新湘教版八年级下 四边形教案.docx
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新湘教版八年级下四边形教案
课题:
2.1多边形
探研目标
1通过具体情景了解多边形的概念,掌握四边形和多边形的内角和。
2会利用多边形的内角和进行计算。
3通过多边形内角和公式的推导过程,培养学生的发散思维能力,逐步提高推理的能力。
4通过现实中抽象出多边形概念,让学生再次体会数学来源于生活,从而认识到数学的应用价值,提高学习数学的热情。
探研重点|
多边形的概念,四边形和多边形的内角和
探研难点
多边形内角和公式的推到过程
探研过程
一创设情境,导入新课
1三角形的内角和等于多少?
(180
)
2四边形的内角和等于多少呢?
为什么?
四边形的内角和等于360º,理由是:
连结AC,则四边形ABCD被分成了两个三角形,因此四边形的内角和等于一个三角形的内角和的2倍。
即:
2×180º=360º由此得到:
四边形的内角和等于360º
2观察下面图形,你能抽象出什么样的几何图形呢?
二合作交流,探究新知
1请你说一说什么叫多边形?
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
组成多边形的各条线段叫多边形的边,
每相邻两条边的公共端点叫多边形的顶点,
连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线,
相邻两边组成的角叫多边形的内角。
简称多边形的角。
说明:
我们的课本今后说的多边形都是凸多边形,即:
多边形总在一条边所在的直线的同旁。
2五边形的内角和
如图,五边形的内角和等于多少呢?
(交流讨论)估计学生会想到下面方法:
方法1
连结AD,AC,则五边形别两条对角线分成了三个三角形,所以五边形的内角和等于3×180º=540º
方法2
在五边形内取一点O,连结OA,OB,OC,OD,OE,则五边形被分成了五个三角形,但这五个三角形中以O为顶点的五个角不是五边形的内角和,所以五边形的内角和是:
5×180º-360º=
5×180º-2×180º=(5-2)×180º=540º
引导学生把点O移到五边形的边上或者外面。
3多边形的内角和
根据方法2,(在多边形内取点O,把点O与多边形各个顶点连结)请你填写下表
图形
三角形个数
不是多边形的内角的和
多边形的内角和
六边形
七边形
n边形
归纳:
n边形的内角和等于(n-2)×180º
三应用迁移,巩固提高
例1如图,把△ABC的纸片沿着DE折叠,当点A落在四边形BCED内部时,则∠A与
∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请找以找这个规律,你发现的规律是()
A∠A=∠1+∠2,B2∠A=∠1+∠2,C3∠A=2∠1+∠2,D3∠A=2(∠1+∠2)
解:
∵∠ADE=
∠AED=
∴∠A=180º-(∠ADE+∠AED)
=180º-
-
=
(∠1+∠2)
例2
(1)十边形的内角和等于______.
(2)如果十边形的每一个内角都相等,那么每一个内角等于____.
三课堂练习,巩固提高P1141,2
补充:
1一个多边形的内角和不可能是()A560ºB1080ºC720ºD1800º
2一个多边形的内角和是2340º,这个多边形是____边形。
3一个多边形的边数增加1,内角和增加多少呢?
四反思小结,拓展提高这节课你有什么收获?
这节课我们学习了四边形的内角和和n边形的内角和,根据n边形的内角和公式,如果知道n就可以求出多边形的内角和,如果知道多边形的内角和就可以求出边数。
多边形的内角和公式我们是从五边形的内角和入手,然后把求法迁移到n边形,这种有特殊到一般的探究思路我们以后还会用到,请同学们用心领悟。
五作业P39A1,2,3B1
教学反思
课题:
多边形的外角和
探研目标
1.了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角;2.掌握多边形的外角和公式,利用内角和与外角和公式解决实际问题。
2.经历探索多边形的外角和公式的过程.进一步发展学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系;2.探索并了解多边形的外角和公式,进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
探研重点|
多边形的外角和公式及其应用
探研难点
多边形的外角和公式的应用
探研过程
教学过程:
一、创设情景、导入新课
小明沿一个五边形广场周围的小跑,按逆时针方
向跑步.
