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美赛历年题目
MCM2013A题:
最佳巧克力蛋糕烤盘
当你使用一个矩形的烤盘烘烤食物时,热量会集中在烤盘的四个角落,于是角落处的食物就会被烤糊(烤盘边缘处也有类似情形,但程度轻一些)。
当使用一个圆形烤盘时,热量会均匀地分布在整个边缘上,就不会再有边缘上烤糊的现象发生。
然而,由于大多数烤箱内部是矩形的,如果使用圆形烤盘,就不能充分利用烤箱的内部空间了。
建立一个模型,来描述热量在不同形状的烤盘表面的分布。
这些形状包括矩形、圆形以及两者之间的过渡形状。
假设,1、矩形烤箱的宽长比为W/L。
2、每个烤盘的面积为A。
3、先考虑烤箱内有两个搁架且间隔均匀的情形。
建立一个模型用以选择满足下列条件的最佳烤盘的形状:
(1)、使得烤箱中可以容纳的烤盘数量(N)最大。
(2)、使得烤盘上的热量分布(H)最均匀。
3、综合
(1)、
(2)两个条件,并且为
(1)、
(2)分别设置权值p和(1-p),寻求最优。
然后描述结果随着W/L和p的值的变化是如何变化的。
除了撰写MCM论文之外,你还要为新的一期巧克力蛋糕美食杂志准备一个一至两页的广告,阐述你的设计和结果的亮点所在。
MCM2013B题:
水,水,无处不在
淡水资源是世界上许多地方持续发展的限制因素。
建立数学模型来确定一个有效的,可行的,低成本的2013年用水计划,来满足某国(从下方的列表中选择一个国家)未来(2025年)的用水需求,并确定最优的淡水分配计划。
特别的,你的数学模型必须包括储存、运输、淡化和节水等环节。
如果可能的话,用你的模型来讨论你的计划对经济,自然和环境的影响。
提供一个非技术性的意见书给政府领导概述你的方法,以及方法的可行性和成本,以及它为什么是“最好的用水计划的选择”。
国家:
美国、中国、俄罗斯、埃及或者沙特阿拉伯。
ICM2013C题:
地球健康的网络建模
背景:
全社会都在关注如何研究与应用模型来预测我们地球的生物和环境的健康状况。
许多科学研究表明地球的环境和生物系统所面对的压力正在增加,但是能够验证这一观点的全局性模型却很少。
联合国支持的千年生态系统评估综合报告指出:
由于无节制的开采利用,地球上近三分之二的生命支持生态系统正在逐渐退化,这一系统包含干净的水,纯净的空气,和稳定的气候等。
人类在很大程度上要对这种环境破坏负责。
对粮食,淡水,燃料,以及木材的海量消耗将导致地球环境的剧烈变化,如森林遭砍伐,土地,空气和水遭污染。
尽管已有大量关于局部栖息地和地域因素的环境健康研究工作,但是目前所有的模型还是不能明确告知决策者各地方的局部政策是如何影响地球的整体健康状况的。
许多模型忽视了复杂的整体因素,不能用于判定既定政策的长期影响。
而科学家们意识到大量环境和生态系统中的复杂关系和交叉作用影响着地球的生物圈,现有的模型常常忽略了这些关系或者限制了系统的各要素之间的联系。
系统的复杂性体现在多元互动,反馈回路,应急行为以及临界状态变化或者临界点的存在。
最近由22个国际知名科学家在《自然》杂志上发表了题为《地球的生物圈正在接近状态的改变》的论文,该论文概述了许多需要有关科学模型解决的问题,并且阐述了预测地球健康系统的潜在状态变化的重要性。
这篇文章在呼吁建立更好的预测模型时提出了两个具体的量化建模问题:
(1)改进生态预测全局模型,应考虑地球上相互关联的系统间的复杂性,包括局部条件如何影响全局模型,以及全局系统对局部条件的影响。
(2)确定那些可能会产生不良的整体状态变化的因素,并且展示如何利用有效的生态管理来阻止或者限制这些临界状态发生。
所导致的研究问题是我们是否可以利用局部的或者是区域性的地球健康状态以建立整体模型来预测潜在的状态改变,并且帮助决策者基于这些潜在的影响地球健康的因素制定一些有效的政策。
