高三高考数学国步分项分类题及析答案玉.docx
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高三高考数学国步分项分类题及析答案玉
高三高考数学国步分项分类题及析答案玉
12-2坐标系与参数方程
基础巩固强化
1.(文)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A.直线、直线 B.直线、圆
C.圆、圆D.圆、直线
[答案] D
[解析] 由ρ=cosθ得ρ2=ρcosθ,∴x2+y2-x=0.此方程所表示的图形是圆.
消去方程中的参数t可得,x+y-1=0,此方程所表示的图形是直线.
(理)(2011·皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t∈R),圆的参数方程为(θ∈[0,2π)),则圆心C到直线l的距离为( )
A.0 B.2
C.D.
[答案] C
[解析] 化直线l的参数方程(t∈R)为普通方程为x-y+1=0,化圆的参数方程(θ∈[0,2π))为普通方程为(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0)到直线l的距离为=.
2.若直线的参数方程为(t为参数),则直线的倾斜角为( )
A.30°B.60°
C.120°D.150°
[答案] A
[解析] 由直线的参数方程知,斜率k====tanθ,θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为30°.
3.(文)(2011·北京市西城区高三模拟)在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A.ρ=cosθB.ρ=sinθ
C.ρcosθ=1D.ρsinθ=1
[答案] C
[解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为x=1,所以其极坐标方程为ρcosθ=1,故选C.
(理)在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线的方程是( )
A.ρcosθ=B.ρsinθ=
C.ρ=cosθD.ρ=sinθ
[答案] B
[解析] 设P(ρ,θ)是所求直线上任意一点,则ρsinθ=2sin,∴ρsinθ=,故选B.
4.在平面直角坐标系中,经伸缩变换后曲线方程x2+y2=16变换为椭圆方程x′2+=1,此伸缩变换公式是( )
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 设此伸缩变换为
代入x′2+=1,
得(λx)2+=1,
即16λ2x2+μ2y2=16,
与x2+y2=16比较得
故
故所求变换为
故选B.
5.设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴为x轴正半轴,则直线(t为参数)被圆ρ=3截得的弦长为( )
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 圆的直角坐标方程为x2+y2=9,直线的参数方程化为普通方程为x-2y+3=0,则圆心(0,0)到直线的距离d=.所以弦长为2=.
6.抛物线x2-2y-6xsinθ-9cos2θ+8cosθ+9=0的顶点的轨迹是(其中θ∈R)( )
A.圆B.椭圆
C.抛物线D.双曲线
[答案] B
[解析] 原方程变形为:
y=(x-3sinθ)2+4cosθ.设抛物线的顶点为(x,y),则,消去参数θ得轨迹方程为+=1.它是椭圆.
7.(文)极坐标系中,点A在曲线ρ=2sinθ上,点B在曲线ρcosθ=-2上,则|AB|的最小值为________.
[答案] 1
[解析] ρ=2sinθ⇒ρ2=2ρsinθ
∴x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1;
∵ρcosθ=-2,∴x=-2,
易知圆心(0,1)到直线x=-2的距离为2,圆半径为1,故|AB|min=1.
(理)(2011·安徽“江南十校”联考)在极坐标系中,直线ρsin(θ-)=与圆ρ=2cosθ的位置关系是________.
[答案] 相离
[解析] 直线的直角坐标方程为x-y+1=0,圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,其圆心C(1,0),半径r=1.因为圆心到直线的距离d==>1,故直线与圆相离.
8.(文)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<),则曲线C1与C2交点的极坐标为________.
[答案]
[解析] 化为直角坐标方程为x=3和x2+y2=4x(y≥0),故交点为(3,),其极坐标为.
[点评] 可直接解得
(理)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1的交点的极坐标为__________.
[答案] (1,)
[解析] 曲线ρ(cosθ+sinθ)=1化为直角坐标方程为x+y=1,ρ(sinθ-cosθ)=1化为直角坐标方程为y-x=1.联立方程组,得,则交点为(0,1),对应的极坐标为(1,).
[点评] 可直接由两方程联立解出交点坐标,
∵∴
∵ρ≠0,∴cosθ=0,∴θ=+kπ (k∈Z),
∴sinθ=±1,∵ρ>0,∴sinθ=1,
∴θ=+2nπ(n∈Z),ρ=1,
令n=0得,交点的一个极坐标为(1,).
