比广州的大,cosφ小,两地随地球自转的角速度相同,因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小,选项C、D错误.
4.(向心加速度大小的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动,如图5所示,某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的1/4圆弧轨道,该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接,运动员滑到C点时的速度大小为10m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力).
图5
答案 50m/s2,方向竖直向上 0
解析 运动员到达C点前的瞬间做圆周运动,加速度大小a=
=
m/s2=50m/s2,方向在该位置指向圆心,即竖直向上.运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动,加速度为0.
题组一 对向心加速度的理解
1.下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A.向心加速度越大,物体速率变化得越快
B.向心加速度的大小与轨道半径成反比
C.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
答案 C
解析 向心加速度只改变速度方向,故A不正确.向心加速度可用an=
或an=ω2r表示,不知线速度和角速度的变化情况,无法确定向心加速度的大小与轨道半径的关系,故B错误.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直,在圆周运动中始终指向圆心,方向在不断变化,不是恒量,故匀速圆周运动不是匀变速运动,而是变加速运动,故C正确,D错误.
2.做匀速圆周运动的两物体甲和乙,它们的向心加速度分别为a1和a2,且a1>a2,下列判断正确的是( )
A.甲的线速度大于乙的线速度
B.甲的角速度比乙的角速度小
C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D.甲的速度方向比乙的速度方向变化快
答案 D
解析 由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系,故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系,A、B、C错.向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量,a1>a2,表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快,D对.
3.下列说法正确的是( )
A.匀速圆周运动的速度大小保持不变,所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B.做匀速圆周运动的物体,虽然速度大小不变,但方向时刻在改变,所以必有加速度
C.做匀速圆周运动的物体,加速度的大小保持不变,所以是匀变速(曲线)运动
D.匀速圆周运动的加速度大小虽然不变,但方向始终指向圆心,加速度的方向发生了变化,所以匀速圆周运动既不是匀速运动,也不是匀变速运动
答案 BD
解析 加速度恒定的运动才是匀变速运动,向心加速度的方向时刻改变.匀速圆周运动是速度的大小不变、而速度的方向时刻变化的运动,所以B、D正确.
4.关于匀速圆周运动,下列说法正确的是( )
A.由an=
可知,an与r成反比
B.由an=ω2r可知,an与r成正比
C.由v=ωr可知,ω与r成反比
D.由ω=2πn可知,ω与n成正比
答案 D
解析 物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立.当线速度一定时,向心加速度与半径成反比;当角速度一定时,向心加速度与半径成正比.对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论.正确选项为D.
题组二 向心加速度大小的计算
5.A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动,A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍,A的转速为30r/min,B的转速为15r/min.则两球的向心加速度之比为( )
A.1∶1B.2∶1C.4∶1D.8∶1
答案 D
解析 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB=nA∶nB=2∶1,所以两小球的向心加速度之比aA∶aB=ω
RA∶ω
RB=8∶1,D正确.
6.一小球被细线拴着做匀速圆周运动,其半径为R,向心加速度大小为an,则( )
A.小球相对于圆心的位移不变
B.小球的线速度大小为
C.小球在时间t内通过的路程s=
D.小球做圆周运动的周期T=2π
答案 BD
解析 小球做匀速圆周运动,各时刻相对圆心的位移大小不变,但方向时刻在变.
由an=
得v2=Ran,所以v=
小球在时间t内通过的路程s=vt=t
小球做圆周运动的周期T=
=
=2π
7.如图1所示为摩擦传动装置,B轮转动时带动A轮跟着转动,已知转动过程中轮缘间无打滑现象,下列说法中正确的是( )
图1
A.A、B两轮转动的方向相同
B.A与B转动方向相反
C.A、B转动的角速度之比为1∶3
D.A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1
答案 BC
解析 A、B两轮属齿轮传动,A、B两轮的转动方向相反,A错,B对.A、B两轮边缘的线速度大小相等,由ω=
知,
=
=
,C对.根据a=
得,
=
=
,D错.
8.如图2所示,一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度ω匀速转动,A、B为球体上两点.下列说法中正确的是( )
图2
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点具有相同的向心加速度
D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心
答案 A
解析 A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动,转一周所用的时间相等,故角速度相等,有ωA=ωB=ω,选项A正确.A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直,交点为圆心,故A点做圆周运动的半径为rA=Rsin60°;同理,B点做圆周运动的半径为rB=Rsin30°,所以A、B两点的线速度分别为:
vA=rAω=
Rω,vB=rBω=
Rω,显然vA>vB,选项B错误.A、B两点的向心加速度分别为:
aA=rAω2=
Rω2,aB=rBω2=
Rω2,显然,A、B两点的向心加速度不相等,且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心,并不指向球心,故选项C、D错误.
9.如图3所示,一小物块以大小为a=4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动,半径R=1m,则下列说法正确的是( )
图3
A.小物块运动的角速度为2rad/s
B.小物块做圆周运动的周期为πs
C.小物块在t=
s内通过的位移大小为
m
D.小物块在πs内通过的路程为零
答案 AB
解析 因为a=ω2R,所以小物块运动的角速度为ω=
=2rad/s,周期T=
=πs,选项A、B正确;小物块在
s内转过
,通过的位移为
m,在πs内转过一周,通过的路程为2πm,选项C、D错误.
题组三 综合应用
10.如图4所示,质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中,如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变,那么( )
图4
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变,方向时刻改变,但不一定指向圆心
D.加速度大小不变,方向时刻指向圆心
答案 D
解析 由题意知,木块做匀速圆周运动,木块的加速度大小不变,方向时刻指向圆心,D正确,A、B、C错误.
11.一小球质量为m,用长为L的悬绳(不可伸长,质量不计)固定于O点,在O点正下方
处钉有一颗钉子.如图5所示,将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后,当悬线碰到钉子后的瞬间,则( )
图5
A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然减小到零
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球的向心加速度不变
答案 AC
解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力,故小球的线速度不能发生突变,由于做圆周运动的半径变为原来的一半,由v=ωr知,角速度变为原来的两倍,A正确,B错误;由a=
知,小球的向心加速度变为原来的两倍,C正确,D错误.
12.如图6所示,一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶,当轿车从A运动到B时,轿车和圆心的连线转过的角度为90°.求:
图6
(1)此过程中轿车的位移大小;
(2)此过程中轿车通过的路程;
(3)轿车运动的向心加速度大小.
答案
(1)85m
(2)94.2m
(3)15m/s2
解析 如图所示,v=30m/s,
r=60m,θ=90°=
.
(1)轿车的位移为从初位置A到末位置B的有向线段的长度,
即x=
r=
×60m≈85m.
(2)路程等于弧长,即l=rθ=60×
m=94.2m.
(3)向心加速度大小:
an=
=
m/s2=15m/s2
13.如图7所示,甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为R;乙做自由落体运动,当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小.
图7
答案
π2g
解析 设乙下落到A点所用时间为t,
则对乙,满足R=
gt2,得t=
,
这段时间内甲运动了
T,即
T=
①
又由于a=ω2R=
R②
由①②得,a=
π2g.
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