线性代数新版教案.docx
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线性代数新版教案
线性代数新版教案
篇一:
线性代数教案
第一章线性方程组的消元法与矩阵的初等变换
教学目标与要求
1.了解线性方程组的基本概念2.掌握矩阵的三种初等变换教学重点
运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组教学难点
矩阵的初等变换
1.1线性方程组的基本概念
一、基本概念
定义:
m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式:
?
a11x1?
a12x2?
?
?
a1nxn?
b1?
ax?
ax?
?
?
ax?
b?
2112222nn2
(1)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
am1x1?
am2x2?
?
?
amnxn?
bm
称
(1)为非齐次线性方程组;当b1
?
b2?
?
?
bm?
0时则称为齐次线性方程组。
方程组
(1)
a12
a22?
am2
?
a1n?
?
?
a2n?
为系?
?
?
?
amn?
?
?
a11
?
?
a21T
A?
的一个解为:
x?
(c1,c2,?
cn)(或称为解向量);此时称?
?
?
?
a?
m1?
a11a12?
a1n?
?
a21a22?
a2n
数矩阵,称B?
?
?
?
?
?
?
a
?
m1am2?
amn
二、线性方程组的消元法
b1?
?
b2?
为增广矩阵。
?
?
?
bm?
?
?
2x1?
x2?
3x3?
1
?
例1:
解线性方程组?
4x1?
2x2?
5x3?
4
?
2x?
2x?
6
3?
1
?
2x1?
x2?
3x3?
1?
2x1?
x2?
3x3?
1?
2x1?
x2?
3x3?
1
?
?
?
解:
?
4x2?
x3?
2,?
x2?
x3?
5,?
x2?
x3?
5;
?
x?
x?
5?
4x?
x?
2?
3x?
?
18?
23?
23?
3?
2x1?
x2?
3x3?
1?
2x1?
x2?
19?
2x1?
18?
x1?
9?
?
?
?
?
x2?
x3?
5,?
x2?
?
1,?
x2?
?
1,?
x2?
?
1
?
x?
?
6?
x?
?
6?
x?
?
6?
x?
?
6
?
3?
3?
3?
3
从上面可以看出,整个消元过程
和回代过程都只与x1,x2,x3的系数有关,且仅用了以下3种变换:
①交换两行;②某行乘k倍;③某行乘k倍加至另一行(即初等行变换)。
故我们隐去x1,x2,x3,?
,得到一个数字阵(即矩阵B),对B进行初等行变换:
?
2?
131?
?
2?
131?
?
2?
131?
?
?
?
?
?
?
B?
?
4254?
?
?
04?
12?
?
?
01?
15?
?
2026?
?
01?
15?
?
04?
12?
?
?
?
?
?
?
1?
?
2?
131?
?
2?
1019?
?
2?
13?
?
?
?
?
?
?
?
01?
15?
?
?
01?
15?
?
?
010?
1?
?
003?
18?
?
001?
6?
?
001?
6?
?
?
?
?
?
?
?
20018?
?
1009?
?
?
?
?
?
?
010?
1?
?
?
010?
1?
?
001?
6?
?
001?
6?
?
?
?
?
1?
?
2?
13?
1009?
?
?
?
?
其中?
01?
15?
称为行阶梯形矩阵,?
010?
1?
称为行最简形矩阵。
?
003?
18?
?
001?
6?
?
?
?
?
三、小结
例1告诉我们求解一般的线性方程组的基本方法:
对其增广矩阵B进行3种初等行变换,把它变为行阶梯形矩阵,再最终变成行最简形矩阵,然后从中读出所需的解。
四、一般解和通解
?
x1?
2x2?
x3?
2x4?
1?
例2:
解方程组?
2x1?
4x2?
x3?
x4?
5
?
?
x?
2x?
2x?
x?
?
4
234?
1
解:
2?
121?
?
12?
121?
?
12?
121?
?
1
?
?
?
?
?
?
B?
?
24115?
?
?
003?
33?
?
?
003?
33?
?
?
1?
2?
21?
4?
?
00?
33?
3?
?
00000?
?
?
?
?
?
