竞赛讲座应用题三.docx
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竞赛讲座应用题三
竞赛讲座(应用题三)
一、知识要点
数学应用题涉及的题材广泛,内容丰富。
大到卫星上天,小到日常生活,无时无地不体现数学的作用。
数学应用题我们不能局限于几种类型,主要的是要增强应用数学的意识,提高处理数学应用题的能力。
解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型,把数学应用题转化成一个数学问题来解决。
二、例题精讲
例1某果品商店进行组合销售,甲种搭配:
2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配:
3千克A水果,8千克B水果,1千克C水果;丙种搭配:
2千克A水果,6千克B水果,1千克C水果。
已知A水果每千克2元,B水果每千克1.2元,C水果每千克10元,某天该商店销售这三种搭配共得441.2元,其中A水果的销售额为116元,则C水果的销售额为元。
(2000年全国初中数学联合竞赛试题)
解:
设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套,依题意有
、
∴
消去x得:
31(y+z)=465,故y+z=15
所以,共卖出C水果15千克,C水果的销售额为1510=150
评注:
本题列出的是不定方程,要求出x、y、z是不可能的,但本题只要整体地求出y+z就行了。
例2某班参加一次智力竞赛,共a、b、c三题,每题或者得满分或者得0分。
其中题a满分20分,题b、题c满分分别为25分。
竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有一人,答对其中两道题的有15人。
答对题a的人数与答对题b的人数之和为29;答对题a的人数与答对题c的人数之和为25;答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。
问这个班平均成绩是多少分?
(1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)
解:
设答对题a、答对题b、答对题c的人数分别为x、y、z,则有
所以答对一题的人数为:
37-13-215=4
全班人数为:
1+4+15=20
故全班平均成绩为
答:
这个班平均成绩是42分
评注:
本题是通过设间接未知数来列方程,设未知数的方法一般和直接和间接两种。
例3在边防沙漠地带,巡逻车每天行驶200公里,每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。
现有5辆巡逻车同时从驻地A出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回),甲、乙两车行至途中B处后,仅留足自己返回驻地所必须的汽油,将多余的汽油留给另外三辆使用,问其它三辆可行进的最远距离是多少公里?
(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)
解:
设巡逻车行到途中B处用了x天,从B处到最远处用了y天,则有
2[3(x+y)+2x]=145,即5x+3y=35
又由题意,需x>0,y>0且145–(5+2)x≤143,即x≥4
从而问题的本质是在约束条件
之下,求y的最大值,
显然y=5,这样,200(4+5)=1800(公里)
所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里
例4龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格,这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒,它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。
铅笔比彩笔便宜30元,签字笔比圆珠笔贵,荧光笔比签字笔贵。
求出每种笔的价格。
(第一届汉城国际数学竞赛试题)
分析:
设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元,
每两种笔合在一起,可以得出10个和:
a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.
由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大,a+c次之,d+e最小,c+e次小,从而列出方程组。
解:
设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元,
每两种笔合在一起,可以得出10个和:
a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.
其中a+b最大,a+c次之,d+e最小,c+e次小。
所以
(1)-
(2)得:
b-c=50(5)
(5)+(3)得:
b+e=340(6)
在上面10个和中,c+d肯定小于b+d,但是否比b+e小,难以断定,现在b+e=340,
所以c+d=320(7)
(3)+(4)+(7)得2(c+d+e)=860所以c+d+e=430
从而可得:
c=180,d=140,e=110
进一步可得:
b=230,a=250
即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是250元、230元、180元、140元、110元
评注:
本题未知数多,方程也多,必须仔细分析题意,理清它们的关系,才能正确求解。
例5有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需3.15元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元。
现在购甲、乙、丙各一件共需多少元?
分析:
设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元,由题意,很容易得出二条方程,但二个方程三个未知数,无法求出x、y、z,实质上,此题的目标不是求x、y、z,而是求x+y+z,我们可以设法整体地求出x+y+z。
解:
设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元,由题意得:
设m(3x+7y+z)+n(4x+10y+z)=x+y+z
则(3m+4n)x+(7m+10n)y+(m+n)z=x+y+z
∴3m+4n=7m+10n=m+n=1,从而求得m=3,n=-2
∴x+y+z=3(3x+7y+z)-2(4x+10y+z)=33.15-24.20=1.05
答:
购甲、乙、丙各一件共需1.05元。
评注:
本题列出的是不定方程组,无法求出x、y、z,但本题的目标不是求x、y、z,而是求x+y+z,因此本题通过待定系数法求出x+y+z与3x+7y+z和4x+10y+z的关系,从而整体地求出x+y+z。
这是整体思想的体现。
例6某手表每小时比准确时间慢3分钟,若在清晨4点30分与准确时间对准,则在当天上午手表指示时间为10点50分时,准确时间应该是多少?
