物理奥赛辅导第9讲.docx
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物理奥赛辅导第9讲
物理奥赛辅导:
第9讲
一、知识点击 1.库仑定律和电荷守恒 ?
库仑定律:
真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与两电荷电量的乘积成正比,与两电荷之间的距离的平方成反比;其作用力的方向沿着两电荷的连线,同号相斥,异号相吸.即F?
K第9讲静电学问题的等效处理 q1q2r2?
电荷守恒定律:
摩擦起电和静电感应等实验都说明了:
电荷既不能被创造、也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的这一部分转移到物体的另一部个定律为电荷守恒定律.它是物理学的重要定律之一。
2.电场强度和电势 ?
?
?
?
F?
电场强度是一个从力的角度来描写电场的物理量,定义为E?
q根据库仑定律,两个点电荷之间的作用力大小为F?
kQq2r显然,F是一个既与形成电场的电荷Q有关,又与试探电荷q有关的量,将E定义成 Fq可以理解为从F量中删去外加因素,剩下的便是纯粹的场因素了。
物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量,都是起源于这样一个思想。
?
电势:
电势U是从能量的角度来描写电场的物理量,定义为U?
3.静电场中的导体和电介质 ?
静电场中的导体:
导体内部有能自移动的电荷,置于外电场时,导体内部自电荷移动,当电荷分布、电场分布不随时间变化时,我们则称达到静电平衡. 静电平衡的条件是:
导体内部场强处处为零. 导体静电平衡时:
导体表面附近场强与表面垂直,其大小与导体表面对应点的电荷面密度?
的关系为E?
Wq?
。
?
0?
静电场中的电介质:
电介质就是绝缘体,其中没有能自移动的电荷,无外电场时对外不显电性.当有外电场存在时,电介质分子的正负电荷都会顺着和逆着电场线发生偏移,从而使介质表面甚至内部出现电荷,这种现象称为电介质的极化,出现的电荷称为极化电荷.极化电荷也要产生电场.在介质内部,极化电荷产生的电场与外电场方向相反,从而削弱原电场,削弱的程度与电介质本身的性质有关.为描绘电介质的这一性质,引人电介质的相对介电常数?
r.设真空中电场的场强为E0,而各向同性均匀介质允满整个电场时,其场强为E?
E0?
r,?
r?
E0.E点电荷Q在各向同性均匀无限大的电介质中E?
Q4?
?
r?
0r2 平行板电容器充满均匀介质E?
?
?
r?
04.电容静电场的能量五、电容静电场的能量 ?
1.孤立导体的电容:
若孤立导体带有电荷q,其电势为U,则其电容为C?
qU 孤立导体的电容只与导体本身的大小、形状以及周围的介质有关.真空中半径为R的导体球壳的电容为4?
?
0R q?
U?
S电容器的电容仅其大小、形状以及两极板间的电介质决定;平行板电容器的电容C?
0; d?
电容器的电容:
若电容器充有电荷q,两极间的电势差为ΔU,则其电容为C?
球形电容器的电容C?
2?
?
0l4?
?
0R1R2;柱形电容器的电容。
C?
R2R2?
R1lnR11(q1U1?
q2U2),其2?
静电场的能量:
两个点电荷间的相互作用能为W?
q1U1?
q2U2?
中U1,U2分别为电荷q1,q2处的电势.n个点电荷组成的点电荷系的相互作用能为W?
11(q1U1?
q2U2?
?
?
?
?
qnUn)?
?
qnUn求22和遍于整个带电体,这是带电体所带电形成过程中外力所需做的功,这能量视系统的自能。
11Q22电容器储存的能量:
W?
,也可写为=W?
QU?
CU 222C从上式可看出,能量是与电荷Q联系在一起的,在静电场里就是这样,有电荷才有能量, 电场具有能量,电场中单位体积所具有的能量称为电场的能量密度,用?
e表示,?
e?
二、方法演练 类型一、用微元法和叠加法处理电场强度的问题。
1?
