高中数学课后提升训练十五23离散型随机变量的均值与方差231新人教A版选修.docx
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高中数学课后提升训练十五23离散型随机变量的均值与方差231新人教A版选修
2019-2020年高中数学课后提升训练十五2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1新人教A版选修
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知随机变量X的分布列为
X
-2
1
3
P
0.16
0.44
0.40
则X的均值为 ( )
A.1.96B.1.32C.0.24D.0.56
【解析】选B.由随机变量X的分布列得:
E(X)=-2×0.16+1×0.44+3×0.40=1.32.
2.(xx·郑州高二检测)已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
且η=2X+3,则E(η)等于 ( )
A.B.C.D.
【解析】选C.因为E(X)=0×+1×+2×=,
所以E(η)=E(2X+3)=2E(X)+3=.
3.(xx·烟台检测)已知ξ~B,η~B,且E(ξ)=15,则E(η)等于
( )
A.5B.10C.15D.20
【解析】选B.因为ξ~B,所以E(ξ)=n·=15,解得n=30,又η~B,所以E(η)=n·=30×=10.
【补偿训练】(xx·长沙高二检测)设ξ~B(18,p),又E(ξ)=9,则p的值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为ξ~B(18,p),E(ξ)=9,
所以18p=9,所以p=.
4.某人从家乘车到单位,途中有3个交通岗亭.假设在各交通岗亭遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数X的均值为
( )
A.0.4B.1.2C.0.43D.0.6
【解析】选B.由题意知途中遇到红灯的次数X服从二项分布,即X~B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2.
5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=
( )
A.B.C.D.
【解析】选B.依题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=,
P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×
==.
6.(xx·济南高二检测)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为,则口袋中白球的个数为 ( )
A.3B.4C.5D.2
【解题指南】可设白球为x个,依据题设得出关于x的一个方程,解方程即可得到白球的个数.
【解析】选A.设白球x个,则黑球(7-x)个,取出的2个球中所含白球个数为X,则X取值为0,1,2,
P(X=0)=
=,
P(X=1)=
=,
P(X=2)=
=,
所以0×+1×+2×=,所以x=3.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的均值E(X)为
( )
A.B.C.D.
【解析】选B.依题意,知X的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=,P(X=4)=×=,P(X=6)==.
故E(X)=2×+4×+6×=.
【补偿训练】现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额ξ的数学期望是 ( )
A.6 B.7.8 C.9 D.12
【解析】选B.因为P(ξ=6)=
P(ξ=9)=
P(ξ=12)=
所以E(ξ)=6×
+9×
+12×
=7.8.
8.体育课的排球发球项目考试的规则是:
每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.发球次数X的分布列如下表,
X
1
2
3
P
p
(1-p)p
(1-p)2
所以E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,
解得p>(舍去)或p<,
又p>0,所以p∈.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设p为非负实数,随机变量X的分布列为:
X
0
1
2
P
-p
p
则E(X)的最大值为________.
【解析】由表可得
从而得p∈,期望值E(X)=0×+1×p+2×=p+1,当且仅当p=时,E(X)最大值=.
答案:
【补偿训练】已知随机变量X和η,其中η=4X-2,且E(η)=7,若X的分布列如表,则n的值为________.
X
1
2
3
4
P
m
n
【解题指南】由分布列的性质可得m与n的一个方程,由期望的定义与性质可得m与n的另一个方程,两方程联立可解得m,n.
【解析】η=4X-2⇒E(η)=4E(X)-2⇒7=4·E(X)-2⇒E(X)=⇒=1×+2×m+3×n+4×,又+m+n+=1,联立求解可得n=.
答案:
10.(xx·洛阳高二检测)某人共有五发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则E(X)=________.
【解析】随机变量X的分布列:
X
1
2
3
4
5
P
可知E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(xx·保定高一检测)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖.记他们的累计得分为X,求X≤3的概率.
(2)若小明、小红两个人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:
他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大.
【解析】
(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A.
则事件A的对立事件为“X=5”,
因为P(X=5)=×=,
所以P(A)=1-P(X=5)=,
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知可得,X1~B,X2~B,
所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,
从而E(2X1)=2E(X1)=,
E(3X2)=3E(X2)=.
因为E(2X1)>E(3X2),
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
12.(xx·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率.
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).
【解析】
(1)由题意,“星队”至少猜对3个成语包含“甲对一乙对二”“甲对二乙对一”与“甲乙全对”,
所以P=××××+××××+×××
=++=.
(2)“星队”两轮得分之和X的可能值为:
0,1,2,3,4,6.
P(X=0)=×=;
P(X=1)=(×××+×××)×2=;
P(X=2)=×××+×××+×××+×××=;
P(X=3)=××2==;
P(X=4)=×××2=;
P(X=6)=×=.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
【能力挑战题】
(xx·北京高考)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“·”表示服药者,“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率.
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
【解析】
(1)由图可知,在50名服药患者中,有15名患者指标y的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为即.
(2)由图,A,C两人指标x的值大于1.7,而B,D两人则小于1.7,可知在四人中随机选出两人,ξ的可能取值为0,1,2.