9.(文)直线(t为参数)被曲线ρ=cos(θ+)所截的弦长为________.
[答案]
[解析] 由得直线方程为3x+4y+1=0,
∵ρ=cos(θ+)=cosθ-sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,∴x2+y2=x-y,
即(x-)2+(y+)2=.
圆心到直线的距离d=,
∴弦长=2×=.
(理)已知直线l的参数方程是(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=,则直线l被曲线C截得的弦长等于________.
[答案]
[解析] 由ρ=得,ρ=,∴ρ2(1+sin2θ)=2,∴x2+2y2=2,将代入并化简得,7t2-4t-4=0,∴t1+t2=,t1t2=-,
∴|t1-t2|===.
10.(文)(2012·山西高考联合模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=0.
(1)写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;
(2)求圆C截直线l所得的弦长.
解析:
(1)消去参数得圆C的普通方程为(x-)2+(y-1)2=9,
由ρcos(θ+)=0得ρcosθ-ρsinθ=0,
直线l的直角坐标方程x-y=0.
(2)圆心(,1)到l的距离d==1.
设圆心截直线l所得弦长为m,则==2,∴m=4.
(理)(2012·银川一中二模)平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0.
(1)求直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.
[解析]
(1)消去参数得直线l的直角坐标方程:
y=x
将代入得ρsinθ=ρcosθ⇒θ=或θ=(ρ≥0).
(也可以是:
θ=(ρ∈R))
(2)由得,
ρ2-ρ-3=0
设A(ρ1,),B(ρ2,),
则|AB|=|ρ1-ρ2|==.
[点评] 也可化为直角坐标方程求解.
能力拓展提升
11.(2011·西安检测)已知直线l:
(t为参数)与圆C:
(θ为参数),它们的公共点个数为________个.
[答案] 2
[解析] 直线l的普通方程为x+y-2=0,⊙C的圆心(1,1),半径r=,圆心C在直线l上,∴l与⊙C相交.
12.(文)(2011·咸阳模拟)若直线3x+4y+m=0与圆(θ为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是____.
[答案] (-∞,0)∪(10,+∞)
[解析] 由条件知,圆心C(1,-2)到直线3x+4y+m=0的距离大于圆的半径1,
∴>1,∴m<0或m>10.
(理)已知直线l的参数方程:
(t为参数),曲线C的极坐标方程:
ρ=2sin,求直线l被曲线C截得的弦长为_______.
[答案]
[分析] 可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解;也可将曲线C的方程化为直角坐标方程后,将l方程代入利用t的几何意义求解.
[解析] 将直线l的参数方程化为普通方程为y=2x+1,将圆C的极坐标方程化为普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,从圆方程中可知:
圆心C(1,1),半径r=,所以圆心C到直线l的距离d==<=r.所以直线l与圆C相交.
所以直线l被圆C截得的弦长为
2=2=.
13.(2011·天津理,11)已知抛物线C的参数方程为(t为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=________.
[答案]
[解析] 根据抛物线C的参数方程,得出y2=8x,得出抛物线焦点坐标为(2,0),所以直线方程:
y=x-2,利用圆心到直线距离等于半径,得出r==.
14.(文)(2012·江西理,15)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________.
[答案] ρ=2cosθ
[解析] 将代入x2+y2-2x=0中得,
ρ2-2ρcosθ=0,∵ρ≠0,∴ρ=2cosθ.
(理)(2012·湖北理,16)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线θ=与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为________.
[答案] (,)
[解析] 由化为普通方程y=(x-2)2①
由θ=化为直角坐标方程y=x(x≥0)②
联立①②,∴(x-2)2=x,即x2-5x+4=0,
∴x1+x2=5,∴中点坐标为(,).
15.(2011·课标全国文,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
[解析]
(1)设P(x,y),则由条件知M(,).由于M点在C1上,所以
即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin=2,
射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin=4.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
16.(文)(2011·大连市模拟)已知直线l经过点P(,1),倾斜角α=,圆C的极坐标方程为ρ=cos(θ-).
(1)写出直线l的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程;
(2)设l与圆C相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
[解析]
(1)直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).
由ρ=cos(θ-)得ρ=cosθ+sinθ,
所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ,得(x-)2+(y-)2=.