分析:
设所求的准确时间为x小时,则
小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分所慢的小时数,
小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分时,实际走的准确的小时数,因为手表每走1小时要慢
小时,所以
小时慢了
小时,则
=
解:
设所求的准确时间为x小时,由题意得:
=
解之得:
答:
准确时间应该是11点10分。
例7某出租车的收费标准是:
5千米之内起步费10.8元,往后每增加1千米增收1.2元。
现从A地到B地共支出车费24元,如果从A先步行460米,然后乘车到B也是24元,求从AB的中点C到B地需支付多少车费。
分析:
解决这个问题的关键是要计算出CB的路程,由于车费的计算方式是10.8+1.2n
n是乘车路程大于5千米部分所含1千米的个数,不足1千米也要算1千米,从A地到B地共支出车费24元,代入可计算出n=11,于是5+110 同样5+110 解: 设从A地到B地的路程为x千米, ∵ 则5+110 即15 于是 ,即C地到B地的路程在7.73千米到8千米之间, ∴从C地到B地应付车费10.8+1.23=14.4(元) 答: 乘车从AB的中点C到B地需支付14.4元车费。 例8某种饮料分两次提价,提价方案有三种。 方案甲是: 第一次提价m%,第二次提价n%;方案乙是: 第一次提价n%,第二次提价m%;方案丙是: 先后提价两次,每次提价 。 若m>n>0,则提价最多的方案是哪一种? 解: 设饮料原价格为1,则按甲提价方案提价后的价格是: (1+m%)(1+n%) 按乙提价方案提价后的价格是: (1+n%)(1+m%) 按丙提价方案提价后的价格是: (1+ )2 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的,因而只需比较(1+m%)(1+n%)与(1+ )2的大小 (1+m%)(1+n%)=1+m%+n%+m%n%=1+(m+n)%+m%n% (1+ )2=1+2• +( )2=1+(m+n)%+( )2 所以只要比较m%n%与( )2的大小即可 ∵( )2-m%n%= - = >0 ∴( )2>m%n%,即(1+ )2>(1+m%)(1+n%) 因此,丙种方案提价最多。 评注: 本题应用了比差法来比较大小,比差法是比较大小的最常用方法。 三、巩固练习 选择题 1、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么() (2000年全国初中数学竞赛试题) A、甲比乙大5岁B、甲比乙大10岁 C、乙比甲大10岁D、乙比甲大5岁 2、一次考试共有5道试题,考后成绩统计如下: 有81%的同学做对第一题,91%的同学做对第二题,85%的同学做对第三题,79%的同学做对第四题,74%的同学做对第五题。 如果做对三道题以上(包括三道)的同学为考试合格,则这次考试的合格率至少为() A、70%B、74%C、81%D、73% (第六届《祖冲之杯》数学邀请赛试题) 3、甲、乙、丙、丁四个拿出同样多的钱,合伙订购同样规格的若干货物。 货物买来后,甲、乙、丙分别比丁多拿了3,7,14件货物,最后结算时,乙付给丁14元,那么丙应付给丁()(第七届《祖冲之杯》数学邀请赛试题) A、28元B、56元C、70元D、112元 4、某旅馆底层客房比二层客房少5间,某旅游团有48人,若全部安排在底层,每间住4人,房间不够;而每间住5人,有的房间未住满。 又若全部安排在二层,每间住3人,房间不够;而每间住4人,有的房间未住满。 这家旅馆底层共有房间() A、9个B、10个C、11个D、12个 5、如果某一年的5月份中,有5个星期五,它们的日期之和为80,那么这个月的4日是星期() A、一B、三C、五D、日 6、有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张,全部用来购买一把价值为18元的雨伞,不同的付款方式共有() A、1种B、2种C、3种D、4种 填空题 7、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同,已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同,初三男生占全校男生的 ,那么全校女生占全校学生的. 8、在一家三口中,每两个人的平均年龄加上余下的一人的年龄,分别得到49,62,63,那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是. 9、某校初三学生在操场排队,站2排对齐恰剩1人,站3排对齐恰剩2人,站4排对齐恰剩3人,站5排对齐恰剩4人,站6排对齐恰剩5人,而站7排对齐恰无剩余,则该校初三学生最少有人. 10、某县有500名学生参加第七届《祖冲之杯》数学邀请赛,平均得分63分。 该县男生平均得分60分,女生平均得分70分,则该县参赛男生比女生多人. 11、在计算一个正数乘以3.5 时,某同学误将3.5 错写成3.57,结果与正确的答案相差1.4,则正确的乘积结果是. 12、99名学生去划船,大船每只可乘坐12人,小船每只可乘坐5人,如果这些学生把租来的船都坐满,则大船和小船应该分别租只。 解答题 13、某商店有甲、乙两种钢笔共143支,甲种钢笔每支6元,乙种钢笔每支3.78元,某学校购了该商店的乙种钢笔全部和部分甲种钢笔,经过核算后,发现应付款的总数与甲种钢笔的总数无关,问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几?
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