?
?
12?
121?
?
12012?
?
?
?
?
?
?
001?
11?
?
?
001?
11?
?
00000?
?
00000?
?
?
?
?
即?
?
x1?
2x2?
x4?
2?
x1?
2?
2x2?
x4
,亦即一般解为?
,其中x2,x4为自由未知量。
?
x3?
x4?
1?
x3?
1?
x4
?
x1?
2?
2c1?
c2?
x?
c?
21
令x2?
c1,x4?
c2,得方程组的通解为?
?
x3?
1?
c2?
?
x4?
c2
注意:
自由未知量的取法并不唯一。
?
a11x1?
a12x2?
?
?
a1nxn?
0?
ax?
ax?
?
?
ax?
0?
2112222nn
2、定理:
在齐次线性方程组?
中,若m?
n(即方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
am1x1?
am2x2?
?
?
amnxn?
0
的个数小于未知数的个数),则它必有非零解。
五、习题
P11T1
(2)T2
1.2矩阵的初等变换
一、矩阵及其初等变换
1、定义:
称由m?
n个数aij(i?
1,2,?
m;j?
1,2,?
n)排成的m行n列的数表
?
a11?
?
a21A?
?
?
?
?
a?
m1
a12a22?
am2
?
a1n?
?
?
a2n?
为矩阵,简记为A?
(aij)m?
n。
?
?
?
?
amn?
?
二、矩阵的初等行(列)变换
①交换两行(列);②某行(列)乘k倍;
③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。
三、矩阵的标准形
定理:
任意一个m?
n的矩阵A,总可以经过初等变换(包括行变换和列变换)化为如
?
1?
?
0?
?
?
下的标准形:
F?
?
0
?
0?
?
?
?
?
00?
00?
0?
?
1?
00?
0?
?
?
?
?
?
?
?
Er
0?
10?
0?
即Am?
n?
F?
?
?
O
?
?
0?
00?
0?
?
?
?
?
?
?
0?
00?
0?
O?
?
?
O?
其中1的个数r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
四、习题
P18T1(4)(5)T2
(1)T3P19总复习题:
T3T4
第二章行列式
教学目标与要求
1.会用对角线法则计算二阶行列式和三阶行列式
2.理解排列、逆序数的概念,掌握n阶行列式的定义及其重要性质3.理解并会灵活运用行列式的展开公式,掌握范德蒙德行列式的结论4.掌握克拉默法则及其应用教学重点
1.n阶行列式的重要性质
2.n阶行列式展开公式的运用以及范德蒙德行列式的结论3.克拉默法则的运用教学难点
1.n阶行列式的重要性质及其展开公式2.克拉默法则的运用
2.1二阶和三阶行列式
一、二阶行列式
?
a11x1?
a12x2?
b1?
a11a12?
?
1、引例:
对于线性方程组?
(1),其系数矩阵为A?
?
?
?
?
a21x1?
a22x2?
b2?
a21a22?
用消元法解得?
?
(a11a22?
a12a21)x1?
b1a22?
b2a12
(2)
?
(a11a22?
a12a21)x2?
b2a11?
b1a21
a12
?
a11a22?
a12a21称为二阶行列式,记D?
A?
detA
a12a11b1
,D2?
a22a21b2
2、定义:
D?
a11
a21a22
a11a12b1?
Dx1?
D1
那么
(2)可以表示为?
,其中D?
,D1?
aab2Dx?
D21222?
2
从而x1?
二、三阶行列式
D1D,x2?
2。
DD
?
a11x1?
a12x2?
a13x3?
b1?
a11a12
?
?
ax?
ax?
ax?
b1、定义:
对于三元线性方程组?
211a222222332,记A?
?
a21?
ax?
ax?
ax?
b?
a
3?
31a32?
311322333
a11
称D?
A?
detA?
a21
a13?
?
a23?
,a33?
