高三数学第一轮复习第一讲集合单元讲座人教版.docx
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高三数学第一轮复习第一讲集合单元讲座人教版
高三数学第一轮复习第一讲集合单元讲座
第一讲集合
一.课标要求:
1.集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二.命题走向
有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主,分值5分。
预测2020年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。
具体题型估计为:
(1)题型是1个选择题或1个填空题;
(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三.要点精讲
1.集合:
某些指定的对象集在一起成为集合。
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作aA;若b不是集合A的元素,记作bA;
(2)集合中的元素必须满足:
确定性、互异性与无序性;
确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合
中不应重复出现同一元素;
无序性:
集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法:
把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R。
2•集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作A(或AB);集合相等:
构成两个集合的元素完全一样。
若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A
工B,则称A是B的真子集,记作AB;日
(2)简单性质:
1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集
合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
3•全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,AS,则,CS={x|xS且xA}称S中子集A的补集;
(3)简单性质:
1)Cs(Cs)=A;2)CsS=,Cs=So
4•交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。
交集
AB{x|xA且xB}。
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。
并集AB{x|xA或xB}o
Venn图
增强数形结合的思想方法。
注意:
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合或数轴进而用集合语言表达,
5
•集合的简单性质:
四•典例解析题型1:
集合的概念
A.xA
B.x
C.{x}A
D.
{x}A
1解:
由于丄k
2
选项为D;
点评:
该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。
首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不
属于的关系,而集合之间是包含与不包含的关系。
1只能取到所有的奇数,
而918中18为偶数。
24
A,
例2.设集合F={nm—1 的是() A.PWQB.QPC.P=QD.PAQ=Q 解: Q={m€RmX+4mx—4v0对任意实数x恒成立=,对m分类: 1n=0时,—4v0恒成立; 2nv0时,需A=(4n)—4XnK(—4)v0,解得nv0。 综合①②知me0, •••Q={mER|me0}。 答案为Ao Q中含有参数m需要对参数进 点评: 该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想。 集合行分类讨论,不能忽略m=0的情况。 题型2: 集合的性质 例3.(2000广东,1)已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的个数是() A.15B.16C.3D.4 解: 根据子集的计算应有24—仁15(个)。 选项为A; 点评: 该题考察集合子集个数公式。 注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。 同时,A不是A的真子集。 变式题: 同时满足条件: ①M{1,2,3,4,5};②若aM,则6—aM,这样的集合M有多少个,举 出这些集合来。 答案: 这样的集合M有8个。 例4.已知全集S{1,3,x3x22x},A={1,2x1}如果CSA{0},则这样的实数x是否存在? 若存在,求出x,若不存在,说明理由。 解: •••CSA{0}; •0S且0A,即x3x22x=0,解得x-i0,x21,x32 当 fx0时, 2x 1 1, 为A中兀素; 当 fx1时, 2x1 3 S 当 fx2时, 2x 1 3 S •这样的实数 x存在, 是 x1或x2 另法: •-CsA{ 0} •0 S且0A, 3 A •3 …x x22x=0且 2x 1 3 •-x 1或x2 。 点评: 该题考察了集合间的关系以及集合的性质。 分类讨论的过程中“当x0时,2x11”不 变式题: 已知集合A{m,md,m2d},B{m,mq,mq2},其中m0,且AB,求q的值。 解: 由AB可知, mdmq (1)2,或 (2) m2dmq mdmq2m2dmq 解 (1)得q1, 1 解 (2)得q1,或q 2 又因为当q1时,mmqmq2与题意不符, 1 所以,q 2 题型3: 集合的运算 例5.(06全国n理,2)已知集合M={x|xv3},N={x|log2X>1},则MHN=() A. B.{x|0vxv3} C.{x|1vxv3} D. {x|2vxv3} 解: 由对数函数的性质,且2>1,显然由log2x1易得B (2,)o 从而AB (2,3)。 故选项为 a 点评: 该题考察了不等式和集合交运算。 例6.(06安徽理,1)设集合A等于() A.R x||x2 2,x y|y x2,1x2 则CrAIB B.xxR,x0 C. D. 