完整版初中数学全等三角形的证明题含答案.docx
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完整版初中数学全等三角形的证明题含答案
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD至【JE,使AD=DE
•D是BC中点
•••BD=DC
在左ACD和左BDE中
AD=DE
ZBDE=ZADC
BD=DC
•••AACD^ABDE
..AC=BE=2
•在△ABE中
AB-BE ••AB=4 即4-2<2AD<4+2 1 •••AD=2 1 2.已知: D是AB中点,ZACB=90,求证: CD—AB 延长CD与P,使D为CP中点。 连接AP.BP ••DP=DC,DA=DB ••ACBP为平行四边形 又/ACB=90 平行四边形ACBP为矩形 •••AB=CP=1/2AB 证明: 连接BF和EF .•BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) •••BF=EF,ZCBF=/DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF /EBF=/BEF。 .•ZABC=ZAED。 •••ZABE=ZAEB。 AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF, ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF 三角形ABF和三角形AEF全等。 ZBAF=ZEAF(Z1=Z2)。 EF=AC 4,已知: /1=Z2,CD=DE,EF//AB,求证: 过C作CG//EF交AD的延长线于点G CG//EF,可得,/EFD=CGD DE=DC /FDE=ZGDC(对顶角) .EFD^ACGD ZCGD=ZEFD 又,EF//AB .ZEFD=Z1 /1=/2 •••ZCGD=Z2 AGC为等腰三角形, AC=CG 又EF=CG EF=AC 证明: 延长AB取点E,使AE=AC,连接DE .•AD平分ZBAC •••ZEAD=ZCAD ..AE=AC,AD=AD .AED^AACD(SAS) ZE=ZC ..AC=AB+BD AE=AB+BD ..AE=AB+BE ..BD=BE •••ZBDE=/E .ZABC=ZE+ZBDE •••ZABC=2/E •.•ZABC=2ZC 6.已知: AC平分ZBAD,CE±AB,ZB+/D=180°,求证: AE=AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF .•CE±AB CEB=ZCEF=90° .•EB=EF,CE=CE, .CEB^ACEF •••ZB=ZCFE .ZB+ZD=180°,ZCFE+ZCFA=180° •••ZD=ZCFA .•AC平分ZBAD /DAC=/FAC ..AC=AC .ADC^AAFC(SAS) AD=AF AE=AF+FE=AD+BE 7,已知: AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD 解: 延长AD至ijE,使AD=DE D是BC中点 ..BD=DC 在^ACD和^BDE中 AD=DE ZBDE=ZADC BD=DC .ACD^ABDE •••AC=BE=2 •.•在△ABE中 AB-BEVAEVAB+BE ..AB=4 即4-2V2ADV4+2 1vADv3 AD=2 1— 8.已知: D是AB中点,/ACB=90,求证: CD-AB2 解: 延长AD至ijE,使AD=DE D是BC中点 ..BD=DC 在^ACD和^BDE中 AD=DE /BDE=/ADC BD=DC .ACD^ABDE •••AC=BE=2 •.•在△ABE中 AB-BEVAEVAB+BE ..AB=4 即4-2V2ADV4+2 1vADv3 AD=2 证明: 连接BF和EF。 .•BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 •••BF=EF,ZCBF=/DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 /EBF=/BEF。 又.•ZABC=ZAED。 •••ZABE=ZAEB。 AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中, AB=AE,BF=EF, ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF。 三角形ABF和三角形AEF全等。 ZBAF=ZEAF(Z1=Z2)。 10,已知: /1=Z2,CD=DE,EF//AB,求证: EF=AC 过C作CG//EF交AD的延长线于点G CG//EF,可得,/EFD=CGD DE=DC /FDE=ZGDC(对顶角) .EFD^ACGD ZCGD=ZEFD 又EF//AB •••ZEFD=Z1 /1=/2 •••ZCGD=Z2 AGC为等腰三角形, AC=CG 又EF=CG •••EF=AC 11,已知: AD平分ZBAC,AC=AB+BD,求证: /B=2/C 证明: 延长AB取点E,使AE=AC,连接DE .•AD平分ZBAC •••ZEAD=ZCAD ..AE=AC,AD=AD .AED^AACD(SAS) ZE=ZC ..AC=AB+BD AE=AB+BD ..AE=AB+BE ..BD=BE •••ZBDE=ZE .ZABC=ZE+ZBDE •••ZABC=2/E •••ZABC=2/C 12.已知: AC平分ZBAD,CE±AB,ZB+/D=180°,求证: AE=AD+BE 在AE上取F,使EF=EB,连接CF ••CEXAB •••ZCEB=ZCEF=90 .EB=EF,CE=CE, /.ACEB^ACEF •••ZB=ZCFE ••ZB+ZD=180,ZCFE+ZCFA=180 •••ZD=ZCFA ••AC平分ZBAD •••ZDAC=ZFAC 又.•AC=AC ..△ADC丝△AFC(SAS) •••AD=AF AE=AF+FE=AD+BE 12.如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD±o求证: BC=AB+DCo 在BC上截取BF=AB,连接EF /BE平分ZABC •••ZABE=ZFBE 又.•BE=BE •./ABE丝/FBE(SAS) •••ZA=ZBFE ••AB//CD .A+ZD=180o .ZBFE+ZCFE=180o •••ZD=ZCFE 又•.』DCE=ZFCE CE平分/BCD CE=CE •••/DCE4FCE(AAS) ..CD=CF BC=BF+CF=AB+CD 13.