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时,身体转过的
(2)角是哪个角?
在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?
(3)在上图中,你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗?
你是怎样得到的?
下面大家来看小亮的思考:
如图所示,过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′,得到∠α、
∠β、∠γ、∠δ、∠θ,
其中:
∠α=∠1,∠β=∠2,
∠γ=∠3,∠δ=∠4,
∠θ=∠5.
大家看图,∠1、∠2、∠3、
∠4、∠5不是五边形的角,那是什么角呢?
它们的和叫什么呢?
(这五个角是
五边形的外角,它们的和叫外角
和.)我们这节课就来探讨多边
形的外角、外角和。
2、合作交流、解读探究
那什么是多边形的外角、外角和呢?
我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角.另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.
那么能不能由此得出:
多边形的外角和都等于360°呢?
能得证吗?
因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角,所以,n边形的外角和加内角和等于n·180°,内角和为(n-2)·180°,
因此,外角和为:
n·180°-(n-2)·180°=360°.
性质:
多边形的外角和都等于360°
由此可知,多边形的外角和与多边形的边数无关,它恒等于360°.下面想一想:
利用多边形外角和的结论,能不能推导多边形内角和的结论呢?
(因为对于n(n是大于或等于3的整数)边形,每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角.因此,n边形的内角和与外角和的和为n·180°,所以,n边形的内角和就等于
n·180°-360°=n·180°-2×180°=(n-2)·180°
指出:
四边形具有不稳定性。
三、应用迁移、巩固提高
例1、一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是几边形?
分析:
这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意,可列方程解答.
解:
设这个多边形是n边形,则它的内角和是(n-2)·180°,外角和等于360°,所以:
(n-2)·180°=5×360°
解得:
n=12
这个多边形是十二边形.
课堂练习
教材P38练习1、2、3
(一)右上图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分,这种多边形是几边形?
为什么?
解:
这种正多边形是正六边形,理由是:
设:
这个正多边形的一个内角为x°,则由题图得:
3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得:
n×120°=(n-2)×180°.解得n=6
(二)试一试
1.是否存在一个多边形,它的每个内角都等于相邻外角的
?
为什么?
解:
不存在,理由是:
如果存在这样的多边形,设它的一个外角为α,则对应的内角为180°-α,于是:
×α=180°-α,解得α=150°.
这个多边形的边数为:
360°÷150°=2.4,而边数应是整数,因此不存在这样的多边形.
2.在四边形的四个内角中,最多能有几个钝角?
最多能有几个锐角?
解:
最多能有三个钝角,最多能有三个锐角.理由是:
设四边形的四个内角的度数分别为:
α°,β°,γ°,δ°,则α+β+γ+δ=360°,α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°,否则α、β、γ、δ都大于90°.
α+β+γ+δ>360°.
同理最多能有三个小于90°.
四、教材P392、3、4、6
(2)、7
教学反思:
本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关,它恒等于360°,因而,求解有关多边形的角的计算题;有时直接应用外角和公式会比较简便。
课题:
平行四边形的性质
(一)
探研目标
1、使学生理解并掌握平行四边形的定义;
2、能根据定义探究平行四边形的性质;
3、了解平行四边形在生活中的应用实例,能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题。
探研重点|
平行四边形的定义,对角、对边相等的性质,以及性质的应用
探研难点
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算
探研过程
教学过程:
1、创设情境、引入新课
1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?
平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗?
你能总结出平行四边形的定义吗?
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是
平行四边形.
(2)表示:
平行四边形用符号“
”来表示.
如图,在四边形ABCD中,AB?
DC,AD?
BC,那么四边形ABCD是平行四边形.平行四边形ABCD记作“
ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
①∵AB//DC,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形;
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC,AD//BC.