0E22例1.如图9一1所示,把半径为R的球体分为8等份,取其中1份,使之均匀带电,电荷体 密度为ρ.试求此 分析和解:
这是一道多次用微元法和叠加法求解的题目,1/8均匀带电球体微分成一系列无限薄的1/8均匀带电球面;1/8带电球面的场无法求,考虑一半带电球面在球心产生的一场强;在求半球面产生的场强时再用到微元法,在面上任选一带电面元,并视为点电荷,求其在球心的场强后再叠加,电场强度是矢量,叠加时一定考虑到方向性,某些分量能抵消的,就先抵消掉以求简化. 先讨论半径为r,面密度为σ的半球面在球心O的电场强度,于对称性,均匀带电球面 1带电球体在球心0处的电场强度的大小.8?
?
在球心O的场强E02必定沿x轴方向.在半球面取面元ΔS,其上电量为σΔS,其在O点产?
?
?
?
生的电场强度?
E02刚好在纸平面内,令?
E02与x轴夹角为?
,则 ?
E0xc2o?
s?
2?
?
E0?
?
S4?
?
0r2c?
os面元ΔS在yOz面上的投影 ?
Syz?
?
Scos?
,?
E02x?
?
?
,?
SE?
?
E?
?
Syz?
yz0202x22?
4?
?
0r4?
?
0r?
4?
0其中 ?
?
Syz就是半球面在yOz面上的投影?
?
Syz?
?
r2,E02?
E02与半径r大小无关.r越大,半球面上电荷距O点越远,其在O点产生的场强与r2成 反比;而r越大,半球面越大,其上所带电荷越多,与r2成正比,故E02与r无关. 半球面四个 11球面组成,每个球面在O点产生的场强E01在x轴上分量相等,其值为881E02的。
4E01?
E02?
?
416?
011x、y、z三条坐标轴对球面,地位相当,故球面在O点产生的场强在x轴、y轴 88和z轴上的分量应相等,均为 ?
,这样就有16?
03?
16?
02222E01?
E01?
E?
E?
3Ex01y01z01x?
3E01x?
最后,半径为R,电荷体密度为ρ的 11球体可看作一系列很薄的球面叠加而成,设其88中任一球面半径为r,厚度为Δr,r的变化范围从0到R,则面电荷密度σ与体电荷密度ρ有关系:
?
(r)?
?
?
r. 那 13?
球面在球心的电场强度为?
E01?
?
r816?
013?
3?
3?
R球体在球心处场强为E0?
?
?
E01?
?
?
r?
?
r?
?
816?
016?
016?
0而 E0与球半径R成正比. 类型二、用对称法处理电势计算的问题。
例2.如图9—2所示,一无限大接地导体平板,在平板上方h处有一点电荷q。
求空间的电 势分布,求导体平板上感应电荷面密度分布. 分析和解:
空间任一点P的电势是点电荷q和无限大接地导体上感应出来的电荷共同产生的.导体板上电荷分布全板且不均匀,就是用积分法求其在P点的电势也是比较麻烦的。
我们用对称法,P点相对平面对称的P?
点的电势也是上述两带电系统共同产生的.且为零.平面上电荷在P?
点产生的电势与q在P?
点产生的电势大小相等而符号相反,这样求出平面上电荷在P?
点产生的电势,而P与P?
点相对平面对称,平面上电荷在P点产生的电势与在尸点产生电势相等,从而使问题解决. 导体板接地,上表面有感应电荷,设为q?
,下表面无电荷且下半空间电势为零,设P?
为P的关于平面的对称点,则P点、P?
点电势应为q和q?
所产生电势的和。
UP?
UqP?
U?
q,PUP?
?
UqP?
?
Uq?
P?
?
UP?
?
0?
Uq?
P?
?
UqP?
考虑到对称性Uq?
P?
Uq?
P?
UP?
UqP?
Uq?
P?
UqP?
Uq?
P?
?
UqP?
UqP?
?
Kq222?
?
x?
(y?
h)?
z?
?
12?
Kq222?
?
x?
(y?
h)?
z?
?
12 从结果可以看到,对板上部空间,感应电荷的作用与一置于y轴上?
h点,带电为?
q的
点电荷完全等效,这就是所谓的电像法。
再求导体平板上感应电荷面密度分布。
在导体表面a点取一小面元ΔS,a点离O点距离为r,感应电荷面密度为?