已知: AB//ED,ZEAB=/BDE,AF=CD,EF=BC,求证: /F=ZC AB||ED,得: ZEAB+ZAED=ZBDE+ZABD=180度,•••/EAB=ZBDE, •••ZAED=ZABD, 四边形ABDE是平行四边形。 得: AE=BD, ..AF=CD,EF=BC, 三角形AEF全等于三角形DBC, •••ZF=/Co 14.已知: AB=CD,ZA=/D,求证: /B=/C 证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD AD>BC时,E点是射线AB,DC的交点)。 贝U: △AED是等腰三角形。 •••AE=DE 而AB=CD •••BE=CE(等量加等量,或等量减等量) BEC是等腰三角形 B=ZC. 15. PC-PB P是ZBAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: 在AC上取点E, 使AE=AB。 AE=AB AP=AP ZEAP=ZBAE, .EAP^ABAP •••PE=PB。 PCVEC+PE ..PCV(AC—AE)+PB•••PC—PBvAC—AB。 16. AC-AB=2BE 已知ZABC=3/C,Z1=/2,BE±AE,求证: 证明: 在AC上取一点D,使得角DBC=角C •••/ABC=3/C /ABD=/ABC-/DBC=3/C-/C=2/C; •••/ADB=/C+/DBC=2/C; AB=AD •••AC-AB=AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线, AE垂直BD .•BE±AE .••点E一定在直线BD上, 在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD .••点E也是BD的中点 ..BD=2BE .•BD=CD=AC-AB AC-AB=2BE 17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC •.•作AG//BD交DE延长线于G •••AGE全等BDE ..AG=BD=5 ..AGFsCDF AF=AG=5 DC=CF=2 AB=AC 在^ABD和^ACD中 {AB=AC /1=/2 BD=DC ABD和^ACD是全等三角形(边角边) /BAD=/CAD •••AE是^ABC的中垂线 AE±BC AD±BC 19.如图,OM平分ZPOQ,MA±OP,MB±OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证: ZOAB=ZOBA 证明: .OM平分ZPOQ POM=ZQOM ..MA±OP,MB±OQ •••ZMAO=ZMBO=90 .OM=OM .AOMBOM(AAS) ..OA=OB ••ON=ON .AON^ABON(SAS) /OAB=/OBA,/ONA=/ONB .ZONA+/ONB=180 •••ZONA=ZONB=90 •••OM±AB 20.(5分)如图,已知AD//BC,ZPAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. BE的延长线,与AP相交于F点, .•PA//BC ..ZPAB+/CBA=180°,又.•,AE,BE均为ZPAB和ZCBA 的角平分线 ..ZEAB+/EBA=90°.ZAEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE±BF,且AE为ZFAB的角平分线 三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, /EBC=/DFE,且BE=EF,/DEF=/CEB, 三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,...DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.如图,△ABC中,AD是ZCAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: /C=2/B ..AB=AC+CD •••CD=CE 可得ZB=/E △CDE为等腰 ZACB=2ZB 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE±AC于E,BF±AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立请给予证明;若不成立请说明理由. (1)连接BE,DF. •••DE±AC于E,BF±AC于F, DEC=/BFA=90°,DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中, ..AF=CE,AB=CD, Rt△DEC丝Rt△BFA(HL), •••DE=BF. 四边形BEDF是平行四边形. MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. •••DE±AC于E,BF±AC于F, •.•ZDEC=/BFA=90°,DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中, ..AF=CE,AB=CD, Rt△DEC丝Rt△BFA(HL), •••DE=BF. 四边形BEDF是平行四边形. MB=MD,ME=MF. 23. E为AB的中点, 已知: 如图,DCIIAB,且DC=AE, (1)求证: △AED^AEBC. AED的面 (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除^EBC夕卜,请再写出两个与^ 证明: .DC//AB •••ZCDE=ZAED .DE=DE,DC=AE .AED^AEDC E为AB中点 •••AE=BE •••BE=DC .DC//AB •••ZDCE=ZBEC .•CE=CE .EBC^AEDC .AEDEBC 24.(7分)如图,△ABC中,/BAC=90度,AB=AC,BD是ZABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. •••ABCE四点共元 •••/ABE=ZCBE•••AE=CE ..ZECAWEAC 取线段BD的中点G连接AG贝上AG=BG=DG •••ZGABWABG 而: /ECAWGBA(同弧上的圆周角相等) ZECAWEACWGBA£GAB 而: AC=AB .AE(^AAGB •••EC=BG=DG ..BE=2CE 25、如图: DF=CEAD=BC/D=ZG求证: △AEt^ABFG 证明: DF=CE, •••DF-EF=CE-EF, 即DE=CF, 在^AED和^BFC中, .