解: A[0,2],B[4,0],所以CRAI Cr{0} 故选Bo 点评: 该题考察了集合的交、补运算。 题型4: 图解法解集合问题 例7.(2020上海春,5)已知集合A={x||x|w2,是o 解: TA={x|—2wxw2},B={x|x>a},又AB,如图所示, 点评: 例8.) A. C. x€R}, B={x|x>a},且乍B,则实数a的取值范围 因此有aw—2o 本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问 (1996全国理,1)已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n€ 利用数 轴上覆盖关系: 题。 N},B={x|x=4n,n€N},则 I=AUB B.I=(CI A)UB I=AU(CIB) D.I=(CI A)U(CiB) 解: 方法 C|A中元素是非2的倍数的自然数, C|B中元素是非4的倍数的自然数,显然,只有 C选项正确. 方法二: 因 A={2,4,6,8・…},B={4,8, 12,16,…},所以CiB={ 图 2,3,5,6,7,9…},所以I=AUCIB,故答案为C 方法三: 因医A,所以(G)転(CI)B,(CI)An(CIB)=CIA故I=AU(CIA)=AU(CIBo 方法四: 根据题意,我们画出Venn图来解,易知军A,如图: 可以清楚看到I=AU(CIB)是成立的。 点评: 本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求。 题型5: 集合的应用 例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果: 赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞 成的学生数的三分之一多1人。 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 3 U /A ■ B X 30-X V 33-X X—+13 30+3=33,如上 体为集合A;赞成 不赞成的学生人 而不赞成A的人 解: 赞成A的人数为50X-=30,赞成B的人数为 5 图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全事件B的学生全体为集合Bo 设对事件AB都赞成的学生人数为X,则对AB都 数为X+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B3 X 数为33-X。 依题意(30—x)+(33—x)+x+(—+1)=50,解得x=21°所以对AB都赞成的同学有21人,都不3 赞成的有8人。 点评: 在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握。 本题主要强化学生的这种能力。 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来。 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索。 画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。 例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个? 解: 如图先画出Venn图,不难看出不符合条件 5的倍数 的数共有(200-2)+(200-3)+(200-5) 2的倍数 3的倍数 —(200-10)—(200-6)—(200-15) +(200-30)=146 所以,符合条件的数共有200—146=54(个) 点评: 分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。 题型7: 集合综合题 2x1 例11.(1999上海,17)设集合A={x||x—a|<2},B={x|<1},若AB,求实数a的取值范围。 x2 解: 由|x—a|<2,得a—2 亠2x1 □x 3<0,即—2 由 <1,得 x2 x 2 a2 ,于是0waw1o 3 因为AB,所以 a2 点评: 这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。 主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。 在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法•体现了数形结合的思想方法。 例12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,ai和d均为实数,它的前n项和记作S,设集合A={(an,巴)|n€N},B={(x,y)|-x-y=i,x,y€R}。 n4 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)AnB至多有一个元素; (3)当aiM0时,一定有AnBm。 1— -(a1+an),这表明点(an,n)的坐标适合方 2n 解: (1)正确;在等差数列{an}中,S=n(aian),则S 2n 1S11 程y—(x+a),于是点(an,—^)均在直线y=—x+—a1上。 2 n22 (2)正确;设(x,y)€AnB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 得: 2a1x+a12=-4(), 当a1=0时,方程(*)无解,此时AnB=; 2a1 4a1 至多有一解。 •••Anb至多有一个元素。 ”—- (3)不正确;取a1=1,d=1,对一切的x€N,有an=a1+(n-1)d=n>0,n>0,这时集合A中的元素 n 作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1m0如果AnBm,那么据⑵的结论,Anb中至 多有一个元素(xo,yo),而X0=4a12v0,『0=电3V0,这样的(Xo,yo)A产生矛盾,故 2a1524 a1=1,d=1时AnB=,所以a1m0时,一定有AnBm是不正确的。 点评: 该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。 