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511任意角
§5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
学习目标
1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同角的概念解决简单的问题.
导语
同学们,钟表是帮助我们掌握时间的好帮手,生活中我们经常听到时钟慢了5分钟,或时钟快了30分钟,应该如何校准?
再比如,我们一节课45分钟,时针、分针以及秒针分别旋转了多少度?
再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中,我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说,这些问题都和角度是分不开的,为了研究这些问题,我们开始今天的新课.
一、任意角的概念
问题1 在初中是如何定义角的?
角的范围是多少?
提示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形,角的范围是0°~360°.当然,我们还学习过锐角、直角、钝角、平角和周角,我们现在要研究的问题是这条射线旋转的方向问题、大小问题,还有是否可以任意旋转的问题.
知识梳理
1.角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
2.角的表示
如图所示,角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”,始边:
OA,终边:
OB,顶点:
O.
3.角的分类
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
4.任意角
我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
5.相反角
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为-α.
例1 若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( )
A.120°B.-120°C.-60°D.60°
答案 B
解析 由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,
即为-
×360°=-120°.
反思感悟 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属习惯,就好象正数和负数的规定一样.
跟踪训练1 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°,720°B.-60°,-720°
C.-30°,-360°D.-60°,720°
答案 B
解析 钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而
×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.
二、象限角
问题2 现在,我们把角的概念推广到了任意角,如何更形象的表示一个角?
提示 我们通常在直角坐标系内讨论角,为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
注意点:
(1)锐角是第一象限角,钝角是第二象限角,直角的终边在坐标轴上,它不属于任何一个象限;
(2)每一个象限都有正角和负角;(3)无法比较哪一个象限角的大小.
例2 在①160°;②480°;③-960°;④1530°这四个角中,属于第二象限角的是( )
A.①B.①②
C.①②③D.①②③④
答案 C
解析 ①160°很显然是第二象限角;
②480°=120°+360°是第二象限角;
③-960°=-3×360°+120°是第二象限角;
④1530°=4×360°+90°不是第二象限角,故选C.
反思感悟 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练2 (多选)下列叙述不正确的是( )
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
答案 ACD
解析 直角不属于任何一个象限,故A不正确;钝角是大于90°小于180°的角,是第二象限角,故B正确;由于120°是第二象限角,390°是第一象限角,120°<390°,故C不正确;由于零角和负角也小于180°,故D不正确.
三、终边相同的角
问题3 给定一个角,它的终边是否唯一?
若两角的终边相同,那么这两个角相等吗?
提示 给定一个角,它的终边唯一;两角终边相同,这两个角不一定相等,比如30°的终边和390°的终边相同,它们正好相差了360°的整数倍.
知识梳理
终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
例3 已知α=-1845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)-360°~720°之间的角.
解 因为-1845°=-45°+(-5)×360°,
即-1845°角与-45°角的终边相同,
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β=-45°+k·360°,k∈Z},
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为-45°.
(3)-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°.
反思感悟 终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
跟踪训练3
(1)下列角的终边与-53°角的终边在同一直线上的是( )
A.-37°B.53°C.233°D.127°
答案 D
解析 与-53°角的终边在同一直线上的角可表示为-53°+k·180°,k∈Z,当k=1时,-53°+180°=127°.
(2)若角2α与240°角的终边相同,则α等于( )
A.120°+k·360°,k∈Z
B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z
D.240°+k·180°,k∈Z
答案 B
解析 角2α与240°角的终边相同,
则2α=240°+k·360°,k∈Z,
则α=120°+k·180°,k∈Z.
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
例4 已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围.
解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°,k∈Z},终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z},因此,终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z}.
反思感悟
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的思想,因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
②将角转化到0°~360°范围内.在直角坐标平面内,在0°~360°之间没有两个角终边是相同的.
