函数的图像讲义.docx
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函数的图像讲义
函数的图像
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1.描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:
①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:
列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).
最后:
描点,连线.
2.图像变换
变换
变换前
变换方法
变换后
旧
平移
y=f(x)
a>0,右移a个单位;a<0,左移|a|个单位
y=
的图像
变换
的图像
b>0,上移b个单位;b<0,下移|b|个单位
y=
的图像
关于x轴对称
y=
的图像
y=f(x)
关于y轴对称
y=_
的图像
对称
的图像
关于原点对称
y=_
的图像
变换
y=ax(a>0
夫h直线y=x对称
y=
—
且aw1)的图像
a>1,横坐标缩短为原来的;纵a
的图像
坐标/、变;
y=
的图像
伸缩
y=f(x)
1
0 变换 的图像 a 倍,纵坐标/、变 a>1,纵坐标伸长为原来的a倍, 横坐标/、变;0 为原来的a,横坐标小艾 — _的图像 x轴下方部分翻折到上方,x轴 _的图像 翻折 y=f(x) 及上方部分小艾 — 变换 的图像 y轴右侧部分翻折到左侧,原y轴左侧部分去掉、右侧小交 — _的图像 题组一常识题 1.函数y=logax与函数y=log』x的图像关于直线对称. a x1x 2.函数y=a与y=(a)的图像关于直线对称. 3.函数y=log2x与函数y=2x的图像关于直线对称. 4.函数y=,|1-x2|的大致图像是.(填序号) 图2-10-1 题组二常错题 ♦索引: 函数图像的几种变换记混;分段函数的图像问题. 2 5.将函数f(x)=(2x+1)的图像向左平移一个单位后,得到的图像的函数解析式 为. 6.把函数f(x)=lnx的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图像的函数解析式 是. 7.设f(x)=2-x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到,则h(x)=. 8.函数y=e1nx+|x-11的图像是. 课堂考点探究 。 探究点一作函数的图像例题1分别画出下列函数的图像 y=|lg(x-1)| (2)y=2x+1-1 ⑶y=x2-|x|-2. [总结反思]为了正确地作出函数的图像,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做 到以下两点: (1)熟练掌握几种基本函数的图像,以及形如y=x+1的函数图像. x (2)掌握常用的图像变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利 用这些方法来帮助我们简化作图过程. 变式题分别画出下列函数的图像 (1)y=|x2-4x+3| ⑶y=1011gx1 。 探究点二识图与辨图 考向1特殊点法 例题2函数f(x)=x2- (2)的大致图像是() 图2-10-2 [总结反思]使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项,主要注意两点: 一是选取的点要 具备特殊性和代表性,能排除一些选项;二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案. 考向2性质检验法 ..一一,,1 例题3函数y=xe可的部分图像大致为() 图2-10-3 [总结反思]利用性质识别函数图像是辨图中的主要方法,采用的性质主要是定义域、值域 函数整体的奇偶性,函数局部的单调性等.当然对于一些更为复杂的函数图像的判断,还可能 同特殊点法结合起来使用. 考向3图像变换法 例题4设函数f(x)=2x,则如图2-10-4所示的函数图像对应的函数解析式是() 图2-10-4 B A.y=f(|x|)B.y=-|f(x)| C.y=-f(-|x|)D.y=f(-|x|) [总结反思]通过图像变换识别函数图像要掌握两点: 一是熟悉基本初等函数的图像(如指数 函数、对数函数等函数的图像);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换. 强化演练 1.【考向1]函数y=(x-1) CID 图2-10-5 x2,一 2. 【考向1】函数丫二环2的图像大致是() 图2-10-6 3. x-x 【考向2】函数y=lnex+^x的图像大致为() 4. 图2-10-7 【考向3】已知函数f(x)=logax(0 图2-10-8 。 探究点三函数图像的应用 考向1研究函数的性质 图2-10-9 A.f(x)=x+sinx cosx B.f(x)=——x C.f(x)=x(x-2)(x今) D.f(x)=xcosx [总结反思]一般根据图像观察函数性质有以下几方面: 一是观察函数图像是否连续以及最 高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图像是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图像上升与下降的情况,确定单调性. 考向2求参数的取值范围 x、 10g2(-2),xW-1,例题6 (1)设函数f(x)={1242若f(x)在区间[m4]上的值域为[-1,2],则实数m -3x2+3x+3,x>-1, 的取值范围为 (2)已知函数y=|x_11的图像与函数y=kx-2的图像恰有两个交点,则实数k的取值范围x-1 [总结反思]当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个.函数,再根据题设条件和图像的变化确定参数的取值范围^考向3求不等式的解集 例题7不等式3sin2x-logix<0的整数解的个数为() A.2B.3C.4D.5 [总结反思]f(x),g(x)之间的不等关系表现在函数图像上即为图像的上下便邕姜房…,通过画出 函数图像可以直观地求解不等式. 考向4确定方程根的个数 例题8已知函数f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当xC(0,1]时,f(x)=2x-1,则方程 f(x)=log7|x-2|的解的个数是() A.8B.7C.6D.5 [总结反思]根据方程合理构造函数.若构造的是一个函数,则方程根的个数就是函数图像与x轴交点的个数若构造的是两个函数,则方程根的个数就是这两个函数图像交直的上藜 强化演练 1.【考向1]已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是() A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+°°) B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-°°,1) C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-8,0) 2.【考向4】已知f(x)={|lgx|,x>0,则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是 2|x|,x<0,' 图2-10-10 3.【考向3】函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数淇在[0,4]上的图像如图2-10-10所示,那么不等式f(x)-<0的解集为 cosx 4.