变式题: 解答下述问题: (I)设集合A{x|x22x2m40},B{x|x0},,若AB,求实数m的取值范围. 分析: 关键是准确理解AB蒸: ]的具体意义,首先要从数学意义上解释AB的意义,然后 才能提出解决问题的具体方法。 解: 题又等价于f(0)0m2, 注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。 (n)已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a。 , B{a12,a22,a32,a42},其中aa? a? a° 若AB{a1,a4},且10,且AB的所有元素之和是124,求集合A、B. 分析: 命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决,注意“正整数”这个条件的运用, 2222 1a1a2a3a4,a1a2a3a4, AB{a1,a4},只可能有a1a12a11, 而a1a410,at9,a°a4, (1)若a;a4,则a23,AB{1,383,9厶2,81}, 2 a3a394124a35; ⑵若a32a4,则a33,同样可得a? 5a3,与条件矛盾,不合; 综上,A{1,3,5,9},B{1,9,25,81}. (川)设集合A{(x,y)|y2x1},B{(x,y)|4x22x2y50}, C{(x,y)|ykxb},问是否存在自然数k,b,使(AB)C瀏, 试证明你的结论. 分析: 正确理解(AB)C⑥: ],并转化为具体的数学问题. 要使(AB)C(AC)(BC)孕-,必须AC履1且BC呢], 2 .yx1.22 由'kx ykxb (2kb1)xb210, 当k=0时,方程有解x b2 1,不合题意; 0时由1(2kb 1)2 22 4k(b1)0得b 又由 2 4x2x2y5b ykx 4x22(1k)x 2b0, 4(1 k)2 16(5 2b) 由①、②得b 1 4k •••b=2,代入①、②得k=1 旦一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体 1,而b 20 8 •••b为自然数, 点评: 这疋 的数学内容,才能由此寻求解决的方法。 题型6: 课标创新题 例13•七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能站在正中间的位置,则有多少不同的排法? 解: 设集合A={甲站在最左端的位置}, B={甲站在最右端的位置}, C={乙站在正中间的位置}, D={丙站在正中间的位置},则集合A、B、CD的关系如图所示, 不同的排法有A4A: 4A;2640种. 点评: 这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易错,若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解。 上面的例子说明了集合思想的一些应用,在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。 例14.A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合: ①对任意x[1,2],都有 (2x)(1,2);②存在常数L(0L 1),使得对任意的X1,X2[1,2],都有 |(2xJ (2X2)IL|X! X2| (1)设 (X) 納X,X [2,4],证明: (2)设 (X) A,如果存在X0(1,2), (3)设 (X) A,任取Xl (1,2),令Xn -k 1 成立不等式 |Xkl .L Xk| |X2X1|。 使得X0 (x) (2xo),那么这样的X0是唯一的; 1(2xn),n1,2,,证明: 给定正整数k,对任意的正整数p. 解: 对任意X[1,2],(2x)312x,x[1,2],33(2x)35,1-3352 (2xi) 312x12'「Cd3^_x;, 所以o<22 312x1312x11x231x2 312%2312%1x2 2=L, 所以(x)A 点评: 函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中,题目比较新颖。 五•思维总结 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题。 1•学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如、、、三、=、 CsA、U,Q等等; 2•强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的 关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解); 3•确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 1区别€与壬、丘与、a与{a}、©与{$}、{(1,2)}与{1,2}; 2AB时,A有两种情况: A=$与Am" 3若集合A中有n(nN)个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2n,所有真子集的个数是2n— 1,所有非空真子集的个数是2n2。 4区分集合中元素的形式: 如a{x|yX22x 1}; B 2 {y|yx2x1} ; c 2 {(x,y)|yx2 x1} ; D 2 {x|xx2x1}; E 2 {(x,y)|yx2x 1,x Z,yZ}; F 2 {(x,y')|yx 2x 1}; G {z|yx22x 1,z 5空集是指不含任何元素的集合。 {0}、和{}的区别;0与三者间的关系。 空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。 条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况。 6符号“,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系;符号“? , 是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是为了培养学生 的推理技能,发展学生的思维能力。
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