虽然许多警告性的状况正在出现,但是没有人知道是否地球健康正在真正接近整体临界点,也没有人知道这种极端的状态是否是可以避免的。
《自然》杂志的这篇文章和许多其他的文章都指出地球的生态系统中有几个重要的因素正在起作用(例如:
局部因素、整体影响、多维因素和相互关系、时空变化)。
还有许多其他因素,诸如人口、资源和栖息地紧缩、栖息地变迁、能源消耗、气候变化、土地开采模式、污染、空气化学物、海洋化学物、生物多样性,以及诸如社会动荡和经济不稳定的政治模式,这些都可以包括在一个预测模型中。
古生物学家已经研究并且模拟了过去几个地球环境大幅度状态改变时期的生态系统的行为和反应。
因此,基于历史的定性和定量的信息可以为未来的预测模型提供背景。
然而,应该指出的是,在当前的生物圈,人类的影响已经比过去有显著的增加。
要求:
假设你们是ICM的成员,将要主办一个主题为“网络与地球的健康”的研讨会,你们的研究组长要求你们在研讨会以前预先进行建模和分析。
他要求你们小组做如下事情:
要求1:
对于地球的健康状况的某一影响方面(你们自己选定量化指标),建立一个动态的全球网络模型,并通过选定这种情况下的局部要素(即网络节点)以及要素间的连接(即网络链路)来跟踪它们间的关系和属性效应。
由于这些效应的动态本质是很重要的,这个网络模型必须包括一个动态的时间元素来使模型可以预测这个健康状况的影响因素的未来状态。
例如,你们定义的节点可以是国家,洲,海洋,栖息地或这些元素的任意组合,或者是能够共同构成一个整体模型的其他元素。
你们定义的链路可以表示随着时间变化的节点或环境的影响,或各种物理因素(如污染)的流动与演化。
你们所选的健康影响量化指标可以是地球状况的任意一方面,包括人口统计学方面的,生物学方面的,环境的,社会的,政治的,物理的或化学方面的状况。
请确保对你们模型中的所有元素都进行了定义,并解释你们关于网络方式,节点实体和链路属性的模型决策的科学依据。
在设置所有参数后,如果有充足的样本数据,请用一种方法来解释如何检验你们的模型。
哪些数据能够用来证实或验证你们的模型?
(注意:
如果你们没有必要的数据来确定参数或进行验证,也不要抛弃你们的模型。
在这种情形下,你们的组长认为创造性的想法和理论模型与经过数据验证的模型是同等重要的。
)在你们的模型中一定要考虑人类活动因素,并解释人类行为和政府政策在哪些地方影响你们模型的结果。
要求2:
基于你们的模型,给出预测未来的地球健康状况的方法。
你们首先要估计参数,通常情况下,这些参数值是通过实际数据计算而得。
(请记住:
这只是测试和理解你们模型的元素,不是用它来预测和决策。
)你们的模型将会受哪些因素影响?
你们的模型是否能预测地球健康情况的状态变化或临界点?
是否能通过改变局部条件获得对全局结果带来的影响进行预警?
是否能在重要政策上对决策者提供决策参考资料?
在你们所选的地球健康影响指标和网络属性中考虑了人类因素吗?
要求3:
网络模型的一个强有力优势在于它具有分析网络结构的能力。
在你们的模型中,网络属性能帮助识别关键节点或节点间的关系吗?
如果能,对此进行分析。
你们的模型对于链路的缺失与节点间关系的改变的敏感性如何?
你们的模型使用反馈回路或考虑了不确定因素吗?
数据收集方面有哪些问题?
你们的模型能对各种政府政策作出反应并因此有助于政府制定计划吗?
要求4:
写一个20页(不包括摘要)的报告来解释你们的模型和它的潜力。
一定要详细说明你们模型的优缺点。
在将要到来的研讨会上,你们的组长将会以你们的报告作为一个主要议题,如果你们的模型是合理的并且对地球的健康状况建模方面有深刻的见解,组长会请你们在研讨会上作报告。
祝你们的网络建模工作顺利!
