全中考数学二次函数压轴题综合详解.docx
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全中考数学二次函数压轴题综合详解
中考数学二次函数压轴题综合详解
【例题1】如图,已知直线y=﹣3x+c与x轴相交于点A(1,0),与y轴相交于点B,抛物线
y=﹣x2+bx+c经过点A、B,与x轴的另一个交点为C,抛物线的对称轴交x轴于点E.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)点P是第二象限抛物线上一点,且S△PAB=2S△AOB时,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连接AP交y轴于点D,若点Q是第二象限内抛物线上一动点,连接QE交CD于点F,求以C、E、F为顶点的三角形与△AOB相似时点Q的坐标.
【解析】解:
(1)将点A(1,0)的坐标代入y=﹣3x+c,解得:
c=3,
则点B(0,3),则抛物线的表达式为:
y=﹣x2+bx+3,
将点A(1,0)的坐标代入二次函数表达式并解得:
b=﹣2,
故抛物线的表达式为:
y=﹣x2﹣2x+3…①,
抛物线的顶点坐标为(﹣1,4);
(2)连接PB,过点P作PH⊥x轴于点H,
设点P(m,n),n=﹣m2-2m+3,
2S△AOB=2×1/2×OA×OB=3,
S△PAB=S梯形PHOB+S△AOB﹣S△APH=1/2(n+3)(﹣m)+3/2﹣1/2(1﹣m)n=3,
整理得:
m2﹣m+6=0,
解得:
m=3或﹣2(舍去正值),
故点P(﹣2,3);
(3)C、E、F为顶点的三角形与△AOB相似时,只有∠CEF=90°和∠CFE=90°,
①当∠CEF=90°时,Q与抛物线的顶点重合,
故点Q(﹣1,4);
②∠CFE=90°时,过点F作FG⊥x轴于点G,
当△CFE∽△BOA时,则∠OBA=∠FCE=α,
则tan∠OBA=tan∠FCE=tanα=1/3,则sinα=1/√10,cosα=3/√10,
则EF/CF=OA/OB=1/3,
设EF=m,可知CE=2,则CF=3m,
由EF2+CF2=CE2,
解得:
m=2/√10,则CF=6/√10,
FG=CFsinα=3/5,CG=CFcosα=9/5,
则点F(﹣6/5,3/5),
将点E、F的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:
3/5=-5/6k+b,0=-k+b,
解得:
k=-3,b=-3,
故直线EF的表达式为:
y=﹣3x﹣3…②,
①②联立并解得:
x=3或﹣2(舍去正值),
故点Q(﹣2,3);
当△CFE∽△AOB时,这种情况不存在,
故点Q的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).
【例题2】如图,抛物线y=ax2﹣bx+3交x轴于B(1,0),C(3,0)两点,交y轴于A点,连接AB,点P为抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P到直线AB的距离为7/9√10时,求点P的横坐标;
(3)当△ACP和△AOC的面积相等时,请直接写出点P的坐标.
【解析】解:
(1)用交点式抛物线表达式得:
y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),
即3a=3,
解得:
a=1,
故抛物线的表达式为:
y=x2﹣4x+3…①,
则点A(0,3);
(2)过点P作PH⊥AB于点H,过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G,
则∠ABO=∠HPG=α,
在△AOB中,tan∠ABO=OA/OB=3=tanα,
设PG=n,则HG=3n,PH=7/9√10,
即:
n2+9n2=(7/9√10)2,
解得:
n=7/9,
则直线直线AB的表达式为:
y=﹣3x+3,
设点H(m,3﹣3m),则点P(m+7/3,34/9﹣3m),
将点P坐标代入①式并整理得:
3m2+11m﹣14=0,
解得:
m=1或﹣14/3,
故点P的横坐标为:
10/3或﹣7/3;
(3)
①当点P在x轴上方时,参考
(2)作△P′G′H′(P'H'⊥AC),过点O作OM⊥AC于点M,
∵△ACP和△AOC的面积相等,
∴P′H′=OM,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠OAC=45°,
∴OM=3/2√2,
即:
P′H′=OM=3/2√2,
∵H'G'∥x轴,
∴∠ACO=∠P'H'G'=45°,
∴H'G'=P'G'=3/2,
可知直线AC的表达式为:
y=﹣x+3,
设点H'(m,3﹣m),则点P'(m+3/2,9/2﹣m),
将点P'坐标代入①式并整理得:
m2=21/4,
解得m=1/2√21或-1/2√21,
此时P'的坐标为((3+√21)/2,(9-√21)/2)或((3-√21)/2,(9+√21)/2),
②当点P不在x轴上方时,参考
(2)作△P′G′H′(P'G'⊥AC),过点O作OM⊥AC于点M,
同理可得:
点G'(n,3﹣n),则点P'(n-3/2,3/2﹣n),
将点P'坐标代入①式并整理得:
n2-8n+51/4=0,
解得n=(8+√13)/2或(8-√13)/2,
此时P'的坐标为((5+√13)/2,(-5-√13)/2)或((5-√13)/2,(-5+√13)/2),
综上点P的坐标为:
((3+√21)/2,(9-√21)/2)或((3-√21)/2,(9+√21)/2),
((5+√13)/2,(-5-√13)/2)或((5-√13)/2,(-5+√13)/2).
【例题3】如图,已知二次函数y=1/2x2+bx+c的图象经过点A(﹣3,6),并与x轴交于点B(﹣1,0)和点C,顶点为点P.
(1)求这个二次函数解析式;
(2)设D为x轴上一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;
(3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点N,使AM+MN的值最小?
若存在,求出M、N的坐标:
若不存在,请说明理由.
【解析】解:
(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:
故:
抛物线的表达式为:
y=1/2x2﹣x﹣3/2,
令y=0,则x=﹣1或3,令x=0,则y=﹣3/2,
故点C坐标为(3,0),点P(1,﹣2);
(2)
①点D在点C的右侧时,设:
∠DPC=∠BAC=α,
过点B作BH⊥AC交于点H,过点P作PG⊥x轴交于点G,
由题意得:
AB=2√10,AC=6√2,BC=4,PC=2√2,
∵S△ABC=1/2×AC×BH=1/2×BC×yA,
∴BH=2√2,
∵sinα=BH/AB=2√2/2√10=1/√5,则tanα=1/2,
由题意得:
GC=2=PG,故∠PCB=45°,
延长PC,过点D作DM⊥PC交于点M,则MD=MC=x,
在△PMD中,tanα=MD/PM=x/(x+2√2)=1/2,
解得:
x=2√2,则CD=√2x=4,
故点D(7,0);
②当点D在点C的左侧时,设:
∠DPC=∠BAC=α,过D点作DM⊥PC于点M,
∠PCB=45°,则MD=MC=y,
在△PMD中,tanα=MD/PM=y/(2√2-y)=1/2,
解得:
y=2/3√2,则CD=√2y=4/3,
故点D(5/3,0),
综上点D(7,0)或(5/3,0);
(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6),
过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴于点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,
直线AP表达式中的k值为:
8/-4=﹣2,则直线A′N表达式中的k值为1/2,
设直线A′N的表达式为:
y=1/2x+b,
将点A′坐标代入上式并求解得:
b=7/2,
故直线A′N的表达式为:
y=1/2x+7/2…①,
当x=1时,y=4,
故点M(1,4),
同理直线AP的表达式为:
y=﹣2x…②,
联立①、②两个方程并求解得:
x=﹣7/5,
故点N(﹣7/5,14/5).
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