(2)表示区域角的三个步骤
第一步:
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α 第三步: 起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合. 跟踪训练4 已知,如图所示. (1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=k·360°+210°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=k·360°+300°,k∈Z}. (2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}. 1.知识清单: (1)正角、负角、零角的概念. (2)终边相同的角的表示. (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳: 数形结合、分类讨论. 3.常见误区: 锐角与小于90°角的区别,终边相同角的表示中漏掉k∈Z. 1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为α是锐角能推出α是第一象限角, 但是反之不成立,例如400°是第一象限角,但不是锐角, 所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件. 2.2021°是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 答案 C 解析 2021°=5×360°+221°, 所以2021°角的终边与221°角的终边相同,为第三象限角. 3.与-460°角终边相同的角可以表示成( ) A.460°+k·360°,k∈Z B.100°+k·360°,k∈Z C.260°+k·360°,k∈Z D.-260°+k·360°,k∈Z 答案 C 解析 因为-460°=260°+(-2)×360°, 故与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°,k∈Z. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是________________. 答案 {α|k·360°+45°<α 解析 观察图形可知,角α的集合是 {α|k·360°+45°<α 课时对点练 1.时针走过2小时40分,则分针转过的角度是( ) A.80°B.-80°C.960°D.-960° 答案 D 解析 40÷60= ,360°× =240°. 由于时针、分针都是顺时针旋转, ∴时针走过2小时40分,分针转过的角度为-2×360°-240°=-960°. 2.若α是第四象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 答案 C 解析 可以给α赋一特殊值-60°, 则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 3.如果角α的终边上有一点P(0,-3),那么α( ) A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 答案 D 解析 点P(0,-3)在y轴负半轴上,故α的终边为y轴的负半轴. 4.下面各组角中,终边相同的是( ) A.390°,690°B.-330°,750° C.480°,-420°D.3000°,-840° 答案 B 解析 因为-330°=-360°+30°,750°=2×360°+30°, 所以-330°与750°终边相同. 5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( ) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z} 答案 C 解析 如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}. 6.(多选)下列四个角为第二象限角的是( ) A.-200°B.100°C.220°D.420° 答案 AB 解析 -200°=-360°+160°,在0°~360°范围内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角,同理100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角. 7.1112°角是第________象限角. 答案 一 解析 ∵1112°=360°×3+32°,∴1112°的终边与32°的终边相同,均为第一象限角. 8.在0°~360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为________. 答案 120°,300° 解析 与角-60°的终边在同一条直线上的角可表示为β=-60°+k·180°,k∈Z. ∵所求角在0°~360°范围内, ∴0°≤-60°+k·180°≤360°, 解得 ≤k≤ ,k∈Z, ∴k=1或2. 当k=1时,β=120°; 当k=2时,β=300°. 9.已知α=-1910°. (1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°. 解 (1)α=-1910°=-6×360°+250°,它是第三象限角. (2)令θ=250°+n·360°(n∈Z), 取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 当n=-1时,θ=250°-360°=-110°; 当n=-2时,θ=250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 10.在平面直角坐标系中,用阴影表示下列集合: (1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}; (2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}. 解 (1)根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}对应的区域如图所示. (2)根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}对应的区域如图所示. 11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案 AC 解析 当k=2m+1(m∈Z)时, α=2m·180°+225°=m·360°+225°, 故α为第三象限角; 当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°, 故α为第一象限角. 故α的终边在第一或第三象限. 12.终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A.{α|α=k·360°,k∈Z} B.{α|α=k·180°+90°,k∈Z} C.{α|α=k·180°,k∈Z} D.{α|α=k·90°,k∈Z} 答案 D 解析 终边在坐标轴上的角为90°的整数倍, 所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}. 13.已知α为锐角,则2α为( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第一或第二象限角D.小于180°的角 答案 D 解析 因为α为锐角, 所以0°<α<90°,则0°<2α<180°. 14.若α为△ABC的一个内角,且4α与120°的终边相同,则α=________. 答案 120°或30° 解析 ∵4α=120°+k·360°,k∈Z, ∴α=30°+k·90°,k∈Z, 又∵0°<α<180°, ∴当k=1时,α=120°;当k=0时,α=30°. 15.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( ) A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈Z C.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z 答案 B 解析 方法一 (特值法)令α=30°,β=150°, 则α+β=180°. 方法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z, 即α+β=k·360°+180°,k∈Z. 16.若α是第二象限角,试分别确定2α, , 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限角, ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z), ∴2α的终边位于第三或第四象限,或在y轴的非正半轴上. 方法一 ∵45°+k·180°< <90°+k·180°(k∈Z), 当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°< <90°+n·360°(n∈Z); 当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°< <270°+n·360°(n∈Z),∴ 的终边位于第一或第三象限. ∵30°+k·120°< <60°+k·120°(k∈Z), 当k=3n(n∈Z)时,30°+n·360°< <60°+n·360°(n∈Z); 当k=3n+1(n∈Z)时,150°+n·360°< <180°+n·360°(n∈Z); 当k=3n+2(n∈Z)时,270°+n·360°< <300°+n·360°(n∈Z), ∴ 的终边位于第一、第二或第四象限. 方法二 将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示. ∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为 的终边所在的象限, ∴ 的终边位于第一或第三象限. 将坐标系的每个象限三等分,得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示. ∵α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为 的终边所在的象限, ∴ 的终边位于第一、第二或第四象限.
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