人教A版高中数学必修4刷题练习向量加法运算及其几何意义.docx
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人教A版高中数学必修4刷题练习向量加法运算及其几何意义
2.2 平面向量的线性运算
第17课时 向量加法运算及其几何意义
对应学生用书P51
知识点一
向量加法的几何意义
1.下列命题中,真命题的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同;
②△ABC中,必有++=0;
③若++=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|.
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 ①错误,若a+b=0时,a+b的方向是任意的;②正确;③错误,当A,B,C三点共线时,也满足++=0;④错误,|a+b|≤|a|+|b|.
2.下列三个命题:
①若a+b=0,b+c=0,则a=c;②=的等价条件是点A与点C重合,点B与点D重合;③若a+b=0且b=0,则-a=0.其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.0
答案 B
解析 ①中,∵a+b=0,∴a,b的长度相等且方向相反.又b+c=0,∴b,c的长度相等且方向相反,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c,①正确.②中,当=时,应有||=||及由A到B与由C到D的方向相同,但不一定要有点A与点C重合,点B与点D重合,故②错误.③显然正确.
3.向量a,b皆为非零向量,下列说法不正确的是( )
A.向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同
B.向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同
C.向量a与b同向,则向量a+b与a的方向相同
D.向量a与b同向,则向量a+b与b的方向相同
答案 B
解析 向量a与b反向,且|a|<|b|,则a+b应与b方向相同,因此B错误.
4.如图,已知向量a,b.
(1)用平行四边形法则作出向量a+b;
(2)用三角形法则作出向量a+b.
解
(1)如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,连接OC,则=+=a+b.
(2)如图,在平面内任取一点O′作=a,=b,连接O′E,则=a+b.
知识点二
向量的加法运算
5.已知下列各式:
①++;②(+)++;
③+++;④+++.
其中结果为0的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 由向量加法的运算法则知①④的结果为0,故选B.
6.设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为________.
答案 20,4
解析 当a,b共线同向时|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,
当a,b共线反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.
当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|
即4<|a+b|<20,
所以最大值为20,最小值为4.
知识点三
向量加法的应用
7.如下图,在正六边形OABCDE中,若=a,=b,试用向量a,b将,,表示出来.
解 由题意,知四边形ABPO,AOEP均为平行四边形.
由向量的平行四边形法则,知
=+=a+b.
∵=,∴=a+b.
在△AOB中,根据向量的三角形法则,知
=+=a+a+b=2a+b,
∴=+=2a+b+b=2a+2b.
=+=+=b+a+b=a+2b.
对应学生用书P52
一、选择题
1.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的向量的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
答案 A
解析 向量加法满足交换律,所以五个向量均等于a+b+c.
2.向量(+)+(+)+化简后等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 (+)+(+)+=(+)+(++)=+0=.故选C.
3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 设a=+,利用平行四边形法则作出向量+,再平移即发现a=.
4.设向量|a|=1,|b|=1,且p=a+b,则|p|的取值范围为( )
A.[0,1]B.[0,2]
C.[1,2]D.[0,3]
答案 B
解析 因为a,b是单位向量,因此当两个向量同向时,|p|取最大值2,当两个向量反向时,它们的和为0,故|p|的最小值为0.
5.在▱ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是( )
A.菱形B.矩形
C.正方形D.不确定
答案 B
解析 |+|=||,|+|=||,由||=||知四边形ABCD为矩形.
二、填空题
6.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,则|+|=________.
答案 2
解析 如图所示,设菱形对角线交点为O.+=+=.
∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形.
又∵AB=2,∴OB=1.
在Rt△AOB中,||==,
∴||=2||=2.
7.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|=________.
答案 4
解析
如图所示,设=a,=b,则||=|a-b|.
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则||=|a+b|.
由于(+1)2+(-1)2=42,
故||2+||2=||2,
所以△OAB是直角三角形,∠AOB=90°,
从而OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形.
根据矩形的对角线相等得||=||=4,即|a+b|=4.
8.设a表示“向东走了2km”,b表示“向南走了2km”,c表示“向西走了2km”,d表示“向北走了2km”,则
(1)a+b+c表示向________走了________km;
(2)b+c+d表示向________走了________km;
(3)|a+b|=________,a+b的方向是________.
答案
(1)南 2
(2)西 2 (3)2 东南
解析
(1)如图①所示,a+b+c表示向南走了2km.
(2)如图②所示,b+c+d表示向西走了2km.
(3)如图①所示,|a+b|==2,a+b的方向是东南.
三、解答题
9.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|.
解 ∵+=+=0,
∴=,=.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又||=||=1,知四边形ABCD为菱形.
又cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),
∴∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形.
∴|+|=|+|=||=2||=,|+|=||=||=1.
10.已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点,求证:
+=+.
证明 证法一:
如图1.
因为在四边形CDEF中,+++=0,
所以=---=++.①
因为在四边形ABFE中,
+++=0,
所以=---=++.②
①+②,得
+=+++++=(+)+(+)+(+).
因为E,F分别是AD,BC的中点,
所以+=0,+=0.
所以+=+.
证法二:
如图2,在平面内取点O,连接AO,EO,DO,CO,FO,BO.
=+=+++,
=+,
=+=+++++.
因为E,F分别是AD,BC的中点,
所以=,=.
所以+=+++++++
=+++++++
=(+)+(+++)
=+(+)
=+.
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- 人教 高中数学 必修 练习 向量 加法 运算 及其 几何 意义