(2)把代入(x-)2+(y-)2=中
得t2+t-=0.
由根与系数的关系得t1t2=-,
由参数t的几何意义得:
|PA|·|PB|=|t1t2|=.
(理)(2012·乌鲁木齐地区诊断)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),经过变换后曲线C变换为曲线C′.
(1)在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴(单位长度与直角坐标系相同)的极坐标系中,求C′的极坐标方程;
(2)求证:
直线x-y-2=0与曲线C′的交点也在曲线C上.
[解析]
(1)设曲线C′上任意一点P(x′,y′),
由变换得代入C得
所以曲线C′是以(1,0)为圆心,半径为1的圆.
∴C′的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(2)曲线C′的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
由得或
所以交点为(2,0)或(,-),两点的坐标均满足曲线C的直角坐标方程+y2=1.
∴直线x-y-2=0与曲线C′的交点也在曲线C上.
1.直线的参数方程为(t为参数),则直线的倾斜角为( )
A.40°B.50°
C.140°D.130°
[答案] C
[解析] 将直线的参数方程变形得,,∴倾斜角为140°.
2.在极坐标系下,直线ρcos=与曲线ρ=的公共点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.2或0
[答案] B
[分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系,交点个数等问题,一般是化为直角坐标方程求解.对于熟知曲线形状、位置的曲线方程,也可以直接画草图,数形结合讨论.
[解析] 方程ρcos=化为ρcosθ+ρsinθ=2,
∴x+y=2,方程ρ=,即x2+y2=2,显然直线与圆相切,∴选B.
3.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)2+(y-4sinθ)2=4(θ∈R),则点P(x,y)所在区域的面积为( )
A.36πB.32π
C.20πD.16π
[答案] B
[解析] 圆心坐标为(4cosθ,4sinθ),显然圆心在以原点为圆心、半径等于4的圆上,圆(x-4cosθ)2+(y-4sinθ)2=4(θ∈R)绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环,圆环的外径是6,内径是2,∴选B.
4.(2011·广州)设点A的极坐标为(2,),直线l过点A且与极轴所成的角为,则直线l的极坐标方程为________.
[答案] 填ρcos(θ+)=1、ρcosθ-ρsinθ-2=0、
ρsin(-θ)=1、ρsin(θ-)=1中任意一个均可
[解析] ∵点A的极坐标为(2,),∴点A的平面直角坐标为(,1),又∵直线l过点A且与极轴所成的角为,∴直线l的方程为y-1=(x-)tan,即x-y-2=0,∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-2=0,可整理得ρcos(θ+)=1或ρsin(-θ)=1或ρsin(θ-)=1.
[点评] 一般地,在极坐标系下,给出点的坐标,曲线的方程,讨论某种关系或求某些几何量时,通常都是化为直角坐标(方程)求解.如果直接用极坐标(方程)求解,通常是解一个斜三角形.
5.(2012·河南六市联考)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线C2的参数方程为(t为参数).
(1)将C1化为直角坐标方程;
(2)曲线C1与C2是否相交?
若相交,求出弦长,若不相交,请说明理由.
[解析]
(1)∵ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,
所以C1的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.
(2)C2的直角坐标方程为3x-4y-1=0,
C1表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
圆心C1(2,0)到直线C2的距离
d==1<2.
所以C1与C2相交.
相交弦长|AB|=2=2.
6.(2012·包头市一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M(1,)对应的参数φ=,射线θ=与曲线C2交于点D(1,).
(1)求曲线C1、C2的方程;
(2)若点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)在曲线C1上,求+的值.
[解析]
(1)将M(1,)及对应的参数φ=,代入
得∴,
所以曲线C1的方程为(φ为参数),或+y2=1.
设圆C2的半径为R,由题意,圆C2的方程为ρ=2Rcosθ(或(x-R)2+y2=R2).
将点D(1,)代入ρ=2Rcosθ,
得1=2Rcos,即R=1.
(或由D(1,),得点D的直角坐标(,),代入(x-R)2+y2=R2,得R=1),
所以曲线C2的方程为ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1).
(2)因为点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)在曲线C1上,
所以+ρsin2θ=1,+ρcos2θ=1,
所以+=(+sin2θ)+(+cos2θ)=.
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