大学物理华中科技版第6章习题解答docx.docx
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习题六
6-1一平面简谐波沿x轴负向传播,波长A=1.0m,原点处质元的振动频率为V7=2.0Hz,振幅A=0.1m,且在1=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动,求此平面波的波函数.
JT
解:
由题知7=0时原点处质点的振动状态为y°=O,Vo tX y=Acos[2^-(—+—)+^0]则有 TX y=0.1cos[2;r(2f+? )+;] =0.1cos(40+17ix+;)m 6-2已知波源在原点的一列平面简谐波,波函数为y=Acos(3f—Cx),其中A,B,C为正值恒 S.求: (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长; (2)写出传播方向上距离波源为/处一点的振动方程; (3)任一时刻,在波的传播方向上相距为d的两点的位相差. 解: ⑴已知平面简谐波的波动方程 y=Acos(Bz-Cx)(x>0) 将上式与波动方程的标准形式 y=Acos(2^r一2^-—) 比较,可知: B 波振幅为A,频率v=—, 2刀 波长人=2^,波速”=人〃=兰, CC 1271 波动周期T=-=—. vB (2)将x=/代入波动方程即可得到该点的振动方程 y=Acos(Bt-Cl) (3)因任一时刻[同一波线上两点之间的位相差为 2兀 =~r(x2-xi) z 将电一尤1=』,及>1=—代入上式,即得 △0=Cd. 6-3沿绳子传播的平面简谐波的波函数为y=0.05cos(10力-4;zx),式中尤,y以米计,,以秒计.求: (1)波的波速、频率和波长; (2)绳了上各质元振动时的最大速度和最大加速度; (3)求x=0.2m处质元在f=ls时的位相,它是原点在哪一时刻的位相? 这一位相所代表的运动状态在f=l.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式 271 y=Acos(2mx) A 相比,得振幅A=0.05m,频率v=55-1,波长A=0.5m,波速u=Av=2.5m-s-1. (2)绳上各点的最大振速,最大加速度分别为 Umax=-10^x0.05=0.5〃ms-1 □max=口2A=(1(X)2X0.05=5*Hl•S~2 (3)1=0.2m处的振动比原点落后的时间为 土里=0.08s u2.5 故x=0.2m,t-Is时的位相就是原点(x=0),在=1-0.08=0.92s时的位相, 即°=9.2. 设这一位相所代表的运动状态在f=1.25S时刻到达X点,则 X=%+»(? -? ])=0.2+2.5(1.25-1.0)=0.825m 6-4如题6-4图是沿X轴传播的平面余弦波在f时刻的波形曲线. (1)若波沿x轴正向传播,该时刻 A,B,C各点的振动位相是多少? (2)若波沿x轴负向传播,上述各点的振动位相又是多少? 题6-4图 解: (1)波沿X轴正向传播,则在f时刻,有 JT对于。 点: Vo=0危0 对于A点: : Va=+A,Ua=。 ,・・・Oa=0 jr对于8点: : Vb=°,*>0,「・Sb=-5 对于。 点: yc=0,vc<0,・,・(/)c=—— (取负值: 表示A、B、C点位相,应落后于。 点的位相) (2)波沿x轴负向传播,则在f时刻,有 JT对于。 点: : y;=0,访>0,二=一^对于A点: y\=+A,v;=0,=0 JT对于8点: yB=0,祚<0,「・内=富 对于C点: yc=>0,二°: =— (此处取正值表示A、B、。 点位相超前于。 点的位相) 6-5一列平面余弦波沿x轴正向传播,波速为5m-s波长为2m,原点处质元的振动曲线如题6-5图所小. ⑴写出波函数; (2)作出f=0时的波形图及距离波源0.5m处质元的振动曲线. 题6-5图(a) 3互解: (1)山题6-5(a)图知,A=0.1m,旦7=0时,y0=O,vo>0,=—, =—=—=2.5Hz,则co=2tiv=571 人2 取y=Acos[iy(Z-—)+^0],u 则波动方程为 X y=0.1cos[5^(r_—+m ⑵1=0时的波形如题6-5(b)图 将x=0.5m代入波动方程,得该点处的振动方程为 八1y5^x0.53兀、…<、 y=O.lcos(50+—)=0.1cos(50+〃)m 如题6.5(c)图所示. 6-6一列机械波沿x轴正向传播,”0时的波形如题6-6图所示,已知波速为10m・sL波长为2m,求: ⑴波函数; (2)P点的振动方程及振动曲线; (3)P点的坐标; (4)P点回到平衡位置所需的最短时间. 