可能会用到的参考文献如下:
∙AnthonyD.Barnosky,ElizabethA.Hadly,JordiBascompte,EricL.Berlow,JamesH.Brown,MikaelFortelius,WayneM.Getz,JohnHarte,AlanHastings,PabloA.Marquet,NeoD.Martinez,ArneMooers,PeterRoopnarine,GeeratVermeij,JohnW.Williams,RosemaryGillespie,JustinKitzes,CharlesMarshall,NicholasMatzke,DavidP.Mindell,EloyRevilla,AdamB.Smith.“ApproachingastateshiftinEarth’sbiosphere,”.Nature,2012;486(7401):
52DOI:
10.1038/nature11018
∙DonellaMeadows,JorgenRanders,andDennisMeadows.LimitstoGrowth:
The30-yearupdate,2004
∙RobertWatsonandA.HamidZakri.UNMillenniumEcosystemAssessmentSynthesisReport,UnitedNationsReport,2005.
∙UniversityofCaliforniaatBerkeley.“EvidenceofimpendingtippingpointforEarth.”ScienceDaily,6Jun.2012.Web.22Oct.2012.
MCM2012A题:
树的叶子
“一棵树的叶子有多重?
”怎么能估计树的叶子(或者树的任何其它部分)的实际重量?
怎样对叶子进行分类?
建立一个数学模型来对叶子进行描述和分类。
模型要考虑和回答下面的问题:
为什么叶子具有各种形状?
叶子之间是要将相互重叠的部分最小化,以便可以最大限度的接触到阳光吗?
树叶的分布以及树干和枝杈的体积影响叶子的形状吗?
就轮廓来讲,叶形(一般特征)是和树的轮廓以及分枝结构有关吗?
你将如何估计一棵树的叶子质量?
叶子的质量和树的尺寸特征(包括和外形轮廓有关的高度、质量、体积)有联系吗?
除了你的一页摘要以外,给科学杂志的编辑写一封信,阐述你的主要发现。
MCM2012B题:
大长河沿岸露营
大长河(225英里)可以欣赏风景的意见和令人兴奋的白色水激流。
这条河无法通过远足活动访问,所以享受它的唯一方法就是去河旅行,需要几天的露营。
河trips一切开始在第一次启动和退出在最终退出,河下游225英里。
乘客拿桨-动力橡胶木筏,平均旅行4英里每小时,或机动的船,平均旅行8英里每小时。
Trips的范围是从6到18夜的露营在河上的开始完成...负责管理这条河的政府机构希望每次去享受荒野的经验,与其他团体的船在河上最少接触。
目前,Xtrips旅行下大长条河每年在六个月期间(今年太冷河旅行的其余部分)。
大长江,相当均匀分布于整个河流廊道上有Y营地。
鉴于河漂流的兴起,公园经理被要求允许更多的旅行,沿着这条河。
他们想要确定如何,他们可能会安排班次,不同的持续时间(以夜河上衡量)的最优组合和推进(电机或桨)将利用露营可能的最佳方式。
换句话说,多少更多船旅行能被添加到大长河漂流季节?
河经理雇你,向他们提供关于各种方法,制定最佳计划和各种方法,确定承载力的河,记住没有两个集的露营者可以占用相同的站点,在同一时间。
除了您一页摘要表外,还准备管理者的描述您的主要调查结果的河的一页备忘录。
MCM2011A题:
滑雪场
请设计一个单板滑雪场(现为“半管”或“U型池”)的形状,以便能使熟练的单板滑雪选手最大限度地产生垂直腾空。
“垂直腾空“是超出“半管”边缘以上的最大的垂直距离。
定制形状时要优化其他可能的要求,如:
在空中产生最大的身体扭曲。
在制定一个“实用”的场地时哪些权衡因素可能需要?
