两角和与差的公式.docx
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两角和与差的公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(a—3=cosacos3+sin久sin3(C(a-®)cos(a+3=cos_%cos_3—sin_久sin_3(C(a+3)sin(a—3=sin_久cos_3—cos_asin_3(S(a—3))sin(a+3=sin久cos3+cosasin3(S(a+3))
tana—tan3十
tan(a—3=(T(a-3)
1+tanatan3
tana+tan3
tan(a+=1—tanaan3(T(a+3)
2•二倍角公式sin2a=2sin_久cos_a;
2222
cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a;
tan2a=
2tana
1—tan?
a
❷考点自测
1.(2013浙江)已知a€R,sina+2cos仏=亠2°,则tan2a等于()
34
C_4D._3
答案C
解析
•'sina+2cosa=
.10
~2~,
225
…Sina+4sinacosa+4cosa=Q.
化简得:
4sin2a=—3cos2a,
sin2a3
•-tan2a=co莎=—4.故选C.
2.若前a+迦a=1,则tan2a等于(
sina—cosa2
A.
4
C.—3
答案
解析
sina+cosa1/
由=-,等式左边分子、
sina—cosa2
分母同除cosa得,
ta^q=1,解得tana=—3,
tana—12
则tan2a=.2tana
1—tan2a
3
4.
3.(2013课标全国n
0为第二象限角,
贝Usin0+cos0=
答案
解析
■/tan
n
0+n=
1
2,
1
•••tan—§,
3sin0=—
即2
sin20+cos20=1,
cos0,
2--
且0为第二象限角,
解得sin0=£°,cos
_3伍
0=—.-
10-
•sin0+cos0=-^^.
4.(2014课标全国n)函数f(x)=sin(x+2$)—2sin$cos(x+妨的最大值为
答案1
解析Tf(x)=sin(x+2$)—2sin$cos(x+$)
=sin[(x+$)+对—2sin$cos(x+妨
=sin(x+$)cos0+cos(x+$)sin2sin$cos(x+妨
=sin(x+0)cos0—cos(x+0)sin0
=sin[(x+0)—0=sinx,
•••f(x)的最大值为1.
题型一三角函数公式的基本应用
例1
(1)设tana,tanB是方程x2—3x+2=0的两根,则tan(a+®的值为()
A.—3B.—1
C.1D.3
nnn1
⑵若o cos(4—2)=亍,贝Vcos(a+2)等于( B. D. 答案 (1)A (2)C 解析 (1)由根与系数的关系可知 ) _3 3 .6 6 tana+tanB=3,tandanB=2. •-tan(a+B= tana+tanB 1—tan%tanB =—3. 故选A. ⑵cos(a+2) n,、/nB =cos[(4+a-(4-2)】 n、znBn、.znB =cos(4+acos(4—2)+sinq+a)sin(4—2). •/0 nn 4<4 +a<3n 4 pn 又-2<网, 故COS(a+芜3T+晋¥瞬故选C. 思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立•使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系. nn1 (1)若a€(2,n,tan(a+4)=7,则sina等于( C. D. ⑵计算: 1+cos20 2sin20 o 。 一sin10 °1'tan5 -tan5)= 答案 (1)A⑵与— 解析 (1)Ttan(a+ ntana+1 4)=1—tana 7' sinacosa, …cos 4 a=—§sina. 又TSin2a+cos2a=1, /•sin2 a= 25' (2,n,「・sina=5. 2cos210° ⑵原式=4sin10cos10—sin10 cos25sin25° sin5cos5 cos10°sin20 2sin10—sin10 cos10—2sin202sin10° cos10—2sin(30—10°) 2sin10° cos10—2sin30cds10+2cos30sin10 2sin10 2. 题型二三角函数公式的灵活应用 例2 (1)sin(65丄x)cos(x—20°+cos(65°—x)cos(110°—x)的值为() 2cos4x—2cos2x+2 ⑵化简: —nn~ 2ta门(才一x)si门2(才+x) ,+cos15+sin15° (3)求值: =. cos15—sin15 1 答案 (1)B⑵2cos2x(3): 3 解析 (1)原式=sin(65—x)cos(x—20°)+cos(65—x)cos[90—(x—20°)]=sin(65—x)cos(x—20°) +cos(65—x)sin(x—20°)=sin[(65—x)+(x—20°=sin45=专.故选B. 2(4cos4x—4cos2x+1) (2)原式= n、 2Xsin(4—x) •os2(f—x) 4 cos(4—x) =(2cos2x—1)2=cos22x 冗、/兀、兀 4sinq—x)cosq—x)2sinQ—2x) cos22x1 =2cosix=2cos2x. 、1+tan15=tan45+tan15° ⑶原式=1—tan15=1—tan45tan15° =tan(45+15°)=,'3. 思维升华运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用 及变形,如tana+tan3=tan(a+3(1—tanatan®和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力. a.a 憑踪训练2 (1)已知(0,n,化简: 2+2cosa (1+sina+cosa)(cos? —sin? Ac厂AC ⑵在△ABC中,已知三个内角A,B,C成等差数列,则tan^+tan? +.3tan? tan? 