?
。
a点紧靠 ?
?
?
?
?
导体板上方的电场强度E的方向与板面垂直向下,大小为E?
4K?
?
。
其E应是ΔS面上电 ?
?
?
?
荷产生的场强E1和q在a点处场强E2在垂直平板方向上分量的叠加。
板上除ΔS面外的其他?
?
电荷在a点附近的场强只沿平板切向,与E2在板的切向分量相抵消。
。
E1?
2K?
?
?
方向垂直板面 E2n?
E2cos?
?
?
Kqq?
cos?
?
?
K?
(r2?
h2)(r2?
h2)h(r2?
h)122 E1?
E2n?
E ?
Kq(r2?
h)322?
2K?
?
?
?
4K?
?
?
?
?
?
?
qh2?
(r2?
h)322 感应电荷面密度随r变化。
r变小,距O点近,?
?
变大。
可以计算出板上所有感应电荷的和为?
q。
类型三、用填补法等效替代处理电场的问题。
例3.如图9一3所示,有两个部分重叠的球体,半径分别为R1和R2,两球球心距离O1O2?
d, d?
R1?
R2,两球重叠部分不带电,不重叠部分均匀带电,电荷体密度分别为?
?
和 ?
?
。
求两球重叠部分中的电场强度分布。
分析和解:
本题的解题过程中首先用到填补法。
因为两球重叠部分本是无电荷,但可认为其间充满电荷密度为?
?
的电荷,这样两个球均成为均匀带电球体,而对于均匀带电球体,我们是能熟练求出球内外的场强的。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
如图9-3(b)所示,在两球重叠部分中任取一点P,画出矢量O1O2?
d,O1P?
r1,O2P?
r2, 并假设重叠部分不带电的空间中,同时带有电荷体密度?
?
和?
?
。
此,P点所在位置可以被认为同时在均匀带电?
?
和?
?
的两个球体内.直接写出P点电场强度的矢 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1Q?
r11Q?
r2量表达式:
E(P)?
E?
(P)?
E?
(P)?
?
?
?
4?
?
0r12r14?
?
0r22r2434?
r1?
,Q?
?
?
r23?
33?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d代入得E(P)?
。
(r1?
r2)?
3?
03?
0其中Q?
?
类型四、用等效法处理感应电场的问题。
例4.如图9一4所示,接地的空心导体球壳内半径为R,在空 腔内一直径上的P1和P2处,放置电量分别为q1和q2的点电荷,q1=q2=q,,两点电荷到球心的距离均为a。
静电感应与静电屏蔽可知:
导体空腔内表面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等于-2q。
空腔内部的电场是q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的。
于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的,所以很难用场强叠加原 理直接求得腔内的电势或场强.但理论上可以证明,感应电荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的点电荷来代替[在本题中假想点电荷应为两个],只要假想的点电荷的位置和电量能满足这样的条件,即:
设想将整个导体壳去掉, ?
与q1共同产生的电场,在原空q1在原空腔内表面的感应电荷的假想点电荷q1腔内表面所在位置处各点的电势皆为0;q2在原空腔内表面的感应电荷的假想 ?
与q2共同产生的电场,在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0。
这样确点电荷q2定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷,而且这样确定的等效电荷是惟一的.等效电荷 ?
、q2?
和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意取代感应电荷后,可用等效电荷q1点的电势或场强。
?
、q2?
的位置试根据上述条件,确定假想等效电荷q1及电量。
求空腔内部任意点A的电势UA。
已知A点到球心O 的距离为r,OA与OP1的夹角为θ。
分析和解:
点电荷置于接地导体球壳之内,在球壳内壁会感应出电荷,这时球壳内电势的关键是找到感应电荷的等效电荷即像电荷. 如图9一5所示,S为 ?
的原空腔内表面所在位置,q1位置应位于OP1的延长线上的 ?
的位置应位于某点B1处,q2OP2的延长线上的某点B2处。
设A1为S面上的任意一点,根据题意有 kq1q?
?
k1?
0 ①A1PA1B11q2q?
?
k2?
0 ②A1P2A1B2k怎样才能使①式成立呢?
