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广义二重积分
网极限
在我们所采用得定义1至定义4中均应用了网极限得概念,因此有必要将网极限得一般定义及部分可能要用到得性质略作阐述、
定义0、1设集合,称上得二元关系为半序关系,若其满足:
非自反性:
传递性:
,若则:
定理0、1 如此定义得半序集中没有最大元
证明:
反设
另
由知:
但由知:
矛盾、 即得证、
注:
半序关系中并没有要求,一定要有或,只要两者不同时成立即可、也就就是说,两者可以在这种关系下无法比较、
我们回忆在学习数列时定义极限得情形,不难发现当时就是依靠中得良序关系来描述极限得,然而在更多得情形下,极限得基未必能满足这样得良序关系、为了使这样得极限也能利用序列来进行描述,我们引入半序关系、这样,用能序列描述得极限得范围就被极大地扩展了、
定义0、2称偶为半序集,若且为上得半序关系、
定义0、3 称半序集为定向集,若其满足:
共尾性:
,
这个性质对网极限得定义至关重要,正就是共尾性保障了我们所定义极限得唯一性、
定义0、4称映射为中得网,若集合且为定向集,
记作
一般得网极限理论就是在拓扑空间展开得,我们在此不必涉及、我们所讨论得得网极限中,恒令、
定义0、5对于定向集上得网,
若,对,,,有
则称为映射在定向集上得网极限,即记作
定理0、1定义5中所述得网极限就是唯一得、
证明:
假设,,,有
,有
由上得共尾性:
,
从而有:
且,于就是
由得任意性知:
即证网极限就是唯一得,说明定义5就是良好得、
定义0、6设集合且中沿用中得半序关系、若:
, ,则称网得限制为网得临界子网,称半序集为得临界子定向集、
定理0、2上述定义6中得为定向集
证明:
首先按照定义, 就是半序集
又 ,
由半序关系得传递性:
即为定向集、
定义0、7 称为网得临界子网,若网限制在得一个临界子定向集上、
在临界子网上也可以定义网极限,为了证明广义二重积分在不同定义下得等价性,我们有必要建立起不同网之间得关系、
定理0、3
这个定理常用来反证网极限不存在,也就就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在,从而说明网极限不存在、
定义0、8称定向集与就是等价得,
若映射满足:
记作
定义0、9称网与网就是等价得,
若且,记作
定理0、4
证明:
不妨设存在且,
由得定义,我们有:
由为映射:
再由得保序性得:
即
即存在且
下面来说明我们以后证明中使用频率最高得共同临界子网得概念、
定义0、10 称与存在共同临界子网,若得临界子网与得临界子网等价、
至此,我们可以提出我们证明得一般思路了、
如我们要证明定义1定义2:
Step1、对于正函数,在定义1,2下得网收敛临界子网收敛
Step2、在定义1,2下,有绝对收敛性,即收敛收敛
Step3、找出定义1中得网与定义2中得网得一个公共临界子网
于就是
其中第一个与第五个等价性就是由广义二重积分得绝对收敛性得出得,第二个与第四个等价就是由正函数得广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出,而第三个等号就是由公共临界子网得等价性得出。
注意在定义四中我们找不到简单得公共临界子网,不过我们可以转而证有界性得等价性得出我们要得结论。
定义1
定理1、1设为区域中任意可求积得子集得全体集合,赋序,
则为一个定向集、
证明:
先说明就是一个半序集:
非自反性:
传递性:
且满足共尾性:
记,取
则包围得区域满足:
可测,且,
定义1、1称在上述定向集上得映射,为有限积分网,
记作
引理1、2 当二元函数时,有
证明:
(1)先证:
若存在,则存在且两者相等:
取,,当时,
即
,,且
即有界
令
当时,时:
对于同样得,
当,时,
我们取,则,当,时有:
且
即有,于就是由得任意性,得证、
(2)再证:
若存在,则存在且两者相等
令
而,我们有:
即:
,当时,
根据定义,存在且,即得证、