的值为 答案 (1)C0Sa (2)3 2aaaaa 解析 2a 4cos2 因为 a€(0,力,所以COS2>0, aaaaa (2cos22+2sin2cos2)(cos2—sin2) 所以原式= a 2cos2 /a.aa.a2a.2% =(cos2+sing)(cosg—sin3)=cos^—sin;=cosa (2)因为三个内角 A,B,C成等差数列,且A+B+ _2nA+CnA+C C=n,所以A+C=—,=3tan2 所以tan A 2+tan C+,3tan AC 2tan2 AC =tan2+21—tangtan2 +3tanAtanC ACAC- =31—tan-tan2+.3tan~tan? =.3. 题型三三角函数公式运用中角的变换 3 例3 (1)已知a,3均为锐角,且sina=_,tan( 5 1 a—3=—3.则sin(a—3)= cos3= 2 (2)(2013课标全国n)已知sin2a=3,则cos2 a+n等于() 答案(i)—if 5010 (2)A 解析⑴Ta, nnn 3€(0,2),从而—2 又.tan(a— 1 3)=—3<0, (2cos2^+2sin2cos2)(cosq—sinq) (1)原式= n 2 •••sin(a—3)=-老,cos(a—3=^^. 34 Ta为锐角,Sina=—,二COSa=_ 55 •••COS3=COS[a—(a—®] 910 50. =cosacos(a—3+sin久sin(a—3 =4x口+3X(—』)= 5105'10丿 n ⑵因为cos2 1+COs2a+Tn4 a+4=2 n 1+cos2a+2 1—sin2a 2 所以cos2 1 6,选A- 1—_n1—sin2a3a+~= 4 思维升华1•解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.⑴当“已 知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;⑵当“已知角” 有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.常见的配角技巧: 2a=(a+3)+(a—3),a=(a+3)—3? a+3 3=~T 2, a= a+ 2 2 于=(a+3)—(a+3)等. 2,.5 (1)设a、3都是锐角,且 cos _5 a=亏, 3 sin(a+3=5,则cos3等于( In (2)已知cos(a—舌)+sin a= 仝 25 4.3,贝Usina+g21)的值是 4 答案 (1)A (2)—5 解析⑴依题意得sina=-[1—cos2a=f cos(a+3=±,14 又a,3均为锐角,所以0COS(a+3)• 因为冷〉- 4 5, 4 所以COs(a+3)=—;. 5 于是cos3=cos[(a+3)—a =cos(a+0cosa+sin(a+®sina =-软寻器欝箸 n4t— (2)■/cos(a—6)+sina=5.“3, .334 ^cosa+gsina=3, v'3(|cosa+^sina)=43, 、: 3sin(6+a)=53 •••sin(f+a=5, .,7nn、4 •sin(a+—)=—sin(6+a=—5. 高频小考点 高考中的三角函数求值、化简问题 0 2cos2~—sin0—1典例: ⑴若tan20=—22,n<0<2n,贝U .2sin(0+4) n (2)(2014课标全国I)设a€(0,2), 7t 2),且tan 1+sin3,、 a=盂J则() n A.3a—3=2 B. 2a— n 3=n n C.3a+3=2 D. 2a+ 7t 3=2 ⑶(2012大纲全国)已知 a为第二象限角, sina+cosa 3 -33则cos2a等于() a.-TB.—百 ⑷(2012重庆严47HTc°30等于( cos17 A.—23B.—1 思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形. (2)“切化弦”,利用和差公式、诱导公式找 a,3的关系. ⑶可以利用sin2a+cos2a=1寻求sina±coa与sin久cosa的联系. ⑷利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化. cos0—sin01—tanB解析⑴原式=coi+亦=订亦,又tan20=: ;;,0=-2,即2tan20—tan0—,2=0, 1 解得tan0=—一或tan0=2. Tn<0<2n,•n<0 •tan0=—士, 1 1+走 故原式=1=3+22. 1—2 1+sin3sina 得- ⑵由tana=cos3…cosa 1+sin3cos3, 3, 即sinacos3=cosa+cosain --sin(a— n 3)=cosa=sing—a. nn 2),3€(o,2), nnn (-2,2),2 (0, •••由sin(a—3)=sinQ— n a—3=二—a, 2 n •2a—3=© 21 ⑶方法 2 3. Tsina+cosa=3,…(sina+cosa=3, 又Ta为第二象限角且sina+cos 肯>0, •2kn+n .4kn+n<2%<4kn+2#€Z), 2a为第三象限角, •cos2a=-1—sin22a=-才 方法 百1 由sina+cosa=-^两边平方得1+2sinacosa=3, 33 2 --2sin久cosa=— 3' ■/a为第二象限角,•••sina>0,cosa<0, •sina—cosa=: '(sina—cosa)2 15 =71—2sin久cosa=-*1^. i斗心 sina+cosa=3,由 sin .: 3+\15 a= Sina—cosa=3 cosa= •cos2a=2cos2a—1=—申. 3 (4)原式=刑30斗"°)—s"17 cos30 cos17 和差角公式变形: 1+COS2a 2 sin2a= 1—COS2a 2, sin30cOs17丰cos30sin17—sin17cOs30 cos17 sin30cos17°o1 cos17°=sin30=3 答案 (1)3+2 (2)B(3)A(4)C ⑵三角求值 温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式. 