MCM2011B题:
中继站的协调
特高频无线电频谱包含信号的发送和接受。
这种限制可以被中继站所克服。
中继站可以捕捉到微弱的信号,然后把它放大,再用不同的频率重新发送。
这样,低功耗的用户,例如移动电话用户,在不能直接与其他用户联系的地方可以通过中继站来保持联系。
然而,中继站之间会互相影响,除非彼此之间有足够远的距离或通过充分分离的频率来传送。
除了地理的分离、“连续编码音调控制系统”(CTCSS),有时被称为“私人专线”(PL)、通过这项技术可以减轻干扰问题。
该系统连接每个中继站,靠的是所有通过同一个中继站连接的用户发送的独立的亚音频音调来连接。
中继站只回应接收到的具有特殊PL的语调的信号。
通过这个系统,两个附近的中继站可以共享相同的频率对(包括接收和发送);对于更多的中继站(并且更多的用户)可以安置在一个特定的区域。
在一个半径40英里的圆形区域,请你设计一个方案,用最少量的中继站来容纳1000同时在线用户。
假设频谱范围是145到148兆赫,在中继站中的发射机的频率要么是600千赫以上,要么低于接收机频率600千赫、并且这里有54个不同的PL可用。
如果这里有10,000个用户,如何改变你的解决方案。
在由于山区引起信号传播的阻碍的地区,讨论这样的情形。
MCM2010A题:
解释棒球棒上的“最佳击球点”
每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点,这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。
为什么这个点不在棒球棒的最末端?
基于力矩的解释或许可以解释确定棒球棒的最末端就是最佳的击球点,但是实际当中并不是这样的。
构建一个模型帮助解释实际当中的这个发现。
有一些棒球手相信在最佳击球点添充上软木塞可以提高打击效果(在球棒头部挖一个圆柱状槽,填充上软木塞或者橡皮。
进一步扩展模型确认或者否定该结论。
这个解释是否可以解释为什么棒球联盟否定这种做法。
球棒是否和材质有关系,模型是否可以预测木头和金属球棒的不同打击效果?
这是否是联盟禁止金属球棒的原因?
MCM2010B题:
犯罪学问题
1981年PeterSutcliffe(萨克利夫)被判刑因为他参与了十三起谋杀和对其他人的恶毒攻击。
缩小搜索Sutcliffe的方法之一是发现一个攻击位置的“质心”.最终犯罪嫌疑人恰好生活在该方法预测的同一个小镇。
从那时起,已经发展出一系列更加复杂的技术用来预测基于犯罪地点的具有地理效应(地理轮廓)的系列犯罪行为。
你的团队被一个当地警察局要求发展出一种方法用来帮助他们的系列犯罪调查。
你们的方法应该至少需要利用两种不同的情景以生成地理效应(地理轮廓),进而根据不同情况下的分析结果对执法人员提供有效的预测。
基于以往犯罪的时间和位置,预测信息应该提供一些估计或指导下次可能的犯罪地点。
如果在预测中用到了其它的信息,必须提供特别的细节说明告诉我们这些信息是如何被整合的。
你们的方法中也应该包括在给定条件下(包括适当警告信息)下预测的可靠性估计。
除了必要的一页小结,你们的报告应该包括两页额外的总结。
这两页总结应该提供潜在问题的概述,它应该提供什么情况下,你们提出的方法是一个恰当的工具,在哪些情况下它不是。
执行摘要将宣读了警察局长,并应包括适当的目标受众的技术细节。
MCM2009A题:
设计一个交通环路
许多城市和社区都存在交通圈,从圈中(如在巴黎凯旋门,胜利纪念碑在曼谷)到许多大的小巷中圈与一个或两个小的通道。
这些交通圈立场的一些停止标志或道路上的每个传入让步标志优先的交通圈已经有的位置上的圆圈在每个传入的道路交通优先传入让步标志,有的位置A红绿灯对每个传入路(右转上没有红灯允许)。
其他设计也是可能的。
这个问题的目的是用一个模型,以确定如何最好地控制交通,绕流,并走出了一条循环。
国家明确的目标,你在你的模型的使用做出的最佳选择时,应考虑影响这种选择的因素。
包括一个不超过两个双页纸,应说明了交通工程师如何使用你的模型,以帮助选择适当的流量控制任何特定交通圈的方法更多的技术总结。
也就是说,总结一下,每种类型交通控制方法的应该在什么条件下使用。
当推荐使用交通灯时,说明确定每个指示灯应多少秒为绿色(可根据不同的日期和时间等因素)的方法。
用具体例子说明您的模型是如何工作的。
MCM2009B题:
能源与手机
这个问题涉及到手机革命的“能源”后果。
使用手机是雨后春笋,许多人使用手机,放弃了他们的固定电话。
从用电方面考虑这种行为的后果是什么?