题6-6图(a) Ajr 解: 由题6-6图(a)可知A=0.1m,1=0时,y0=—,v0<0,=~由题知4=2m, w=10m-s-1,则v=—=—=5Hz A2 Cf)=17CV=]0万 (1)波动方程为 y=01.cos[10〃(一尚)+勺m A—4-7T (2)由图知,t=0时,yp=--,Vp<0,: .(/)p=—--(F点的位相应落后于0点,故取负值) 4 ・.・F点振动方程为%=0.1cos(10^--^) 1八,x、兀、4 i(w-仍)+砂=。 =-了 •.•解得 5,5 x=—=1.67m 3 (4)根据 (2)的结果可作出旋转矢量图如题6-6图(b),则由P点回到平衡位置应经历的位相角 、'兀兀5 △0=———=—n 326 .•.所属最短时间为 .5兀161 &===—s co10〃12 6-7如题6-7图所示, 已知t=0的波形曲线(实线所示),波沿OX方向传播。 经过f=05s后,波 形曲线如图中虚线所示。 已知波的周期T〉ls,试根据图中的条件求出波的表达式,并求出A点的振动表 6-8如题6-8图所示,有一平面简谐波在空间传播,已知P点的振动方程为Acos(破+代). (1)分别就图中给出的两种坐标写出其波函数; ⑵写出距P点距离为方的。 点的振动方程. 则波动方程为 IJQ y=Acos[ty(f4)+。 °] UU 解: (1)如题6-8图(a),如图(b),则波动方程为 y=Acos[co(t+—)+。 ()] u (2)如题6-8图(a),则。 点的振动方程为 /b A.Q—Acos[刃。 )+So] u 如题6-8图(b),则。 点的振动方程为 b Ao=Acos[(y(r+—)+^0] u 6-9已知平面简谐波的波函数为y=Acos^-(4z+2x)(SI). ⑴写出t=4.2s0t各波峰位置的坐标式,并求此时离原点最近一个波峰的位置,该波峰何时通过原点? (2)画出/=4.2s时的波形曲线. 解: (1)波峰位置坐标应满足 7i(4t+2x)=2k丸 解得]=侬一8.4)m(k=0,±l,±2,…) 所以离原点最近的波峰位置为-0.4m. 40+17tt=cot故知u=2m-s-1, u -04 ...△"=一史=0.2s,这就是说该波峰在0.2s前通过原点,那么从计时时刻算起,则应是2 271 u——=lm,又x=0处,t=4.2s时,co So=4.2x4勿=16.8勿 y0=Acos4zrx4.2=-0.8A 又,当y=-A时,奴=17兀,则应有 16.8刀+2逝=17刀 解得x=0.1m,故r=4.2s时的波形图如题6-9图所示 6-10铁路沿线的A处在进行某项施工的施工爆破,其中所产生的声波沿钢轨传到另一处B的仪器中。 由仪器的记录知第二个波(横波)比第一个波(纵波)迟到5s。 已知钢轨的杨氏模量E=2xl05N/〃m2, 切变模量G=0.15xWsN/mm2,密度p=T.8g/cm\试求: (1)横波和纵波在钢轨中的传播速度; (2)A、B两地间轨长. 6-11一平面余弦波,沿直径为14cm的圆柱形管传播,波的强度为18.0xl0-3j.nf2.si,频率为300Hz,波速为300m&i,求: ⑴波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: ⑴I=wu JIf)-3 布=一=18.Ox=6xl0-5J-m-3 u300 』=2而=1.2x10-4J.nT, (2)w=a)V=w-7id2A=w-7id2- 44y =6xl0"5x-^-x(0.14)2x迦=9.24X10"7J 4300 6-12如题6-12图所示,S]和$2为两相干波源,振幅均为司,相距Si较S2位相超前求: (1)S]外侧各点的合振幅和强度; ⑵S2外侧各点的合振幅和强度 SiS2 p—A/4—>| 题6-12图 解: ⑴设P点为波源Si外侧任意一点,相距Si为门,相距S2为",贝1JSi、S2的振动传到P点的相位差为: .7t2tt/A ==<320-^10+^-(/l-r2)= Z2Z4 所以合振幅为: A=iq—盅1=0 故合成波的强度为: Ip=O (2)设Q点为S2外侧的任意一点,同理可求得Si、S2的振动传到Q的相位差为: 2兀7L2兀4 △伊=代_们=伊2()_00+顶(6一「2)=+顶X丁=0, Z2Z4 所以合振幅为: A=A】+盅=2A 合成波的强度为: IQ=(2A])2=4A; 合成波的强度与入射波强度之比为: 土=均=4 I。 