注意:
平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线。
二、合作交流、解读探究
2、平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?
我们一起来探究一下.
让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以,它的边和角之间有什么关系?
度量一下,是不是和你猜想的一致?
(1)由定义知道,平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知,在平行四边形中,相邻的角互为补角.
(相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角.注意和第一章的邻角相区别.教学时结合图形使学生分辨清楚.)
(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等?
下面证明这个结论的正确性.
已知:
如图
ABCD,
求证:
AB=CD,CB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
分析:
作
ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ABC和△CDA,证明这两个三角形全等即可得到结论.
(作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线,可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题.)
证明:
连接AC,
∵ AB∥CD,AD∥BC,
∴ ∠1=∠3,∠2=∠4.
又 AC=CA,∴ △ABC≌△CDA(ASA).
∴ AB=CD,CB=AD,∠B=∠D.
又∠1+∠4=∠2+∠3,
∴ ∠BAD=∠BCD.
由此得到:
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.
平行四边形性质2平行四边形的对角相等.
用符号语言表示:
如图
小试牛刀:
如图:
在
ABCD中,根据已知你能得到哪些结论?
为什么?
小结:
平行四边形中知道其中一角可求出另外三个角的度数
三、应用迁移、巩固提高
例1、如图,四边形ABCD和BCEF均为平行四边形,AD=2cm,
∠A=65°,∠E=33°,求EF和∠BGC。
例2、如图,直线l1与l2平行,AB、CD是l1与l2之间的任意两条平行线段。
试问:
AB与CD是否相等?
为什么?
归纳:
夹在两平行线间的平行线段相等。
、
问:
上题中若AB、CD都垂直于l1与l2,则可得到什么结论?
归纳:
1、线段AB、CD叫做l1与l2的公垂线段。
2、两平行线的所有公垂线段相等。
练习:
1、教材P42练习1;
2、补充练习:
1.填空:
(1)在
ABCD中,?
A=
,则?
B=度,?
C=度,
?
D=度.
(2)如果
ABCD中,∠A—∠B=240,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(3)如果
ABCD的周长为28cm,且AB:
BC=2∶5,那么
AB=cm,BC=cm,CD=cm,CD=cm.
2、(选择)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是().
(A)对角相等(B)对角互补
(C)邻角互补(D)内角和是
3、如图:
在
ABCD中,如果EF∥AD,GH∥CD,
EF与GH相交与点O,那么图中的平行四边形一共有().
(A)4个(B)5个
(C)8个(D)9个
四、作业
教材P42练习2;
教材P49页第1题。
教学反思
1、平行四边形的概念。
2、平行四边形的性质定理及其应用。
3、两条平行线的距离。
4、学法指导:
在条件中有“平行四边形”你应该想到什么?
课题:
平行四边形的性质
(二)
探研目标
1、使学生掌握平行四边形对角线互相平分的性质;
2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题;
3、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力。
探研重点|
平行四边形的性质定理
探研难点
能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题。
探研过程
教学过程:
一、概念复习,情景引入。
画一个口ABCD,在这个图形中有那些线段相等?
这体现了平行四边形的哪些性质?
怎样发现这些性质的?
(通过回忆并再现旧知识的产生过程,让学生积累学习知识的方法,为新课做准备。
)
二、自主研究,探索新知。
画出平行四边形ABCD的对角线AC和BD,它们交于点O。
你还能得到图形有那些线段相等?
在让AC与BD画好后,细心观察,鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质,可用三角板量一量,也可采用其他的方法。
(初步尝试,体验产生悬念,造成认知冲突,激发学生探索的欲望。
)
三、交流归纳,获得新知。
学生观察、讨论,并年进行小组交流。
通过以上活动,你能得到哪些结论?