要注意角的变换,掌握常见的配角技巧. 思想方法・感悟提高 配方变形: aa2 1土sin(x=sin? ±cos, 2a,c・2a 1+cosa=2cos22,1—cosa=2sin? . 2.重视三角函数的“三变”: “三变”是指“变角、变名、变式”;变角: 对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名: 尽可能减少函数名称;变式: 对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等•在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. 失误与防范 1•运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通. J2 2•在(0,n范围内,sin(a+®=-2所对应的角a+B不是唯一的• 3•在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值 练出高分 A组专项基础训练 (时间: 30分钟) 2%1% 1.已知tan(a+®=5,tan4=4那么tana+-等于() 答案C nn 解析因为a++・=a+B 44 nn 所以a+4=(a+p)—B—4,所以 nn tana+4=tan(a+B)—B—4 7t tan(a+B)—tanB—4 n=22. 1+tan(a+BtanB-4 2•若 ? ],sin sin0等于( 答案 解析 由sin sin20+cos20=1得 (sin0+cos nn 又0€[4,》,二sin0+cos 3.已知tana=4,则 2 1+cos2a+8sina,, 的值为() sin2a A.43 C.4 答案 解析 1+cos2a+8sin2 sin2a a_2cos2a+8sin2a 2sinacosa, ■/tan 2 a=4,.cosaM0,分子、分母都除以cos2a得2+8tan"65 2tana4■ 4.(2013重庆)4cos50—tan40等于() D.22—1 答案C 解析4cos50°tan40=伽40C°40-Sin40 cos40 2sin80—sin40°2sin(50半30°-sin40 cos40 cos40 3sin50羊cos50—sin40°3sin50- 3 cos40 cos40 o' A. C. 已知cos(x-n=-, rn 则cosx+cos(x-3)的值是( 2,3 3 B. D. ±1 答案C 解析cosx+ cos(x- 7t 1 =cosx+2COSx+ 迪. 2sinx= 3 qCOSx+ 2sinx= cosx+|sinx)=3 n cos(x—^)=—1. sin250° 6. 1+sin10= 答案 1 2 解析 sin250°1—cos100° 1+sin10「2(1+sin10)° 1—cos(90亠10°)=1+sin10=12(1+sin10)°=2(1+sin10)=2. 7.已知a、B均为锐角,且cos(a+3=sin(a—B),贝Utana=, 答案1 解析根据已知条件: cosacos3—sin«sin3=sin久cos3—cos%sin3, cosB(cosa—sina)+sinBcosa—sina=0, 即(cos3+sin3(cosa—sina)=0. 又a、3为锐角,则sin3+cos3>0, a> cosa—sina=0,—tana=1. 12°—3,(4cos212°—2)sin12)= 答案—4.3 —3 cos12 解析原式=2(2cos212-1)sin12 23如n12—_^3cos12 cos12 2cos24sin12 —2、3sin48° 2cos24sin12c6s12—sin24c6s24 2」3sin(—48° 23sin48°- 1=—43.^sin48 9.已知 1+sina 1—sina 击一2tana,试确定使等式成立的a的取值集合. 解因为 1+sina 1—sina 1—sina 1+sina (1+sina)2 (1—sina2 2cosa 2cosa |1+sina|1—sinaicosa|cosa 1+sina—1+sina |cosa 2sina |cosa' 2sina 2sina 所以肓=—2tana=—cosa 所以sina =0或|cosa=—cosa>0. n3n 故a的取值集合为{aa=kn或2kn+^ n 10.已知a€2, 且Sina+cos专=当 222- (1)求COSa的值; ⑵若sin(a—3)= n 3€2,n,求COS3的值. a 解 (1)因为sin+cos a2^6 2=~2 两边同时平方,得sin n 又2 nn ⑵因为2 所以一n<—3<—2, 故—2 3 又sin(a—3)=—;, 5 得COS(a— COS3=COS[a—(a— 3)] =cosacos(a—3)+sin久sin(a—3) 4.‘3+3 10 B组专项能力提升 (时间: 25分钟) n1 2, 11.已知tan(a+4)=2 且-n 2 则2sina+sin2a等于() n COS(a—4) A. 2,5 5 B. 3,5 10 3伍 C•—10 答案 解析 tan(a+ ntana+11e 4)=1—a+^=2,得 tan 1 a=—3. ▼n~10 2 ,2sina+sin2a2sino(sina+cosa故' 又一2 n COS(a—4)
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