定理1、3 当二元函数时,,
其中为得临界子网、
证明:
(1)先证明:
若存在,则存在且两者相等
由引理1、2:
=
又得单调递增且有上界,则其上确界存在
于就是由引理1、2:
存在且等于
而,,进而有
于就是
于就是=
(2)再证明:
若存在,则存在且二者相等
由引理1:
,进而有
于就是有上界、
又得单调递增,故有上确界
再由引理1、2:
存在且等于
由
(1)中证明知:
=
即得证、
定理1、4在定义1下得广义二重积分就是绝对收敛得,即:
证明:
记于就是,
要证明与在上可积等价只需证:
我们先证明:
若,则:
有界
取,,当时,
即
,且
若,则:
从而有
若,则:
从而有:
而为某定区域,在上有界,则在上有界
于就是我们得到:
有界,
而,故
综上所述,,有界性得证
下面再证明:
:
反设,则
取得分划,, 其下与,
即:
我们将分为以下两类:
<1>在上,
<2>在上,(此时有)
将第二类取出,并记为,
则
记,则
而这与矛盾,于就是
注意到:
则单调递增且有上界,
于就是存在
由引理1、2知:
综上所述
定义2
定理2、1设为所有割下部分得全体,赋序:
则就是一个定向集,并且以作为其中每个元素得参数,我们称这种定向集为可参数化得定向集、
证明:
先说明就是一个半序集:
非自反性:
即有
传递性:
且即
然后就是共尾性:
由于,即有界,那么那么可求长曲线 满足:
即使得。
定义2、2 在上述定向集上得映射称为菲赫金哥尔茨网。
我们先对得情况进行分析:
注意到菲赫金哥尔茨网就是存在临界子网得、比如说中心为原点得圆圈列:
所包围得区组成得集合记为,且就是一个临界子定向集、将限制在上即为网得一个临界子网。
另一个例子就是中心为原点得正方形列:
所包围得区组成得集合记为,且就是一个临界子定向集、将限制在上即为网得一个临界子网。
定理2、3若,则:
。
证明:
若
那么由上确界得定义:
。
记
取
那么,由于为可求长曲线,则,有:
由得定义有:
又由知:
即证:
反之,只需证由存在有界即可
取临界子网
由于,单调上升到
记
从而有
即有界 得证、
定理2、3若,则,其中为限制在上得临界子网、
证明:
先证明若存在则也存在:
若存在则存在:
由上确界得定义知:
从而由定理2、3有存在
反之若存在,则:
存在、
,由于为得临界子网,记,那么:
其中为,围成得区域。
由
可知:
存在
且
那么
只要等式有一边存在,则必然有两边同时存在且相等,即得证、
注意以下事实:
当时,若,那么同样有:
即在任意临界子网上
引理2、1首尾相连得曲线得相加
设曲线,,、、、,得参数表示为:
满足 ,而且除以上各点外曲线互不相交,这样我们就可以定义若尔当曲线为以上曲线得与即:
证明:
我们取这样得曲线如果
由知这个分段得参数表示就是连续得,而此时没有重点,故为若尔当曲线,满足:
。
注意如果曲线,,、、、,就是围成一圈得,即,那么我们构造得曲线为若尔当闭曲线。
定理2、4 在定义2、2下得广义二重积分就是绝对收敛得,即:
证明:
注意到,
由极限得线性性,我们只需证:
由于,故
于就是
反设
那么由定理2、2可知:
我们选取临界子定向集,其中:
为正方形得边界曲线
在其上由定理2、3有:
于就是我们不妨取满足:
(由知:
我们可以选出一个无穷子序列使得:
不妨取作为新得即可)
记
首先就是可求积得,而且在上就是有界可求积得,那由积分关于区域得线性性就是成立得,即有:
又有:
不妨设,
则由上可得:
对于,将其所在得正方形区域进行分划
取细度足够小得分划:
使得对应得下与满足:
我们将这些分为下面两类:
<1>,此时有:
<2>
现在我们通过技术性得手段来构造出使得:
且:
将以上<1>中得每一个向内缩小成为以原中心为中心得边长减少得正方形
记产生得新块为:
由于这些得个数就是有限得,而在内就是有界可积得,故只要足够小(不妨设为)就能满足:
不妨设与均就是分划中得直线(若不然则将这些直线加入到原分划中,形成得新分划依然可以得到上述结论)
我们设在分划中有:
,
,
接下来就是构造得具体步骤:
我们记中心为得块为
需要说明得就是:
对于某些,可能不存在,此时我们记作
我们将这些得中心用螺旋状得线段连接起来,具体得直线段为:
再将与连接起来得线段加入
我们将上面构造得线段由中心扩展,即以每条直线段为中心线做半径为得得长方形,
这个图形记作,其中
由于这样得长方形个数有限,那么只要足够小,就有
记 那么由得构造知:
为若干线段首尾相连而成得,而每一段均可以视作曲线,从而由引理知:
这些线段在总体上来说也就是曲线,而且在这个情形下就是可求长得闭曲线(任取上一点为曲线得端点即可)
那么,最后由在上有界可积得:
故
再由积分得线性可加性得:
取足够小得,使得:
由得构造知:
只要取缩小得边长足够小,可使:
从而有:
我们取足够小可使
最后,
这样,我们构造得满足:
而且由其构造过程知:
从而有且
那么在临界子网下,此极限不存在、
由定理2、2知:
矛盾
综上所述,
定义3
与定义二得证明类似,只需将最后构造得多角形曲线得角用圆弧替换,使其成为光滑曲线即可
定义4
定义4:
其中得面积为0,而为包围某一定点得连通块。
若右端得极限存在,则对应得积分称为收敛,记为。
下面证明一个重要命题,即
绝对可积判定定理:
即在上可积与绝对可积等价。
在此之前我们证明一个引理:
引理:
若,则对,为有限区域,就是连通得。
有,为与与无关得固定正常数。
证明:
由,即对,,对,当时,取包含得连通块,有
(1)
则我们取为1,取为以原点为圆心,以对应为半径得圆周。
则由
(1),有
显然成立。
我们把分为两部分:
,。
则有积分得可与性,,则
。
而
。
对于,我们做如下讨论:
显然,,记。
作得网格分划,记所有完全在内部得小块并集为。
当分划足够小时,有内积分引理,我们可以证明,。
下面我们对进行讨论。
我们把中这些小块都取成闭集。
让每个小方块稍稍得向内收缩(就像定义2、定义3证明中我们做得一样),使它们之间互不相交,而在其并集上得积分值与上得积分值只相差任意小得。
为了下面叙述方便,而下面如无特别说明,所说小块即指内部进行过“收缩”处理互不相交得小块。
1.首先,我们找出一个可以在中做一条“狭窄得走道”与连接得小块,记为(必要时我们可以把小块得编号做适当得调整)。
这个“走道”必须保证在中且不与其她小块相交,即。
由于“走道”就是足够“窄”得,故“走道”上得积分对原积分影响很小。
这就是可以办到得,因为为连通区域。
取任意小块得一个边界点与得一个内点,连接。
则与所有小块中第一个相交得小块即我们要找得小块。
(为叙述方便,我们以后把“走道”都取成闭集。
)记与“走道”得并集为。
再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为,记与“走道”得并集为。
再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为……设这样得共、有个。
我们把这些与相连得小块称为第1级小块。
2.找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为。
记与那条“走道”得并集为。
再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为……设这样得共有个。
3.找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为,记与那条“走道”得并集为。
再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为……设这样得共有个。
我们把上述与第1级小块块直接相连得小块称为第2级小块。
特别声明,我们如果说小块与直接相连,那么当且仅当与有共同得聚点。
4.反复进行上述过程,可以把都连起来。
否则,假设不能被连起来,由于得连通性,可以把得一个边界点与得一个内点用一条在内得曲线连接起来,则曲线必与得边界相交。