并由各小组派学生表述看法。
学生动手量,有的学生讨论如何进行折叠,动脑思考,议论,有的学生在思考如何证明OA=OC,OB=OD,有的学生讨论找全等三角形,最后得到:
OA=OC,OB=OD。
在学生得到OA=OC,OB=OD的基础上,概括出平行四边形的对角线的性质(若学生不能进行很好的叙述,可提示学生采用仿照性质定理1的方法进行叙述):
平行四边形的对角线互相平分。
已知:
如图,在口ABCD中,对角线AC,BD交于点O。
求证:
OA=OC,OB=OD。
证明:
∵在口ABCD中,AD∥BC(平行四边形的定义)
∴∠1=∠2,∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)。
又∵AD=BC(平行四边形的对边相等)。
∴⊿AOD≌⊿COB(ASA)。
∴OA=OC,OB=OD(全等三角形的对应边相等)。
归纳:
平行四边形的对角线互相平分
4、应用迁移、巩固提高
5、
例1、如图在口ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
AC=6,BD=10,CD=4.8。
试求△COD的周长。
例2、已知:
如图,口ABCD的对角线AC,BD交于点O。
过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E,F。
求证:
OE=OF。
开展讨论:
发现△DOF与△BOE,
△COF与△AOE可能全等。
点拨:
欲证OE=OF,
需证明哪两个三角形全等?
在本题证明完后,教师结合图形的适当变换对学生进行变式训练(主要结合下面的图形),而且在学生的解答中主要是思路的总结,
帮助学生总结出该类题目解答的要求是:
1利用平行四边形的对边的性质;
2②利用平行四边形对角线的性质;
3③寻找到合适的全等三角形来证明线段相等。
课堂练习:
1、教材:
P44练习1、2题
2、补充练习
(1)在口ABCD中,AC和BD交于点O,AB=4,△AOB的周长为16,求AC+BD的长度。
(2)已知O是口ABCD两条对角线的交点,AC=24cm,BC=38cm,OD=28cm,则⊿OBC的周长为__________。
(3)有没有这样的平行四边形,它的两条对角线长分别为14cm和20cm,它的一边长为18cm?
为什么?
若平行四边形的边长为xcm,则x的取值范围为多少?
(4)如图,口ABCD的对角线
AC,BD相交于点O。
已知AB=5cm,
△AOB的周长和△BOC的周长
相差3cm,则AD的长为__________。
(5)口ABCD的周长为40cm,⊿ABC的周长为25cm,则对角线AC长为()
A、5cmB、15cmC、6cmD、16cm
五、课堂小结:
1、学生复述平行四边形的性质。
方式一、结合平行四边形的定义和三个性质进行叙述:
六、作业:
教材:
P493题
补充:
已知:
如图,口ABCD的对角线AC与BD
相交于点O,E、F分别为OA,OC的中点。
求证:
△OBE≌△ODF。
教学反思
课题:
平行四边形的判定
(一)
探研目标
1、经历探究平行四边形判定方法的过程,掌握平行四边形的判定方法;
2、会判定一个四边形是不是平行四边形。
探研重点|
探索平行四边形的两种判别方法
探研难点
平行四边形的判别方法的理解和应用
探研过程
教学过程:
一、回顾交流,逆向思索
教师提问:
1.平行四边形定义是什么?
如何表示?
2.平行四边形性质是什么?
如何概括?
学生活动:
思考后举手回答:
回答:
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(教师在黑板上画出下图:
帮助学生直观理解)
平行四边形的定义可用来判定一个四边形是不是平行四边形。
回答:
2.平行四边形性质从边考虑:
(1)对边平行,
(2)对边相等,(3)对边平行且相等(“
”);从角考虑:
对角相等;从对角线考虑:
两条对角线互相平分.(借助上图直观理解).
教师归纳:
(投影显示)
二、合作交流、解读探究
教师活动:
教师与学生一起进行以下操作 ①画两条平行线MN和PQ。
②在直线MN,PQ上分别截取线段BC和AD,使BC=AD。
③提问:
四边形ABCD是否为平行四边形?