A「 6-13如题6-13图所不,设3点发出的平面横波沿3P方向传播,它在3点的振动方程为 乂=2x10—3cos20;C点发出的平面横波沿CF方向传播,它在。 点的振动方程为 y2=2X10-3cos(2^r+7t),本题中y以m计,f以s计.设BP=0.4m,CP=0.5m,波速u=0.2m-s-1,求: (1)两波传至Up点时的位相差; (2)当这两列波的振动方向相同时,P处合振动的振幅; 解: ⑴ —— weF—ep—BP) X /7J =兀——(CP—BP)u 271=兀(0.5-0.4)=0 0.2 (2)P点是相长干涉,且振动方向相同,所以 Ap=A】+A,=4xl0-3m 6-14—平面简谐波沿x轴正向传播,如题6-14图所示.已知振幅为A,频率为V,波速为". (1)若f=0时,原点。 处质元正好由平衡位置向位移正方向运动,写出此波的波函数; (2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波函数,并求x轴上因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置. jr 解: ⑴•.・,=()时,y0=O,vo>0,: .(/)0=-—故波动方程为 y=Acos[2^v(^-—)-—]mu2 397737T ⑵入射波传到反射面时的振动位相为(即将X=2人代入)-再考虑到波山波疏入射而在 4242 波密界面上反射,存在半波损失,所以反射波在界面处的位相为 2713.71 X—X兀=-兀 442 若仍以。 点为原点,则反射波在。 点处的位相为 因只考虑2万以内的位相角,.•.反射波在。 点的位相为-生,故反射波的波动 34一 方程为 YJT 》反=Acos[2如。 +—)一;■]u2 此时驻波方程为 vjrxjr y=Acos[2"——)——]+Acos[2"+-)——] u2u2 c427VVXg71、 =2AcosCOS(27TVt) u2 故波节位置为 27TVX271"兀 =—x=(2k+l)~ uA2 13 根据题意,5能取。 j,即胃y 6-15一驻波方程为y=0.02cos20xcos750f(SI),求: (1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速; (2)相邻两波节间距离. 解: (1)取驻波方程为 c,171VXc y=2Acoscos2m)t u …,0.02e 故知A==0.01m 2如=750,则〃=型,色=20 2兀u 2兀。 2^x750/2^”u-1 20 ..u===37.5m-s 20 ⑵•: A=-=27rv,20=0.1^=0.314m所以相邻两波节间距离vv Ax=—=0.157m 6-16在弦上传播的横波,它的波函数为H=0.1cos(13f+0.0079x)(SI),试写出一个波函数,使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波,并在x=0处为波节. 解: 为使合成驻波在x=0处形成波节,则要反射波在x=0处与入射波有〃的位相差,故反射波的波动方程为 y2=0.1cos(l3t-0.0079%-7t) 6-17两列火车分别以72km-h-1和54km・hT的速度相向而行,第一列火车发出一个600Hz的汽笛声,若声速为340m-s1,求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少? 解: 设鸣笛火车的车速为V]=20m-s-1,接收鸣笛的火车车速为V2=15m-s-1,则两者相遇前收到的频率为 m+v2340+15 v,==x600=665Hz 1"-V]°340-20 两车相遇之后收到的频率为 6-18一个单摆在质量为mi,半径为R的星球上做周期为Ti的简谐运动,在质量为m2>半径为R2的星球上做周期为『2的简谐运动.求局与丁2之比. 6-19如题6-19图所示,音叉沿半径r=8m的圆以角速度w=4rad/s作匀速圆周运动.音叉发出频率为v()=500Hz的声波,声波的速度为"=330m/s观察者M与圆周共面,与圆心O的距离为d=2r.试问当。 角为多大时,观测到的频率为最高或最低,并求其值. 6-20一架超音速飞机以马赫数为2.3的速度在5000m高空水平飞行,声速按330m/s计.求: (1)空气中马赫锥的半顶角的大小; (2)飞机从人头顶上飞过后经多长时间人才能听到飞机产生的声音.
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