二次函数与等腰三角形doc.docx
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二次函数与等腰三角形doc.docx
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二次函数与等腰三角形doc
以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题
【学习目标】
这类问题主要是以一点(或以一条线段)为依托,动点和函数思想相结合以几何图形为背景,以动点为元素,构造动态型几何问题。
解此类题目,应从相关图形的性质和数量关系分类讨
论来解决。
此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性.
【教学过程】
解题思路:
等腰三角形的存在性的解题方法:
①几何法三步:
先分类;再画图;后计算.②代数法三步:
先罗列三边;再分类列方程;后解方程、检验.再以二次函数与等腰三角形问
题为背景的解答题中,这两种方法往往结合使用.
一、考点突破
例1、如图,已知抛物线y=﹣1x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若
4
已知A点的坐标为(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AC、BC,求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP为等腰三角形?
若存在,求出符合条件的
P点坐标;若不存在,请说明理由.
【例2】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
从
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(
例3、如图,已知抛物线yax2
bxc(a≠0)经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)
三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点
P是直线
l上的一个动点,当点
P到点
A、点
B的距离之和最短时,求点
P的坐
标;
(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
【变式题组】
1、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,
3
4
3
),顶点坐标为N(﹣1,
),
3
且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?
若存在,求出Q点坐标;若不
存在,请说明理由.
2、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣2,0),B(1,0),交y轴于C(0,2).
(1)求二次函数的解析式;
(2)连接AC,在直线AC上方的抛物线上是否存在点N,使△NAC的面积最大,若存在,求出这个最大值及此时点N的坐标,若不存在,说明理由;
(3)若点M在x轴上,是否存在点M,使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(4)若P为抛物线上一点,过P作PQ⊥BC于∽△BCO(点C与点B对应),若存在,求出点
Q,在y轴左侧的抛物线是否存在点P的坐标,若不存在,说明理由.
P使△CPQ
3、如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别是y轴正半轴,x轴正半轴上两动点,
OA
2k,
OB2k3,以
AO,BO
为邻边构造矩形AOBC,抛物线
y
3
x2
3xk交y轴于点D
,P为顶点,
PMx轴于点M.
4
1
OD
,
PM
的长(结果均用含
k
的代数式表示);
()求
(2)当PMBM时,求该抛物线的表达式;
(3)在点A在整个运动过程中,若存在VADP是等腰三角形,请求出所有满足条件的k
的值.
作业巩固
1、如图,已知抛物线
y=-x2+bx+c与
x轴负半轴交于点
A,与
y轴正半轴交于点
B,且
OA=OB.
(1)求b+c的值;
(2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)条件下,点P(不与A,C重合)是抛物线上的一点,点
△BPM是等腰直角三角形时,直接写出点M的坐标..
M是
y轴上一点,当
3、如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式,并求出△ABC的面积;
(2)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;
(3)若点
M在直线
BH上运动,点
N在
x轴上运动,当以点
C、M、N
为顶点的三角形为
等腰直角三角形时,请直接写出此时
△CMN的面积.
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