初中数学相似三角形难题易错题附详解.docx
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初中数学相似三角形难题易错题附详解
2013初中相似三角形难题易错题
一.填空题(共2小题)
1.如图所示,已知AB∥EF∥CD,若AB=6厘米,CD=9厘米.求EF.
2.如图,▱ABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点E,连接OE交BC于点F.若AB=a,AD=c,BE=b,则BF=.
二.解答题(共17小题)
3.如图所示.在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC交BC于D.求证:
.
4.如图所示,▱ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,EO延长线交AB于G.求证:
.
1
5.一条直线截△ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F.求证:
.
6.如图所示.P为△ABC内一点,过P点作线段DE,FG,HI分别平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425.求d.
7.如图所示.梯形ABCD中,AD∥BC,BD,AC交于O点,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC.AD=12厘米,BC=20厘米.求EF.
2
8.已知:
P为▱ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于Q点,求证:
.
9.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,MN∥BC,且MN与对角线BD交于O.若AD=DO=a,BC=BO=b,求MN.
10.P为△ABC内一点,过P点作DE,FG,IH分别平行于AB,BC,CA(如图所示).求证:
.
3
11.如图所示.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD.一条直线交BA延长线于E,交DC延长线于J,交AD于F,交BD于G,交AC于H,交BC于I.已知EF=FG=GH=HI=IJ,求DC:
AB.
12.已知P为△ABC
(2)三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2.
13.如图所示.在△ABC中,AM是BC边上的中线,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D,且交AM延长线于F.求证:
EF∥AB.
4
14.如图所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且BP=BQ,BH⊥PC于H.求证:
QH⊥DH.
15.已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点,P、Q分别在AB、AC上,且PM⊥QM.求证:
PQ=PB+QC.
222
16.如图所示.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠CAB,CF平分∠BCD.求证:
EF∥BC.
17.如图所示.在△ABC内有一点P,满足∠APB=∠BPC=∠CPA.若2∠B=∠A+∠C,求证:
PB=PA•PC.(提示:
设法证明△PAB∽△PBC.)
2
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18.已知:
如图,△ABC为等腰直角三角形,D是直角边BC的中点,E在AB上,且AE:
EB=2:
1.求证:
CE⊥AD.
19.如图所示,△ABC中,M、N是边BC的三等分点,BE是AC边上的中线,连接AM、AN,分别交BE于F、G,求BF:
FG:
GE的值.
20.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证
提示:
要证明如几何题的常用方法:
①比例法:
将原等式变为,故构造成以a+b、b为边且与a、c
所在三角形相似的三角形。
②通分法:
将原等式变为,利用相关定理将两个个比通分即:
6
2013初中相似三角形难题易错题
参考答案与解析
一.填空题(共2小题)
1.如图所示,已知AB∥EF∥CD,若AB=6厘米,CD=9厘米.求EF.
2.如图,▱ABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点E
,连接OE交BC于点F.若AB=a,AD=c,BE=b,则BF=.
7
二.解答题(共17小题)
3.如图所示.在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC交BC于D.求证:
.
4.如图所示,▱ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,EO延长线交AB于G.求证:
.
8
5.一条直线截△ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F.
求证:
.
6.如图所示.P为△ABC内一点,过P点作线段DE,FG,HI分别平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425.求d.
7.如图所示.梯形ABCD中,AD∥BC,BD,AC交于O点,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC.AD=12厘米,BC=20厘米.求EF.
8.已知:
P为▱ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于Q点,求证:
.
11
9.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,MN∥BC,且MN与对角线BD交于O.若AD=DO=a,BC=BO=b,求MN.
10.P为△ABC.
12
11.如图所示.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD.一条直线交BA延长线于E,交DC延长线于J,交AD于F,交BD于G,交AC于H,交BC于I.已知EF=FG=GH=HI=IJ,求DC:
AB.
12.已知P为△ABC
(2)三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2.13
14
13.如图所示.在△ABC中,AM是BC边上的中线,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D,且交AM延长线于F.求证:
EF∥AB.
14.如图所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且BP=BQ,BH⊥PC于H.求证:
QH⊥DH.
15
15.已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点,P、Q分别在AB、AC上,且PM⊥QM.求证:
PQ=PB+QC.222
16
16.如图所示.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠CAB,CF平分∠BCD.求证:
EF∥BC.
17.如图所示.在△ABC内有一点P,满足∠APB=∠BPC=∠CPA.若2∠B=∠A+∠C,求证:
PB=PA•PC.(提示:
设法证明△PAB∽△PBC.)2
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18.已知:
如图,△ABC为等腰直角三角形,D是直角边BC的中点,E在AB上,且AE:
EB=2:
1.求证:
CE⊥AD.
19.(巧解妙解)如图所示,△ABC中,M、N是边BC的三等分点,BE是AC边上的中线,连接AM、AN,分别交BE
于F、G,求BF:
FG:
GE的值.
20.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证
提示:
要证明如将原等式变为,为此若能设法利用长度分别为AB,BC,CA及AB+AC这4条线段,构造一对相似三角形,问题可能解决.注意到,原△ABC中,已含上述4条线段中的三条,因此,不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线,构造一个三角形,使它与△ABC相似,期望能解决问题.
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证延长AB至D,使BD=AC(此时,AD=AB+AC),又延长BC至E,使AE=AC,连结ED.下面证明,△ADE∽△ABC.
设∠A=α,∠B=2α,∠C=4α,则:
∠A+∠B+∠C=7α=180°.
由作图知,∠ACB是等腰三角形ACE的外角,所以∠ACE=180°-4α=3α,
所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α.从而
∠EAB=2α=∠EBA,AE=BE.
∵AE=AC,AE=BD,
∴BE=BD,△BDE是等腰三角形,
∴∠D=∠BED=α=∠CAB,
∴△ABC∽△DAE
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