下面分析图9一5中△OP1A1与△OA1B1的关系。
2?
的位置B1使下式成立,即OP若等效电荷q11?
OB1?
R ③ 即 OPOA1?
1 ④,OA1OB1A1POPa1?
1?
⑤A1B1OA1RRq1 ⑥a则△OP1A1∽△OA1B1,有 ?
?
?
:
q1①式和⑤式便可求得等效电荷q1?
的位置B1到原球壳中心位置O的距离为③式知,等效电荷q1R2OB1?
⑦ a同理,B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2, ?
?
用类似的方法可求得等效电荷q2Rq2 ⑧aR2?
的位置B2到原球壳中心O位置的距离为OB2?
等效电荷q2 ⑨ a?
、q2、q2?
共同产生,
(2)A点的位置如图9一6所示。
A的电势q1、q1即UA?
kqPaB1AP2AaB2A1Ar2?
2racos?
?
a2 2R2R22B1A?
r?
2cos?
?
aaP2A?
r2?
2racos?
?
a2R2R22B2A?
r?
2cos?
?
aa2代入⑩式得 UA?
kq类型五、用“虚位移”法处理电场力做功的问题。
例5.已知真空中电场的能量密度为?
?
1?
0E2,试求:
均匀带电球面上电场强度ER。
带电球面上的表面张力系数。
分析和解:
解这个题目两次运用“虚位移”法。
第一问假设导体球壳在电场力作用下向外膨胀,电场力做功,而电场力做的功等于电场能的减小,从而列出等式解出壳面上的电场强度。
第二问同样是假设导体球壳膨胀。
电势能转化为球壳的表面自能.从而解出表面张力系数.有一些物体本处于平衡状态,但受到保守力或保守力矩的作用,我们假设物体发生“虚位移”或“虚转动”,从而导致系统的势能发生改变,利用保守力的功与势能改变的关系,解出保守力或保守力对应的力矩. 球面内E=0,而球面外球面附近E?
Q4?
?
0R2?
?
?
0根据对称性ER应沿径向向外,设带电球面缓慢地向外膨胀,半径R变为(R+ΔR),则电场力对单位球面积的功为ERσΔR, 对整个球面的功:
?
A?
ER?
?
?
?
R?
4?
R2?
4?
ER?
R2?
R 球面膨胀后,R内和电场力做功导致电势能减小,电势能转化为球面因膨胀而增加的表面自能,球面膨胀后增加的表面积在考虑(ΔR)2可忽略后得?
S?
4?
(R?
?
R)?
4?
R?
8?
R?
R 222?
R2?
2?
0?
R?
8?
R?
R?
R?
2Q2?
?
?
234?
064?
?
0R类型六、用归纳法处理电容器循环充电的问题。
例9.在图9一7所示电路中,三个电容器C1、C2、C3的电容值均等于C,电源的电动势为ε, R1、R2为电阻,K为双掷开关。
开始时,三个电容器都不带电,先接通oa,再接通ob,再接通oa,再接通ob,?
,如此反复换向。
设每次接通前都已达到静电平衡,试求:
当K第n次接通ob并达到平衡后,每个电容器两端的电压各是多少?
当反复换向的次数无限增多时,在所有电阻上消耗的总电能是多少?
分析和解:
为了求每个电容器两端的电压,先求每个电容器上的电量。
原来3个电容器都不带电,所以当第1次接通oa后,电路为C1和C2串联,两者的电容又相等,所以等效电容应为 下面来求第n次接通oa后C1上的电量.用Q1、Q2?
?
依次表示每次接通oa时,电池在该次中对C1充电的电量,因充电时C1和C2串联,根据电荷守恒,每次充电时给C2增加的电量也应是Q1、Q2?
?
。
oa接通n次后,C1上的电量应为 C?
,此可知,C1的电量应为Q1?
C 22QC1?
Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn 在第n次接通oa之前,即第n?
1次接通ob之后,C1上总电量为 Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
1, 根据电荷守恒,此时C2和C3上总电量也应为Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
1, 因为此时C2和C3并联,两者的电容又相等,所以C2和C3上的电量也相等,皆为 1(Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
1),此可知,2第n次接通oa后,C2上的电量应为QC2?