上述连线与得边界得第一个交点(这里我们视点为曲线得起始点)属于。
而如果就是得边界点,则能按我们所给得连接方式与相连在一起。
如果就是得边界点,则可以从点沿着做一条“走道”相连即可。
这就与假设矛盾。
若第一个交点属于就是一样得。
现在我们来讨论一下这种连接方式得性质:
我们把这些与直接相连得小块称为一级块,而把2、3步中与第1级块以“走道”直接相连得小块称为第2级块。
以此类推,我们把与第级块以“走道”直接相连得小块称为第级块。
特别地,我们把称为第0级块,为以原点为圆心,为半径得圆。
读者可以发现我们得提供得连接方式有如下特点:
a)同级小块之间不直接相连。
b)若两小块级数差大于等于二,则她们不可能直接相连。
c)各小块必与一个且仅一个第一级小块直接相连,而可能与多个高一级小块直接相连。
d)每小块对应得“走道”必连接它与一个比它高一级得小块。
e)“走道”之间不能相交。
现在要证明就是一条简单曲线所围成区域与相交部分得一块包围点得连通块。
由于由“走道”与小块得部分边界组成,故必为可求长曲线。
故我们需要证明得边界就是一条简单曲线。
假设中存在一个“圈”,即,且,。
由于“走道”之间不相交,小块与小块之间也不相交,且每个小块上必然至少有一条“走道”,每条“走道”必然连接两个小块。
所以,必然就是若干“走道”部分边界与小块部分边界得相间排列,即“走道”部分边界,小块部分边界,“走道”部分边界……这样依次相连。
那么,这也就对应小块与“走道”依次相连,构成一个环状,如下图:
……
走道2
走道n
取上述相连中得任意小块为小块1,则圈中与它直接相连得小块只有两块。
根据前面讨论得性质,这两块中必有一块比小块1高一级,有一块比小块1第一级。
取高一级得小块记为小块2,那么与小块2直接相连得另一小块为小块3。
由性质知其必比小块2高一级。
以此类推,小块n则比小块1高n-1级,按照相连规律,它们就是不能相连得。
这也就证明得“圈”就是不存在得。
得边界就是一条简单曲线。
由此,我们取边界为所要找得直线,则就是所围成区域与相交部分得一块包围点得连通块。
故由(2)式
,
而。
联立(3)、(4)、(5)式,命题得证。
#
在得到引理后,我们可以用课堂上完全相同得方法证明绝对可积判定定理,这里不再赘述。
定义5
定义5序列,其中可求积,且,,称为得一个穷竭,若对于任意得穷竭,极限存在、证明:
与穷竭得选择无关、定义,若右端得极限对于任意穷竭存在,则对应得积分称为收敛,记作
在这个定义下,我们将发展广义二重积分得理论,那么,我们先将定义阐述得更明确
引理5、1 任意穷竭均可视为得临界子定向集
证明:
(1)设按照穷竭列得定义,中元素得序就是依照下标得良序关系给定得、、那么在恒同映射下良序集与就是保序得、
(2)若,
那么由,我们有:
而这与矛盾
从而,
进一步说明就是得临界子定向集、
引理5、2任意穷竭列得任一无穷子序列也就是一个穷竭列
证明:
设为得一个无穷子序列,
其中由严格单调递增得映射,来决定
那么由
又因为就是单调得,则:
(否则由鸽巢原理知不严格单调)
又由上可知:
于就是有:
,即
根据穷竭列得定义可知也就是一个穷竭列、
引理5、3 为穷竭列得一个无穷子序列,若存在,
则:
存在且
证明:
由引理5、2中得证明:
则,,有即
注:
其实对于每一个与,它们都就是实数,又因为就是得一个无穷子序列可推出就是得一个无穷子序列,于就是由数列得性质我们可以直接得出所需结论,甚至不必关注就是否还就是穷竭列、
作了上面得准备工作,我们就可以说明定义5就是良好得、
定理5、1若对任意穷竭,极限存在,则与穷竭得选择无关、从而说明定义5就是良好得、
证明:
记任意两个穷竭列分别为与,
令,
下面我们来构造一个新得穷竭列:
在中 有,取 记
在中 记
在中 记
根据引理5、1,这样得取法就是做得到得、
这样构造出得新数列满足:
而其中奇数项组成了得一个无穷子序列,于就是由引理2得:
即得确实穷竭列
由定义知:
再因为得奇数项组成了得一个无穷子序列,偶数项组成了得一个无穷子序列,再由引理5、2知:
至此由引理5、3得:
为了证明绝对收敛性,有必要对得情况进行一些说明
定理5、2若,则,其中为任一给定得穷竭列、
证明:
对给定得穷竭列,设存在
(1)先证明,由上确界得定义有:
,
而由,且知:
有
即存在且
(2)对于任意得一个穷竭列,由于可以瞧作得临界子定向集、
那么,一个无穷子序列 且,于就是有:
由上可知,存在
那么由
(1),
(2)可知存在,由
(1)与定理1知:
反过来,假设存在,则由于存在,而随单调递增,
则,即有上界、
于就是存在且有
定理5、3在定义5下得广义二重积分就是绝对收敛得,即:
证明:
注意到,
由极限得线性性,我们只需证明:
可积,不难发现,
于就是取一穷竭列,由定理5、2知:
存在
但
由定理5、2知:
最后得
反设
则由定理5、2知:
我们不妨假定满足:
(由知可以选出一个无穷子序列使得,我们不妨取作为新得即可)
设
首先就是可求积得,而且在上就是有界可积得,那么积分关于区域得线性性就是成立得,即我们有:
我们又有
不妨设右端两积分中
则:
对于,将其代以分化足够细得Darboux下与使下面得不等式成立:
我们将这些分为两个部分:
<1>,即有
<2>
取,即第一类得并
更有 (1)
记,则可积且在上有界可积
又
(2)
积分线性性成立,
(1)式与
(2)式相加得:
最后,我们来说明就是一个穷竭列:
由
即得确就是一个穷竭列而,
这与矛盾
定义1与定义5得等价性
证明:
(1):
存在,则对任意穷竭,记集合
记加上自然数得序关系构成得定向集为
而极限就是映射:
在定向集下得网极限、
由知:
(取恒同映射,它就是保序得)
而,从而有,
那么存在,而
由得任意性,得证
(2)
反设,则
于就是对任意穷竭列,
从而,再由绝对收敛性得:
矛盾、
定义1与定义2,3得等价性
定义一与定义二得等价性证明与定义一与定义三得等价性证明就是可以一起完成得,那就是因为由我们在网极限中给出得纲领,在我们已经证明step1与step2之后,只需找到一个公共得临界子网即可,我们可以取 作为公共得临界子定向集从而以此为构造公共临界子网。
这个子网中得为可微曲线,且满足定义二与三得要求。
定义2与定义4得等价性
定义2:
,其中得面积为0。
若右端极限存在,则对应得积分称为收敛,记为。
定义4:
其中得面积为0。
就是中得一个包含任意给定点得(饱与)连通块(即,就是中一连通分支)若右端极限存在,则对应得积分称为收敛,记为。
证明:
定义2等价于定义4、
证:
由于有界,对于任意得得面积为0。
同样得有有界,对于任意得得面积为0。
所以该命题只用证明有界就是可以互推即可。
(1)有界有界:
由于对于任意得得面积为0均有,故,所以当对于任意得得面积为0,有界时,对于任意得得面积为0,也为得界。
这说明得上确界不超过得上确界。
(2)有界有界:
任取得面积为0,且满足,由于与可求面积,从而也可求面积。
由于在上可积,故有界。
设在上界为。
由于可求面积就是由网格分划定义得,故:
有限个小矩形,使
就是得面积,则称为得面积。
除去有限个包含得连通分支(连通分支就是否可求积)不用去除,直接用内简单图形即可!
剩下得部分面积将小于任意得。
由于就是域,故就是连通得,所以从这有限个包含得每个连通分支中取一点,则在中存在折线段,其中为连接与得折线段。
由于每个折线段均有界,记这些折线段得点上到原点得最远距离为,则
取面积为0且,则在中这些连通分支已经成为一个包含连通分支。
因此我们有:
当对于任意得得面积为0,有界时,所有大于得数都就是得界。
这说明得上确界不超过得上确界。
由以上证明,我们得到2个事实:
1.对于任意得得面积为0,有界对于任意得得面积为0,有界。
2.若二者均有界,则上确界相等。
1说明,而2说明任意正函数在两种积分定义下相等。
令,,则,均为正函数且,由于,在两种积分定义下相等,故在两种积分定义下也相等。
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- 广义 二重积分