每部手机配备了一个电池和一个充电器。
要求1
考虑到目前美国,约300万人口的国家。
从现有户数小时的数据估计,每个成员有手机,这在过去是由固定电话服务。
现在,假设所有的座机被手机取代,那就是因为家庭的每个成员都有一部手机。
用模型估计用电在美国目前的变化的后果,无论是在过渡期间还是稳定期间。
分析家应该考虑到为手机电池充电的需要,以及一个事实,即手机不会像固定电话长时间被使用(例如,手机丢失或者损坏)。
要求2
考虑第二个“伪美国”他是一个与当前美国具有相同的经济地位约300万人口的国家。
然而,这个新兴国家既没有固定电话也没有手机。
从能源的角度考虑,什么是提供电话服务的最佳方式?
当然,手机有很多社会后果,并且使用该固定电话不允许的。
关于只有一个有固定电话,只使用一个手机,或者是两者的混合物所引起的广泛和隐藏的后果的讨论。
要求3
手机需要定期充电。
然而,许多人始终保持自己的充电器插上此外,很多人每天晚上自己的手机充电,无论是否需要充电。
根据你对要求2的答案,为这种伪美国的浪费做法建立模型。
假设伪美国用供应的石油发电。
从石油桶的方面,解释你的结果。
要求4
估计由使用不同的充电器类型(电视,录像机,计算机外围设备,等等)但离开时不充电的设备插入使用的能源量。
使用准确的数据为由当前美国浪费了在每天的石油桶上的能量建立模型。
要求5
现在考虑在未来50年的人口和经济增长。
一个典型的伪美国怎么可能发展壮大?
在未来50年中每10年间,根据你在要求1和要求3的分析,预测提供电话服务的能源需要。
同样,假设提供电力来自石油。
从石油桶的方面,解释你的预测。
ICM2009C题:
建立食品系统:
重新平衡人类影响的生态系统
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CreatingFoodSystems:
Re-BalancingHuman-InfluencedEcosystems
MCM2008A题:
冰盖融化问题
请考虑由于全球气温升高所造成的北极冰帽融化对大陆的影响。
特别地,请建立模型讨论北在未来50年内每10年极冰帽融化对佛罗里达海岸的影响,尤其要关注对大型都市区的影响。
就此问题给出适宜的回答,对所用数据作详细讨论应是重要的组成部分。
MCM2008B题:
数独谜题生成问题
开发一个产生数独题目的算法,该算法能产生不同难度级别的数独题目。
要求首先定义数独难度级别,并将其作为产生不同难度级别数独题目的标准。
算法和度量标准应该具有可扩展性,能够很容易扩展到更多难度级别。
并且至少用4个难度级别来进行例证说明。
另外一定要保证数独题目具有唯一解。
特别注意要分析算法的复杂性,并在满足前面要求的条件下使算法复杂性达到最小。
ICM2008C题:
卫生保健系统评估
每个国家都有各自的一些卫生保健系统,为她们的居民提供卫生保健服务。
人们通常关注的、也经常出现在新闻报道中的问题是:
什么样的系统更好,以及现有的系统是否可以得到进一步改善?
在不同国家,卫生保健系统在很多方面是不同的,例如:
它们是如何提供资助;是否通过公共,私人或非营利组织来提供服务;是否所有居民都享有公共保险;谁有资格寻求帮助;都有哪些保健项目;最新的医疗措施是否可供使用,以及有多少需要交纳费用?