将学生带入新知识的探索之中,教师引导学生自己写出已知和求证,并利用三角形全等和平行四边形的定义加以证明。
当学生发现四边形ABCD为平行四边形后,教师将课堂教学引入重点程序,并以问题的形式层层展现,要求学生将上述发现表述成文字命题。
结构如下:
已知:
AD∥BC且AD=BC
求证:
四边形ABCD为平行四边形。
证明:
连结AC,
∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA
∵AD=BC,AC=CA
∴△ABE≌△CDF(ASA).∵AB=DC
∵四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)或∴△ABE≌△CDF(ASA)∴∠BAC=∠DCA∴AB∥CD,四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
归纳:
平行四边形判定定理1:
一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形
例1、已知四边形ABCD为平行四边形,E、F分别在边BC、AD上,且BE=
BC,FD=
AD,连接BF,DE。
求证:
四边形BEDF是平行四边形?
讨论:
一组对边平行,另一组对边
相等的四边形是不是平行四边形?
举反例:
等腰梯形
强调:
判定定理1
是一组对边平行且相等。
问题:
若四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是不是平行四边形?
教师引导学生自己写出已知和求证,并利用三角形全等和平行四边形的定义加以证明。
当学生发现四边形ABCD为平行四边形后,教师将课堂教学引入重点程序,并以问题的形式层层展现,要求学生将上述发现表述成文字命题。
已知:
四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
连结AC或BD,证全等三角形。
由此可以得到平行四边形判定定理2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、应用迁移、巩固提高
例2已知点E、H、F、G分别为平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,ED与AH、GC分别交于点A’,D’,BF与AH,GC分别交于点B’,C’,找出并证明图中有几个平行四边形。
例3、已知:
如右上图,
ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形BEDF是平行四边形.(全班学生一起完成,选派一人上来书写)
分析:
因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=DF,这需要证明△ABE与△CDF全等,由角角边即可.
证明:
略
练习:
课本P46练习1,2
四、课堂总结,发展潜能
平行四边形判定:
1.边的关系:
作业:
课本P49习题4,5题
教学反思
课题:
平行四边形的判定
(二)
探研目标
1、掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这些定理进行有关的论证和计算;
2、理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这些定理进行有关的论证和计算。
探研重点|
理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形,两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理
探研难点
判定定理的证明方法及运用
探研过程
复习导入
1.用定义法证明一个四边形是平行四边形时,要什么条件?
2.用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么?
3.平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达?
是否是真命题?
二、新课讲解:
设问:
“对角线互相平分的四边形是平行四边形。
”这一命题的前提什么?
结论又是什么?
活动:
用事先准备好的纸条按课本探究方法做,让学生判定这个四边形是否是平行四边形。
判定方法三:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
这个方法的前提是什么?
结论又是什么?
已知:
如图:
在四边形ABCD中,AC、BD相交于O,OA=OC,OB=OD。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
分析:
证明这个四边形是平行四边形
的方法有:
(1)两组对边分别相等;
(2)平行四边形的定义:
两组对边分别平行。
(较简单的)
小结:
由证明可得,只要有对角线互相平分,可判定这个四边形是平行四边形。
几何语言表达:
∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形
例题讲解:
1、课本P47例7。
(变式)如图,在
ABCD中,
E、F为对角线AC上的点,AE=CF。
求证:
四边形EBFD是平行四边形。
分析:
由题意可得OB=OD,
再由OA=OC,AE=CF,可得OE=OF。
可证四边形EBFD是平行四边形。
设问:
若是两组对角分别相等的四边形,
是不是平行四边形?
前提是什么?
结论是什么?
已知:
在四边形ABCD中,
∠A=∠C∠B=∠D。
求证:
四边形ABCD是平行四边形
(让学生板书,然后小结)
归纳:
平行四边形的判定定理:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
讨论:
教材P48议一议。
练习:
P48练习1、2
补充练习:
延长三角形ABC的中线BD至E,使DE=BD,
连结AE、CE,如图,求证:
∠BAE=∠
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