【考向2】直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 参考答案 2.f(x-a)f(x)+b-f(x)f(-x)-f(-x)logax(a>0且aw1)f(ax)af(x)y=|f(x)|y=f(|x|) 1.y=0[解析]y=log』x=-logax,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称. a 2.x=0[解析]y=(;)=a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称. 3.y=x[解析]两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称. 4.③[解析]将丫=,|1以2|两边平方,得y2=|1-x2|(y>0),即x2+y2=1(y>0)或x2-y2=1(y>0),所 以③正确. 5.y=(2x+3)2[解析]得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像. _.1...一一.1 6.y=ln(2x)[解析]根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln(2x). 7.-log2(x-1)[解析]与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x, 再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像. 8. [解析]y={: m」,其图像如图所示 2x-1,x,1, 例题1[思路点拨] (1)利用图像的平移和翻折作图; (2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x>0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像. 解: (1)首先作出y=lgx的图像然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分). (2)将y=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到 y=2x+1-1的图像,如图②所示. 2 (3炉/网=6: 21x0,o其图像如图③所示. 变式题解: (1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图① 所示. ⑵丫=等=2-工的图像可由y=-1的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②x+lx+ix 所示. 11gxix,x>1, (3)y=10|={10 例题2[思路点拨]选用函数图像经过的几个特殊点验证排除. B[解析]由f(0)=-1,得函数图像过点(0,-1),可排除口由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,得函数图像过点(-2,0),(-4,0),可排除AC故选B. 例题3[思路点拨]根据函数的奇偶性及单调性可作出判断. 111 d[解析]令f(x)=E3则£(以)=谑: 询=衍;可=咋),・/仅)是偶函数,图像关于y轴对称, 例题4[思路点拨]对函数f(x)=2x的图像作相应的对称变换可得到图中所示的图像再写出 相应的解析式. C[解析]题图中是函数丫=-2-冈的图像,即函数y=-f(-|x|)的图像,故选C. 强化演练 1.D[解析]当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合. x2 2.A[解析]由函数定义域知2x-2W0即xwl,排除BQ当x<0时,y=T<0,排除D.故选A. 2x-2 x-x2x2x, 3.c[解析]由_e^工咚=>0得x>o^_e274Vi,故y ex+e-xe2x+ie2x+l 4.A[解析]先作出函数f(x)=logax(00时,y=f(|x|+1尸f(x+1)淇图像由函 数f(x)的图像向左平移1个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数所以再将函数y=f(x+1)(x>0)的图像关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x<0时的图像,故选A. 例题5[思路点拨]根据图像可判断其对应函数的定义域、奇偶性、单调性等情况从而确 定符合性质的相应函数的解析式. D[解析]由函数的图像可知,函数的定义域为R所以B不符合;又图像关于原点对称,可知函数是奇函数,排除C;函数在定义域内有增有减,不是单调函数,而选项A为增函数,不符合.所以选D. 例题6[思路点拨] (1)作出分段函数f(x)的图像,结合图像从单调性、最值角度考虑; (2)先化 简函数的解析式,在同一坐标系中画出函数y」x2F的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可 x-1 得实数k的取值范围. x (1)[-8,-1] (2)(0,1)U(1,4)[解析]⑴作出函数f(x)的图像,当xw-1时,函数£(刈=啕2(-2)单 调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2(-2)=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-1x2+4x+3在(-1,2)2333 上单调递增,在[2,+8)上单调递减,则最大值为f (2)=2,又f(4)=2<2,f(-1)=-1,故所求实数m的取3 值范围为[-8,-1]. (2)y=H=半+上={-|X+1|,x<1,函数y=kx-2的图像恒过点(0,-2).在同一坐标系中画出函x-1x-1x+1,x>1, …|x2-1| 数y二;二二的图像与函数y=kx-2的图像,结合图彳t可得,实数k的取值范围是(0,1)U(1,4). A[解析]不等式 系中分别作出函数 例题7[思路点拨]对这样一个非常规不等式应采用数形结合处理,不妨构建函数 f(x)=3sin2x,g(x)=log1x,将原不等式转化成两函数图像的位置关系,再进仃研允. 22 3sin|x-log[x<0,即3sinx f(x)与g(x)的图像,由图像可知,当x为整数3或7时有f(x) 例题8[思路点拨]根据所给的条件可确定函数f(x)的图像,并作出函数y=log7|x-2|的图像, 由两函数图像的交点个数确定方程解的个数. B[解析]由函数f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),可得f(1-x)=f(1+x),f(x+4)=f(x),.•.函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且f(x)是周期为4的周期函数.在同一坐标系中画出y=f(x)和y=log7|x-2|的图像(图略),由图像不难看出淇交点个数为 7,即方程解的个数为7.故选B. 强化演练 2 1.C[解析]f(x)={x2-2x,xI0,画出函数f(x)的图像,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点 -x-2x,x<0, 对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减. Il 2.5[解析]方程2[f(x)]2-3f(x)+1=0的解为f(x)=1或1.作出函数y=f(x)的图像,由图像知零 点的个数为5.
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