且P(ξ=0)=
=,P(ξ=1)=
=,
P(ξ=2)=
=,
分布列如下
ξ
0
1
2
P
E(ξ)=0×+1×+2×=1,即所求数学期望为1.
(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.
2019-2020年高中数学课后提升训练十八3.1回归分析的基本思想及其初步应用新人教A版选修
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(xx·重庆高考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ( )
A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5D.=-0.3x+4.4
【解析】选A.由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.而所得的回归直线必经过点(,),由此排除B,故选A.
2.(xx·临沂高二检测)关于回归分析,下列说法错误的是 ( )
A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B.散点图中,解释变量在x轴,预报变量在y轴
C.回归模型中一定存在随机误差
D.散点图能明确反映变量间的关系
【解析】选D.用散点图反映两个变量间的关系时,存在误差.
3.有下列说法:
①残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;
②用R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好;
③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.
其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.对于①,正确,并且带状区域宽度越窄,说明拟合的精度越高,回归方程的预报精度越高.对于②③,R2越大,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,故②③正确.
【误区警示】解答本题易出现以下三点错误
一是对残差概念不理解出现错误;二是对R2的概念理解不准确出现错误;三是对检验模型函数模拟效果理解不好造成失误.
4.(xx·宝鸡高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是 ( )
A.=1.23x+4B.=1.23x-0.08
C.=1.23x+0.8D.=1.23x+0.08
【解析】选D.设回归直线方程为=1.23x+a,
因为样本点的中心为(4,5),所以5=1.23×4+a,所以a=0.08,所以回归直线方程为=1.23x+0.08.
5.(xx·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位:
厘米)和身高y(单位:
厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为已知xi=225,yi=1600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 ( )
A.160B.163C.166D.170
【解析】选C.=22.5,=160,=160-4×22.5=70,则回归直线方程为=4x+70,所以估计该学生的身高为4×24+70=166.
6.变量x,y具有线性相关关系,当x的取值为8,12,14和16时,通过观测知y的值分别为5,8,9,11,若在实际问题中,y的预报值最大是10,则x的最大取值不能超过 ( )
A.16B.15C.17D.12
【解析】选B.因为x=16时,y=11;当x=14时,y=9,所以当y的最大值为10时,x的最大值应介于区间(14,16)内.
7.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为 ( )
【解析】选C.设y对x的线性回归方程为由表中数据得=176,=176,=,=176-×176=88,所以y对x的线性回归方程为=x+88.
8.由变量x与y相对应的一组数据(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的线性回归方程为=2x+45,则= ( )
A.135B.90C.67D.63
【解析】选D.因为=(1+5+7+13+19)=9,=2+45,所以=2×9+45=63.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(千箱)与单位成本y(元)的资料进行线性回归分析,结果如下:
=,=71,=79,xiyi=1481,=
≈-1.8182,=71-(-1.8182)×≈77.36,则销量每增加1000箱,单位成本下降________元.
【解析】由分析可得,=-1.8182x+77.36,销量每增加1000箱,则单位成本下降1.8182元.
答案:
1.8182
10.(xx·烟台高二检测)如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据__________后,剩下的4组数据的相关指数最大.
【解析】因为A,B,C,E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,D点离得远,去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大.
答案:
D(3,10)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(xx·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销售y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程其中=-20,=-.
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从
(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?
(利润=销售收入-成本)
【解析】
(1)=×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,=×(90+84+83+80+75+68)=80,从而=+20=80+20×8.5=250,故=-20x+250.
(2)由题意知,工厂获得利润z=(x-4)y=-20x2+330x-1000=-20(x-8.25)2+361.25,所以当x=8.25时,zmax=361.25.
即当该产品的单价定为8.25元时,工厂获得最大利润.
12.假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元),有如表的统计资料:
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归方程
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少.
(3)计算残差平方和.
(4)求R2并说明模型的拟合效果.
【解析】
(1)将已知条件制成下表:
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
4
9
16
25
36
90
于是有
=5-1.23×4=0.08,
回归直线方程是=1.23x+0.08.
(2)当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
(3)残差平方和:
=2.46+0.08=2.54,=3.77,=5,=6.23,=7.46,
(yi-)2=0.651,
(4)R2=1-
=1-≈0.9587,模型的拟合效果较好,使用年限解释了95.87%的维修费用支出.
【能力挑战题】
某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试验中发现,此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据:
单价x/元
35
40
45
50
日销量y/台
56
41
28
11
(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系?
如果有,求出线性回归方程.(方程的斜率保留一个有效数字)
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据
(1)写出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
【解析】
(1)散点图如图所示:
从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量具有线性相关关系.
设回归直线方程为由题意知=42.5,
=34,则求得=
=34-(-3)×42.5=161.5.
所以=-3x+161.5.
(2)依题意有P=(-3x+161.5)(x-30)
=-3x2+251.5x-4845
=-3+-4845.
所以当x=≈42时,P有最大值.
即预测销售单价约为42元时,能获得最大日销售利润.
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