还有一些其他因素,在讨论和判定医疗服务质量时往往也需要考虑,包括:
补充护理(配镜,牙科,假肢,处方药等)的覆盖率;哪些疾病是影响公共健康的最关键因素;国民生产总值中用于医疗保健部分所占的百分比;医疗保健费用中用于劳动/行政/医疗事故保险部分所占的百分比;公共与私人医疗服务支出的比例;人均卫生保健支出及其增长率;参与医师人数;人均病假天数;针对不同年龄、种族、性别、社会经济阶层的保健状况等。
除了上述因素决定医疗服务质量外,还应考虑与健康相关的其它因素的影响,例如个人锻炼、粮食供应、气候、公民就业和吸烟习惯等。
联合国辖下的世界卫生组织(WHO),具有建立和公布卫生统计报告是WHO的重要功能,是世界卫生因素统计资料的重要来源.世界卫生报告每年针对全球健康因素进行评估(http:
//www.who.int/whr/en/index.html),世界卫生统计报告提供了联合国各成员国的卫生统计数据(http:
//en.wikipedia.org/wiki/world_health_organisation)。
这些数据以及相关的分析通常被认为是针对整个世界卫生保健状况的公正且十分有价值的信息。
除此之外,还有许多其他来源可靠的卫生统计数据可用。
请完成下述几个部分的要求:
1、描述几个不同的指标,用来有效评估一个国家的卫生保健系统,如居民的平均预期寿命。
考虑使用什么指标来比较现有的和潜在的系统?
试着将多种衡量标准有机结合,使它们在能更好地衡量卫生保健系统的服务质量?
2、筛选当前的数据来源提供的原始数据,以计算第一部分提到的度量标准,基于这些可用的数据可能需要修改上述指标列表。
解释为什么选择这些数据,并说明它们如何能够被用来评估和比较存在于不同国家的卫生保健系统。
3、选取至少三个最重要的、可行的指标来比较不同的卫生保健系统,并说明这些指标的有效性.考虑这些指标能否反映出现有卫生保健系统的历史变化以及搜集这些指标的难易程度。
4、使用选取的三个(或更多)的指标,用能找到的最新的数据资料,来对美国与另外一个被认为具有较好卫生保健系统的国家进行比较,哪个国家有更好的卫生保健系统?
并评价结果的合理性。
5、使用选取的三个(或更多)的指标,用能找到的最新的数据资料,来对美国与另外一个被认为具有较差卫生保健系统的国家进行比较。
6、根据选择的指标的计算结果,针对一个国家(美国或其他)的卫生保健系统提出改进意见,建立预测模型来确定这些改进意见对总体卫生保健系统的提高作用。
MCM2007A题:
不公正的选区划分
美国宪法规定众议院由一定数目的众议员(目前是435人)组成,他们是由各州按照该州人口占全国总人口的百分比选出来的。
尽管这种规定提供了确定每个州有多少众议员的方法,但是一点也没有说及有关一个特定的众议员所代表的选区应该怎样按地区决定的问题。
这种疏忽已经导致了按某种标准看来是违反常情的很不好的(至少某些人认为通常是不必这样做的)选区安排。
因此就向你们提出了以下的问题:
假设你们有机会去制定一个州的众议院的选区。
你们会怎样把它作为一种纯“基础性”的练习来创建一个州的所有选区的“最简单”的划分。
这些划分规则中至少要包含一条:
该州的每个选区必须有同样的人口。
“简单”的定义要由你们来下;但是你们必须就你们的解决方法是公正的做出一个能够使该州选民信服的论证。
作为你们的方法的应用,试创建纽约州的按地域来说是简单的选区划分。
MCM2007B题:
飞机就座问题
航空公司允许引领候机乘客以任何次序就座。
已经成为惯例的是首先引领有特殊需要的乘客就座,然后是头等舱的乘客就座(他们坐在飞机的前部)。
然后引领持经济舱和商务舱机票的乘客从飞机后排开始向前按照排结组就座。
从航空公司的角度来看,除了考虑乘客的等候时间外,时间就是金钱,所以登机时间最好要减到最少。
飞机只有在飞行的时候才能为航空公司赚钱,而长的登机时间限制了一架飞机一天中可以飞行的次数。
诸如Air
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