八年级数学《轴对称》复习.docx
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八年级数学《轴对称》复习
《轴对称》复习
第一节轴对称
一、关键概念和原理
概念:
轴对称图形,对称轴,轴对称,对称点,线段垂直平分线.
原理:
轴对称图形的性质及判定;线段的垂直平分线的判定及性质;成轴对称的两个图形的性质;如何判定两个图形关于某条直线对称.
二、知识点:
1.轴对称与轴对称图形的联系与区别.
轴对称:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.两个图形关于某直线对称,也称为轴对称.这条直线就是它的对称轴.
轴对称图形:
如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
区别:
轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形,是对一个图形说的;
轴对称是指两个图形之间的位置关系,是对两个图形说的.
联系:
轴对称与轴对称图形都有对称轴,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
2.线段的垂直平分线及其结论
定义:
经过线段中点并且垂直与这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
结论:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端的距离相等的点,在线段的垂直平分线上,所以线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合.
两者的关系:
点在线段的垂直平分线上
点到线段两端的距离相等
3.轴对称和轴对称图形的性质
共同的特征:
对折后的两部分是完全重合的,即对应线段相等,对应角相等.
性质:
(1)关于某条直线成轴对称的两个图形全等;
(2)对称轴是对应点所连线段的垂直平分线.
三、典型例题
例1.已知:
如图,P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,PlP2=10cm.求△PMN的周长.
解:
本题考查了轴对称的性质.
∵Pl、P2分别是点P关于OA、OB的对称点
∴PlM=PM、P2N=PN
∴△PMN的周长为
PM+MN+PN
=P1M+MN+P2N
=PlP2
=10cm
例2.如图所示,OA,OB是两条公路,在两条公路夹角的内部,有一油库P,现在想在两公路上分别建一个加油站,为使运油的油罐车从油库出发先到一个加油站,再到另一个加油站,最后回到油库的路程最短,问两加油站应如何选址?
解:
本题应利用轴对称的性质求最值.
如图所示,作P关于OA的对称点E,作P关于OB的对称点F,连接EF,分别交OA、OB于C、D,
则△PCD的周长即为线段EF的长度,此时最短.
例3.(2005.江西)如图所示,将一张正方形纸片经过两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平,得到的图形是()
解:
同学们可以实际操作,通过折纸来检验图形的形状.但同时同学们也应该学会通过作图来更好地理解折叠过程,把思维提高一个层次.本题选D.
例4.如图,△ABC中∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,求证:
直线AD是CE的垂直平分线.
分析:
本题可以用全等的方法证明,其间可以利用角的平分线的性质.但本题应紧扣结论,按垂直平分线的性质证明A、D在CE的垂直平分线上.
解:
AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,
∴∠DAE=∠DAC,∠AED=∠ACD=90°
又∵AD是公共边
∴△ADE≌△ADC
∴AE=ACDE=DC
∴A,D都在EC的垂直平分线上
∴直线AD是CE的垂直平分线.
例5.剪纸是中国的民间艺术,剪纸的方法很多,下面是一种剪纸方法的图示(如图1,先将纸折叠,然后再剪,展开即得到图案):
图2中的四个图案,不能用上述方法剪出的是()
解:
示例中给出的折叠过程说明剪纸是构造轴对称图形的过程.
研究四个选项发现图形(D)不是轴对称图形,本题应选D.
例6.
(1)观察图1~4中阴影部分构成的图案,请写出这四个图案都具有的两个共同特征.
(2)借助图5的网格,请设计一个新图案,使该图案同时具有你在解答
(1)时所写出的两个共同特征.
例7.为了美化环境,在一块正方形空地上分别种植不同的花草,现将这块空地按下列要求分成四块:
(1)分割后的整个图形必须是轴对称图形;
(2)四块图形形状相同;(3)四块图形面积相等,现已有两种不同的分法:
①分别作两条对角线(图①),②过一条边的四等分点作该边的垂线段(图②),(图②中的两个图形的分割看作同一种方法).请你按照上述三个要求,分别在图③的三个正方形中,给出另外三种不同的分割方法.(只画图,不写作法)
解:
通过设计图案,让同学们增强对轴对称图形的认识.
方案如下图所示:
例8.(教材变形题)如图所示,EFGH是一个台球桌面,有黑白两球分别置于A、B两点位置上,试问怎样撞击白
球B,经桌面HE、EF连续反弹后,准确击中黑球A?
(写作法并作图)
解:
反射问题实际上就是轴对称问题.
作图步骤如下:
1.作B关于HE的对称点B',作A关于EF的对称点A':
2.连接A'B',交HE、EF于C、D两点;
3.连接BC,AD.
则路径B→C→D→A即为所求.
第二节轴对称变换
一.关键概念和原理
概念:
轴对称变换
原理:
作轴对称图形,一个点关于x轴、y轴的对称点的坐标的特点.
二.知识点
1.轴对称变换
定义:
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
轴对称变换同旋转变换、平移变换一样,都是图形变换的一种,轴对称变换的实质就是图形的翻折,而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题,解这类问题的关键是利用图形的全等,找出对应线段对应角,挖掘题目的隐含条件,再利用结论使问题获解.
注意:
经过变换以后,只是位置发生了变化,图形的形状和大小并未改变.
2.关于坐标轴对称的点的特点
让学生学会用方程组表示,数形结合,为今后解综合题打下基础.即
点A(x1,y1)与B(x2,y2)关于x轴对称
点A(x1,y1)与B(x2,y2)关于y轴对称
点A(x1,y1)与B(x2,y2)关于原点对称
例9.
(1)求点P(-2,1)关于直线x=2对称的点的坐标.
(2)求点N(3,4)关于直线y=1对称的点的坐标.
(3)求直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式.