?
a12a22
a32
a13
a23?
a11a22a33?
a12a23a31?
a13a21a32a33
a31
?
a11a23a32?
a12a21a33?
a13a22a31
篇二:
线性代数教案同济版
线性代数
课程教案
学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称
年月日
授课类型理论课授课时间3节
授课题目(教学章节或主题):
第一章行列式
1二阶与三阶行列式
2全排列及其逆序数
3n阶行列式的定义
4对换
本授课单元教学目标或要求:
1.会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2.知道n阶行列式的定义。
本授课单元教学内容(包括基本内容、重点、难点,以及引导学生解决重点难点的方法、例题等):
基本内容:
行列式的定义1.计算排列的逆序数的方法
设p1p2?
pn是1,2,?
n这n个自然数的任一排列,并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比p1大的数排在p1前面,记为t1;再看有多少个比p2大的数排在p2前面,记为t2;?
?
最后看有多少个比pn大的数排在pn前面,记为tn;则此排列的逆序数为t?
t1?
t2?
?
?
tn。
2.n阶行列式
a11
D?
a21?
an1
a12?
?
a1n
?
?
(p1p2?
pn)
a22?
a2nan2?
ann
?
(?
1)ta1p1a2p2?
anpn
其中p1p2?
pn为自然数1,2,?
n的一个排列,t为这个排列的逆序数,求和符号∑是对所有排列
(p1p2?
pn)求和。
n阶行列式D中所含n2个数叫做D的元素,位于第i行第j列的元素aij,叫做D的(i,j)元。
3.对角线法则:
只对2阶和3阶行列式适用
第2页,共40页
D?
a11
a11
a12
a12a22a32
a21a22
?
a11a22?
a12a21
a13
a23?
a11a22a33?
a12a23a31?
a13a21a32a33
?
a13a22a31?
a12a21a33?
a11a23a32
D?
a21
a31
重点和难点:
理解行列式的定义
行列式的定义中应注意两点:
(1)和式中的任一项是取自D中不同行、不同列的n个元素的乘积。
由排列知识可知,D中这样的
乘积共有n!
项。
(2)和式中的任一项都带有符号(?
1)t,即当p1p2?
pn是偶排列时,t为排列(p1p2?
pn)的逆序数,
对应的项取正号;当p1p2?
pn是奇排列时,对应的项取负号。
综上所述,n阶行列式D恰是D中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和,其中一半带正号,一半带负号。
例:
写出4阶行列式中含有a11a23的项。
解:
?
a11a23a32a44和a11a23a34a42。
例:
试判断a14a23a31a42a56a65和?
a32a43a14a51a25a66是否都是6阶行列式中的项。
解:
a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为?
?
431265?
?
0?
1?
2?
2?
0?
1?
6,所以a14a23a31a42a56a65是6阶行列式中的项。
所以?
a32a43a14a51a25a66不?
a32a43a14a51a25a66下标的逆序数为?
(341526)?
?
(234156)?
5?
3?
8,是6阶行列式中的项。
例:
计算行列式D?
04003002001000
解:
D?
(?
1)0?
1?
2?
31?
2?
3?
4?
24
本授课单元教学手段与方法:
讲授与练习相结合
首先通过二(三)元线性方程组的解的表达式引出二(三)阶行列式的定义。
然后介绍有关全排列及其逆序数的知识,引出n阶行列式的定义。
通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系,引导学生了解行列式的三种等价定义。
本授课单元思考题、讨论题、作业:
1P.261
(1)(3)
22(5)(6)
本授课单元参考资料(含参考书、文献等,必要时可列出)线性代数附册学习辅导与习题选讲(同济第四版)
第3页,共40页
授课类型理论课授课时间2节
授课题目(教学章节或主题):
第一章行列式
5行列式的性质
6行列式按行(列)展开
7克拉默法则
本授课单元教学目标或要求:
1.知道n阶行列式的性质。
2.知道代数余子式的定义和性质。
3.会利用行列式的性质及按行(列)展开计算简单的n阶行列式。
4.知道克拉默法则。
本授课单元教学内容(包括基本内容、重点、难点,以及引导学生解决重点难点的方法、例题等):
基本内容:
1.行列式的性质
(1)行列式D与它的转置行列式D相等。
(2)互换行列式的两行(列),行列式变号。
(3)行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式;或者行列式的
某一行(列)的各元素有公因子k,则k可提到行列式记号之外。
(4)行列式中如果有两行(列)元素完全相同或成比例,则此行列式为零。
(5)若行列式的某一列(行)中各元素均为两项之和,则此行列式等于两个行列式之和。
(6)把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列
式的值不变。
2.行列式的按行(列)展开
(1)把n阶行列式中(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后所成的n?
