三角函数的图像.docx
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三角函数的图像
三角函数的图象
、知识回顾
(一)熟悉•三角函数图象的特征:
1.几何法(利用三角函数线)
2•描点法:
五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线)
3.利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数y=Asin(①x+0+B
的作法.
函数y=Asin(3x+^)的物理意义:
振幅|A|,周期tJ,频率f1」,相位x;初相(即当x=0时的相位).(当A>0,3
IIT2
>0时以上公式可去绝对值符号),
(1)振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换•(用y/A替换y)由y二sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当Ov|A|V1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象.
(2)周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用3x替换x)由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|3|V1)或缩短(I3|>1)到原来的|]|倍,得到y=sin3x的图象.
(3)相位变换或叫做左右平移.(用x+©替换x)由y=sinx的图象上所有的点向左(当©>0)或向右(当©V0)平行移动丨©丨个单位,得到y=sin(x+©)的图象.
(4)上下平移(用y+(-b)替换y)由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当bV0)平行移动Ib|个单位,得到y=sinx+b的图象.
注意:
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(3x+©)+B(A>0,3>0)(x€R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
1、为了得到函数ysin(3x—)的图象,只需把函数ysin3x的图象(
2、函数f(x)2sin|x|的部分图象是
2
3、函数y2cosx(sinxcosx)的图象一个对称中心的坐标是()
33
A、(—,0)B、(―「)C、(一,1)D、(—,1)
8888
4、(00)函数y=-xcosx的部分图象是
2,2
5、已知函数f(x)4sinx4cosx1a,当x[,]时f(x)=0恒有解,则a的范围是
43
。
6方程lg|x|sin(x―)有个实数根。
三、例题分析
例1、已知函数y2sin(2x-)。
3
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)用五点法作出它的图象;
(3)说明y2sin(2x)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到?
3
例2、把函数y、.3cosxsinx的图象向左平移m(m0)个单位,所得的图象关于y轴对称,求m的最小值。
例3、如图为yAsin(x)
(A0,0,||-)的图象的一段,求其解析式
例4、受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航
道,靠近船坞;缺货后落潮时返回海洋。
某港口水的深度y(米)是时间t(0t24,单位:
时)
的函数,记作yf(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察,yf(t)曲线可以近似地看做函数yAsintk的图象
(1)根据以上数据,求出函数yf(t)的近似表达式;
⑵一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,
船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。
如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
例5.(00)已知函数
(I)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(II)该函数的图象可由y=sinx(x€R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
四、作业同步练习三角函数的图象
1、若函数f(x)3sin(x)对任意实数x,都有f(x)f(x),则f()等于
444
则当yf(x)是偶函数时,m的值可以是
5、函数y3sin(2x-)与y轴距离最近的对称轴是.
6、将函数yf(x)sinx(xR)的图象向右平移-个单位后,再作关于x轴的对称变换,得到函数
4
y12sin2x的图象,贝Uf(x)可以是。
3
7、给出下列命题:
①存在实数,使sincos1;②存在实数,使sincos-;③
2
ysin(52x)是偶函数;④x是函数ysin(2x—)的一条对称轴方程;⑤若、是第一象
284
限角,且,则tantan。
其中正确命题的序号是。
(注:
把你认为正确命题
的序号都填上)
8、函数f(x)sinx2|sinx|,x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点,贝Uk的取值
范围是。
9、设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积,已
22
知函数y=sinnx在[0,—]上的面积为—(n€N*),(i)y=sin3x在[0,——]上的面积为;(ii)y=
nn3
4
sin(3x—n)+1在[—,]上的面积为.
33
10、已知函数f(x)2sinx(sinxcosx)。
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)用五点法作出它的图象;
(3)说明f(x)2sinx(sinxcosx)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到?
11、若函数yf(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后将所得图象
1
先向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到的曲线与y-cosx的图象相同,求yf(x)的表
22
达式。
13、设函数f(x)sin(x)(0,||-),给出以下四个论断:
2
①它的图象关于直线x对称;②它的图象关于点(―,0)对称;
123
③它的周期是;④它在区间[—,0]上是增函数。
6
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题,并对其中一个命题加以证明。
参考答案:
基本练习:
1、B2、C3、B4、D5、[-4,5]6、6例题分析:
例1
(1)振幅2,周期,初相—;
(2)略;(3)把ysinx的图象上所有的点左移—个
33
1
单位,得到ysin(x)的图象,再把ysin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的-(纵
332
坐标不变),得到ysin(2x-)的图象,最后把ysin(2x-)图象上点的纵坐标伸长到原来的233
倍(横坐标不变),即可得到y2sin(2x)的图象例2、5例3、y、、3sin(2x)
363
例4
(1)y3sint10(0t24);⑵该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港口至6
多停留16小时
作业:
1—4、DBCA
2
5、直线x6、f(x)2cosx7、③④8、1k39、
63
10、振幅2,周期,初相―;
(2)略;(3)把ysinx的图象上所有的点右移个单位,得到
34
1
ysin(x)的图象,再把ysin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的—(纵坐标不变),得到
442
ysin(2x—)的图象,然后最把ysin(2x—)图象上点的纵坐标伸长到原来的.2倍(横坐标不变),
得到y..2sin(2x-)的图象,最后把y..2sin(2x-)的图象向上平移1个单位,即可得到
44
y-2sin(2x)1的图象,即f(x)2sinx(sinxcosx)的图象
4
1
11、y-sin2x112、y3sin(2x)
23
13、①③②④;②③①④
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