解:
(1)点P(-2,1)关于直线x=2对称的点的坐标是P'(6,1).
(2)点N(3,4)关于直线y=1对称的点的坐标是N'(3,-2)
(3)直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是y=-2x+1.
例10.如图所示,由小正方形组成的“L”形图案,请你在图中添加一个小正方形,使它成为轴对称图形.
解:
例11.在直角坐标系中,已知A(2,0),B(1,-2)则线段AB关于坐标系原点的对称线段的图象是下图中的().
解:
关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数.
因此A(2,0),B(1,-2)关于原点的对称点是A'(-2,0),B'(-1,2).
本题选A.
例12.如图,已知:
AD为△ABC的高,∠B=2∠C,利用轴对称的性质证明CD=AB+BD.
证明:
作B关于AD的对称点E,则△ABD≌△AED,
所以AB=AE,BD=DE,∠B=∠AEB.
∵∠B=2∠C,∠AEB=∠C+∠EAC
∴∠EAC=∠C
∴AE=EC
∴CD=DE+EC
=BD+AE
=BD+AB.
例13.如图所示,一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的,但是在实际中是正确的吗?
实际中这个算式是什么?
解:
镜面对称是左右相反,因此此算式是
881=21+52+151
显然是不正确的.
例14.一平面镜以与水平面成45°角固定在水平桌面上,如图所示,一小球以1米/秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去,则小球在平面镜里所成的像().
A.以1米/秒的速度,做竖直向上运动
B.以1米/秒的速度,做竖直向下运动
C.以2米/秒的速度,做竖直向上运动
D.以2米/秒的速度,做竖直向下运动
小球关于镜面对称的像与小球关于镜面对称
又∵平面镜以与水平面成45°角
∴小球在镜子里的像做竖直向下运动,并且速度不变。
本题选B.
例15.如图1,A为厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.(教材p137—9)
分析:
本题应利用轴对称解决线路最短问题.
本题的实质是在MN上确定一点(如C),在NH上确定一点(如D),使AC+CD+DB最小.可利用轴对称解决问题.
作A关于MN的对称点A',作B关于NH的对称点B';连接A'B',交MN、NH于C、D点,则路径A→C→D→B为所求.
如图所示.
例16.晓慧同学学习了轴对称知识后,忽然想起来过去做过的一道题:
有一组数排列成方阵,如图1所示,试计算这组数的和.晓慧想方阵就像正方形,正方形是轴对称图形,能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢?
晓慧试了试,竟得到了非常巧妙的方法,你也能试试看吗?
分析:
本题是利用数形结合,利用轴对称找规律
解题要点:
将对角线上的5看作是对称轴,将正方形对折,对称位置上的两个数之和都是10,从而使问题简单化.
解:
方阵中数的和=10×10+5×5=125.
例17.已知A(-1,2)和B(-3,-1).试在y轴上确定一点P,使其到A、B的距离和最小,求P点的坐标.
分析:
本题是利用轴对称求特殊点的坐标.
解:
A(-1,2)关于y轴对称的点为A'(1,2)
∴直线A'B的解析式是
令x=0,
∴P点坐标为
第三节等腰三角形
一、关键概念和原理
概念:
等腰三角形,顶角,底角,腰,底边,等边三角形
原理:
等腰三角形的性质、判定;等边三角形的性质、判定;直角三角形的性质
二.知识点
1.等腰三角形的概念、性质及判定
定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
对称性:
等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线.
性质:
等腰三角形,底边上的高,底边上的中线和顶角的平分线三线合一;等腰三角形中相等的边所对的角也相等.
判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
2.等边三角形及其性质
定义:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也称为正三角形.
性质:
(1)等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴;
(2)等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°;
(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
判定:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形:
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
例18:
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个等腰三角形顶角的度数.
分析:
由于等腰三角形的特殊性,当题目条件不明确时,要注意分类讨论.本题中高的位置可以在三角形的内部,也可在三角形的外部.
解:
(一)若高线CD在三角形之外,如左图,则∠BAC=90°+45°=135°;
(二)若高线CD在三角形之内,如右图,则∠BAC=90°-45°=45°.
例19.(05.江西)如图所示,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,
则∠1+∠2=_____.
解:
由等腰三角形的两底角相等可知,∠B=∠C=70°
再由四边形的内角和知∠1+∠2=220°
例20.已知:
如图,在等腰直角△ABC的斜边上取两点M、N,使∠MCN=45°,设AM=m,MN=x,BN=n,
试判断以x、m、n为边长的三角形的形状。
分析:
由于AM,MN,BN这三条线段不处在同一个三角形,因而分析问题显得比较困难,可以利用图像变换把条件集中。
法一
解:
如下图,将△CNB顺时针旋转到△CDA的位置,使得CB与CA重合。
显然,△CNB≌△CDA
∴DA=NB,∠4=∠3,∠DAC=∠NBC=45°
在△CDM和△CNM中,
∴△CDM≌△CNM
∴DM=NM
在△DAM中,∠DAM=∠DAC+∠NBC=90°
∴DA2+AM2=DM2
即m2+n2=x2
所以以x、m、n为边长的三角形的是一个直角三角形
法二
解:
作△CAM关于直线CM对称的△CPM
则∠PCM=∠ACM∠CPM=∠A=45°
∵∠MCN=45°,∠ACB=90°
∴∠PCN=45°-∠PCM
∠BCN=90°-∠ACM-45°=45°-∠ACM
从而∠PCN=∠BCN
又AC=PC=BCCN=CN
∴△PCN≌△BCN
∴PN=BN
在△PMN中,∠CPM+∠CPN=∠A+∠B=90°
而AM=PM=m,MN=x,BN=PN=n,
所以以x、m、n为边长的三角形的是一个直角三角形。
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