•AD=BC,/D=/C,DE=CF .AED^ABFC(SAS) 26、(10分)如图: AE、BC交于点MF点在A",BE//CF,BE=CF 求证: AM^ABC的中线。 证明: .•BEICF •••ZE=ZCFMZEBM£FCM .•BE=CF .BEb^ACFM ..BM=CM•••AM是^ABC的中线. 在^ABD^ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD .ABt^AACD •••ZADBWADC •••ZBDFWFDC 在^BDF与^FDC中 BD=DC /BDF=ZFDC DF=DF .FBL^AFCD..BF=FC 29、(12分)如图: AB=CQAE=DRCE=FB求证: AF=DE ••AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB .ABE=ACDF /DCB=ZABF AB=DCBF=CE AABF=ACDE •••AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB//CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证明: 连接EF /ABIICD B=ZC M是BC中点 ..BM=CM 在左BEM和ACFIVI中 BE=CF ZB=ZC BM=CM ..△BEM丝△CFM(SAS) •••CF=BE 31.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE//DF,BE=DF.求证: AABECDF. .AF=CE,FE=EF. ..AE=CF. •••DF//BE,•••ZAEBWCFD(两直线平行,内错角相等).BE=DF .△ABE^ACDF(SAS 32.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。 连接BD; .•AB=ADBC=D •••ZADB=ZABDZCDB=ZABD;两角相加,ZADC=ZABC; .•BC=DCE\F是中点 •••DE=BF; .•AB=ADDE=BF /ADC=/ABC AE=AF。 33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,Z1=Z2,Z3=Z4,求证: Z5=Z6. 证明: 在^ADC△ABC中 ..AC=ACZBACWDAC匕BCAWDCA /.AAD(^AABC(两角加一边) •••AB=AQBC=CD 在左DECW^BEC中 /BCAWDCACE=CMBC=CD DE(^ABEC(两边夹一角) ZDECWBEC 34.已知AB//DE,BC//EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: AABC^ADEF. ••AD=DF..AC=DF ••AB//DE ZA=ZEDF 又.•BC//EF•••ZF=ZBCA •••AABC^ADEF(ASA) 35.已知: 如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证: BE=CD. 证明: ••BD±AC BDC=90 .CE±AB /BEC=90° /BDC=/BEC=90° .AB=AC /DCB=/EBC ..BC=BC ..Rt△BDC丝Rt△BEC(AAS) ..BE=CD 36、如图,在△ABC中,AD为ZBAC的平分线,DE±AB于E,DF±AC于F。 求证: DE=DF. 证明: AD是ZBAC的平分线 •••ZEAD=ZFAD .DE±AB,DF±AC /BFD=/CFD=90° •••ZAED与ZAFD=90° 在^AED与^AFD中 ZEAD=ZFAD AD=AD ZAED=ZAFD .AED^AAFD(AAS) AE=AF 在^AEO与^AFO中 ZEAO=ZFAO AO=AO AE=AF .AEO^AAFO(SAS) •••ZAOE=ZAOF=90° AD±EF 37.已知: 如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的 长? B .•AD±AB •••ZBAC=ZADE 又•••AC±BC于C,DE±AC于E 根据三角形角度之和等于180度 •••ZABC=ZDAE .•BC=AE,△ABC丝△DAE(ASA) AD=AB=5 38.如图: AB=AC,ME±AB,MF±AC,垂足分别为E、F,ME=MF。 求证: MB=MC ..AB=AC •••ZB=/C ..ME±AB,MF±AC •••ZBEM=ZCFM=90° 在^BME和^CMF中 .•ZB=ZCZBEM=ZCFM=90°ME=MF .BME^ACMF(AAS) MB=MC. 39.如图,给出五个等量关系: ①ADBC②ACBD③CEDE④DC ⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结 论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: ①AD=BC,⑤/DAB=ZCBA 求证: △DABCBA 证明: .•AD=BC,ZDAB=ZCBA 又.•AB=AB .DABCBA 40.在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①ADC丝CEB; ②DEADBE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1) ①.•』ADCWACBMBEC=90, CAD%ACD=90,/BCEVCBE=90,/ACD^BCE=90. ZCADWBCE..AC=BC .AD(^ACEB ②.△AD(^ACEB ..CE=ADCD=BE •••DE=CE+CD=AD+BE (2).•』ADCWCEBWACB=90,ZACDWCBE 又.•AC=BC .ACt^ACBE ..CE=ADCD=BE •••DE=CPCD=ADBE 41.如图所示,已知A」AB,AF±AC,AE=ABAF=AC求证: (1)EC=BF (2)ECLBF (1).AHAB,AFLAC, •••ZBAEWCAF=90°, ZBAEVBACWCAF%BAC 即ZEACWBAF, 在^ABF和^AEC中, .•AE=ABZEACWBAF,AF=AC .ABF^AAEC(SAS, •••EC=BF (2)如图,根据 (1),△ABf^AAEC •••ZAECWABF, .•AELAB, •••ZBAE=90, •••ZAEC%ADE=9CT, •••/ADEWBDM(对顶角相等), •••ZABF+ZBDM=90, 在^BD",ZBMD=180-ZABF-Z
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