1阶行列式称为(i,j)元aij的
余子式,记作Mij;记Aij?
(?
1)
i?
j
T
Mij,则称Aij为(i,j)元aij的代数余子式。
(2)n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。
即可以按第
i行展开:
D?
ai1Ai1?
ai2Ai2?
?
?
ainAin(i?
1,2,?
n);或可以按第j列展开:
D?
a1jA1j?
a2jA2j?
?
?
anjAnj(j?
1,2,?
n).
(3)行列式中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
即
ai1Aj1?
ai2Aj2?
?
?
ainAjn?
0,i?
j,或
a1iA1j?
ai2Aj2?
?
?
aniAnj?
0,i?
j.
3.克拉默法则
含有n个未知元x1,x2,?
xn的n个线性方程的方程组
?
a11x1?
a12x2?
?
?
a1nxn?
b1?
ax?
ax?
?
?
ax?
b?
2112222nn2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
an1x1?
an2x2?
?
?
annxn?
bn
当b1,b2,?
bn全为零时,称为齐次线性方程组;否则,称为非齐次线性方程组。
(1)如果方程组的系数行列式D?
0,那么它有唯一解:
xi?
Di
(i?
1,2,?
n,)其中D
Di(i?
1,2,?
n是把)D中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列
式。
(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解,那么它的系数行列式D?
0。
(3)如果齐次线性方程组的系数行列式D?
0,那么它只有零解;如果齐次线性方程组有非零
解,那么它的系数行列式必定等于零。
用克拉默法则解线性方程组的两个条件:
(1)方程个数等于未知元个数;
(2)系数行列式不等于零。
克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
4.一些常用的行列式
(1)上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。
即
a11
D?
a12?
a1na22?
a2n
?
?
ann
?
a11a21?
an1
a22?
?
an2?
anna11
?
a11a22?
ann
特别地,对角行列式等于对角线元素的乘积,即D?
a22
?
ann
?
a11a22?
ann.
a1n
类似地,D?
a2,n?
1
?
an1
?
(?
1)
n(n?
1)2
a1na2,n?
1?
an1.
a11?
a1k
(2)设D1?
?
b11?
b1n
ak1
?
,D2?
?
?
,则?
akkbn1?
bnn
第5页,共40页
篇三:
线性代数教案
线性代数教案
课程名称:
《线性代数》授课主题:
矩阵的基础知识授课教师:
计算机系张广云授课对象:
高起专层次计算机专业学生授课时间:
2010年2月28日一个课时目的要求:
1、了解这门课程的主要作用2、理解矩阵计算的基本原理3、具备基础的编程能力
4,掌握函数的及相关参数的应用
5、通过对具体实例的分析,使学生在思考问题、解决问题
的全面性、逻辑性方面得到锻炼,提高学生分析问题、解决问题的能力。
内容重点:
1.线性代数的一些基本概念
2.矩阵的认识3.矩阵的运算内容难点:
矩阵的运算
教学方法:
1、网上直接答疑解决学生问题,方便灵活。
2、用对比、比较的方法分析不同的编程,便于学生理解和
记忆;
3、在整个程序分析的过程中,不断联系、运用学过的知识,
使学生在不断复习旧知识的过程中,自然而然掌握了新知识。
第一章:
矩阵
1.矩阵的概念
例1.1平面直角坐标系中,坐标轴绕原点沿逆时针方向旋转θ角,点M的新坐标(x?
y?
)与旧坐标(x,y)之间的关系为
?
x?
x?
cos?
?
y?
sin?
y?
x?
sin?
?
y?
cos?
?
cos
?
?
sin?
?
?
sin?
?
cos?
?
?
2.矩阵的运算
定义1.3矩阵加法
对于A?
(aij)m?
n,B?