所以C1和C2上的电压应为 1(Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
1)?
Qn2UC1?
UC2Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn C1(Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
1)?
Qn2?
C而UC1?
UC2?
?
Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
1?
Qn?
C?
2Q?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
Qn?
1?
C?
同理,对n+1次接通oa后,Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
1?
12Q后式减去前式得Qn?
1?
n 4 将UC1、UC2代入上式Q1?
Q2?
?
?
?
?
Qn?
这就是说,后一次接通oa时,C1上充电增加的电量与前一次之比总是一个常数可见,每次充电,C1上增加的电量是按等比级数增长的。
故第n次接通oa后,C1上的总电量为 1。
411?
2?
1?
?
11111Q1?
?
?
?
?
?
()2?
?
?
?
()n?
1?
C?
?
?
1?
()n?
C?
24?
3?
4?
?
22424C2、C3上电量Q2和Q3相等,为Q1的一半, Q2?
Q3?
1?
1n?
1?
()?
C?
?
3?
4?
所以3个电容器的电压分别为 U1?
Q12?
1?
?
?
1?
()n?
?
C3?
4?
Q11?
1?
?
?
1?
()n?
?
2C3?
4?
U2?
U3?
(2)当n→∞时,C1上的电量也就是通过电源的总电量, 2?
1?
2Q?
lim?
1?
()n?
C?
?
C?
3?
4?
3所以电源提供的能量为We?
Q?
?
22C?
32Q2()1Q22121?
C?
,W2?
W3?
各电容器储存的电能分别为W1?
?
C?
22C92C1812根据能量守恒,可得电阻上消耗的电能为WR?
We?
(W1?
W2?
W3)?
C?
3三、小试身手 1.有一静电场,其电势U随坐标x的改变而变化,变化的图线如图1所示.试在图2中画出 该静电场的场强E随x变化的图线(设场强沿x轴正方向时取正值,场强沿x轴负方向时取负值) 2.如图所示,电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处,电荷量为q2的正点电荷固定在x 轴上,两电荷相距l.已知q2=2q1. (i)求在x轴上场强为零的P点的坐标. (ii)若把一电荷量为q0的点电荷放在P点,试讨论它的稳定性(只考虑q0被限制在沿x轴 运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况). 3.三个电容器分别有不同的电容值C1、C2、C3。
现把这三个电容器组成图示的、、、 四种混联电路,试论证:
是否可以通过适当选择C1、C2、C3的数值,使其中某两种混联电路A、B间的等效电容相等。
A A A AC1 C1 C1 C2C1 C3 C3 C2C2 C3 C3 C2 B B B B 4.两块竖直放置的平行金属大平板A、B,相距d,两极间的电压为U。
一带正电的质点从两 板间的M点开始以竖直向上的初速度?
0运动,当它到达电场中某点N时,速度变为水平方向,大小仍为?
0,如图所示。
求M、N两点间的电势差。
5.如图所示为一块很大的接地导体板,在与导体板相距为d的A处放一带电荷量为?
q的点 电荷.
(1)试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度.P点与A点的距离为r。
(2)试求感应电荷在导体外P?
,点产生的电场强度.P?
点与P点对导体板右表面是对称的。
(3)就本题情形,根据场强分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直.试求导体板上的感应电荷对点电荷?
q的作用力. 若在切断导体板与地的连接线后,再将+Q电荷置于导体板上,试说明这部分电荷在 导体板上如何分布可达到静电平衡. 6.如图所示,一球形电容器内球及外壳半径分别为R1和R2,设该电容器与地面 及其他物体相距都很远.现将内球通过细导线接地,试求:
若外壳带电Q,则内球带电为多少?
外球的电势为多少?
该系统的电容. 7.如图所示,O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心,O1、O2、O3为位于球内的三个 半径皆为r的球形空腔的球心,它们与O共面,已知OO1?
OO2?
OO3?
OO2的连线上距O1、O2为 R.在OO1、2r的P1、P2点处分别放置带电量为q1和q2的线度很小的导体,在O3处放置一带电量为q3的点电荷,设法使q1、q2和q3固定不动.在导体
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