(bij)m?
n
规定A?
B?
(a?
b)ijijm?
n
如?
123?
?
?
102?
?
025?
?
456?
?
?
4?
?
?
?
?
?
?
32?
?
888?
注意:
?
2
例如,A?
?
?
1
?
3.方阵的逆矩阵
1?
?
1?
?
?
与B?
?
不能相加.?
?
?
1?
?
1?
常数a?
0?
aa?
1,ax?
b有唯一解,
?
1
x?
ab,对于方阵An?
n,是否存在Bn?
n,
?
1
使BA?
In?
若是,则方程组Ax?
b有唯一解x?
Bb
定义1.7(逆矩阵)
对于方阵An?
n,若存在方阵Bn?
n使AB=BA=In.则称A可逆矩阵,并称B为A的逆矩阵,简称
逆阵.
单位阵I:
I-1=I对角阵:
?
d1?
D?
?
?
?
?
?
(
d1,...,dn?
0);?
?
dn?
?
(kI)?
1
?
1
kI,(k?
0)
定理1:
若方阵A可逆,则A的逆阵唯一定理2:
(1)若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A;
(2)若k(≠0)∈R,A可逆,则kA也可逆,且(kA)-1=k-1A-1(3)若A,B为同阶可逆阵,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1;4)若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T;例若方阵A满足A3?
0,证明:
I?
A可逆,且(I?
A)?
1?
I?
A?
A2
证:
(I?
A)(I?
A?
A2)?
(I?
A?
A2)(I?
A)?
I?
A?
A2?
A?
A2?
A3?
I
所以I?
A可逆,且(I?
A)?
1?
I?
A?
A
2
4.分块矩阵及其运算
为
?
子矩阵,前主子矩阵
?
分块矩阵—用一些横线和纵线(穿过矩阵)将矩阵分成为若干个矩形的子块(子矩阵),以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
?
200?
A12?
?
A11?
?
如A?
?
812?
?
?
?
A21A22?
?
?
?
834?
?
其中A11?
?
2?
A12?
?
00?
A21
?
8?
?
1?
?
?
A22?
?
?
8?
?
3
2?
?
4?
5.初等变换与初等方阵
定义(初等变换)矩阵的3种初等行(列)变换:
1)互换i、j两行(列)的位置((记为ri?
rj,(ci?
cj));
(2)用非零数k乘第i行(列)(记为kri,(kci))
(3)把第i行(列)的k倍加到第j行(列)上去(记为kri?
rj,(kci?
cj))
定义(矩阵等价)等价矩阵的简单性质:
1)自反性:
2)对称性:
3)传递性行阶梯形矩阵的特点
A?
B
A?
A
若A?
B,则B?
A若A?
B,B?
C,则A?
C
(1)若有零行,则零行全部在矩阵的?
ahref=“target=“_blank”class=“keylink”>路?
(2)从第一行起,每行第一个非0元素前面的零的个数逐行增加.定理3任一非零矩阵A,都可以通过有限次初等行变换把它化为阶梯型矩阵
定理4(初等变换与初等方阵的关系)
定理5初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆阵也为同型的初等矩阵,且有:
定理6非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵,而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵。
定理7对任一非零矩阵A,必可经过有限次初等变换之后都可化为标准形定理8
?
Ir0?
?
00?
?
?
方阵A可逆?
A可以写成若干初等方阵之积
定理9任一可逆方阵A必可通过若干次初等行变换化成同阶单位矩阵I.定理10例如:
解:
Am?
n与Bm?
n等价?
?
可逆方阵Pm?
m及可逆方阵Qn?
n,使得PAQ?
B
?
0若?
?
1?
?
0
100
0?
0?
?
X1?
?
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0
?
1?
?
11?
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0?
0?
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1
0?
1?
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试求X1?
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0
由?
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1?
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0
1
00
0?
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0?
0?
X?
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1
00
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0?
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1?
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1
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1
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1
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0?
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0?
1?
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11?
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0?
1?
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可得1?
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1?
0?
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1
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0
X?
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1
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0?
1
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0?
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1?
1
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?
0?
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10?
1?
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1?
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