欧拉稳定推导.docx
- 文档编号:10330455
- 上传时间:2023-05-25
- 格式:DOCX
- 页数:72
- 大小:530.62KB
欧拉稳定推导.docx
《欧拉稳定推导.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《欧拉稳定推导.docx(72页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
欧拉稳定推导
第三章压弯构件的失稳
轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。
由于压弯构件兼有受压和受弯的功能,又普遍出现在框架结构中,因此又称为梁柱。
钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴,且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心情况。
对单向偏心的压弯构件,有可能在弯矩平面内失稳,即发生弯曲失稳;也有可能在弯矩作用平面外失稳,即弯扭失稳。
其弯曲失稳为第二类稳定问题,即极值点失稳;其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题,即分支点失稳,但对实际构件则是极值点失稳。
对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件,在两端作用有轴线压力P和使构件产生同向曲率变形的弯矩M,如果在其侧向有足够的支撑(如图(b)),构件将发生平面内的弯曲失稳,其荷载―挠度曲线如图(a)中曲线a,失稳的极限荷载为Pu,属于极值点失稳。
图两端简支理想压弯构件
图压弯构件荷载变形曲线
如果在侧向没有设置支撑(如图(c)),则构件在荷载P未达到平面内极限荷载Pu时,可能发生弯扭失稳,即在弯矩作用平面内产生挠度v,在平面外剪心产生位移u,并绕纵轴
产生扭转角(如图3.1(d)),其荷载-变形曲线如图(b)中曲线b,属于分支点失稳,
失稳的分荷载为Pyw,,且Pyw 弯曲失稳一般在弹塑性阶段出现,而弯扭失稳可能发生在弹性阶段,也可能出现在弹塑性阶段。 3.1压弯构件平面内失稳 对压弯构件,当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生弯扭失稳时,若失稳则只可能发生平面内弯曲失稳。 当用弹性理论分析理想压弯构件的荷载挠度关系,可以得到图3.3中的二阶弹性曲线b,它以轴心受压弯构件的分岔点荷载PE处引出的水平线a为渐近线。 实际压弯构件存在初始缺陷(残余应力﹑几何缺陷),材料为弹塑性体。 如按弹塑性理论分析,荷载挠度曲线将是图中曲线OABC。 曲线上A点标志着杆件中点截面边缘开始屈服,对应的荷载为Pe,随后塑性向截面内部发展,构件变形快速增加,形成OAB上升段,构件处于稳定平衡状态;B点为曲线的极值点,对应的荷载Pu为构件在弯矩作用平面内失稳的极限荷载;到达B点以后,由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度,出现下降段BC,构件处于不稳定平衡状态。 由失稳全过程可以看出实际压弯构件在弯矩作用平面内的弯曲失稳属于二阶弹塑性分析的极值点失稳,不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载Pu,而可用数值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载。 压弯构件平面内弯曲失稳的弹性分析虽然不能求出极限荷载,但它是弹塑性分析的基础,因此有必要先研究压弯构件平面内弹性失稳。 图3.3压弯构件荷载挠度曲线 3.1.1压弯构件平面内弹性弯曲性能 在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响时,对图所示有偏心的轴心受压杆已作过分析,即当作偏心压弯构件得出了荷载P与构件中点挠度δ之间的关系曲线。 从式中可以看出,若假设材料是无限弹性体,则当δ→∞时,P→PE,即临界荷载P以欧拉 荷载PE为极值。 然而实际材料都是有限弹性的,由于压弯构件平面内弯曲失稳时,构件为弹塑性工作状态,因此弹性分析只有理论意义。 下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形性能。 1.横向均布荷载作用的压弯构件 图(a)所示为在均布荷载q作用下两端铰接的压弯构件。 假定材料完全弹性,取图3.4(c) 所示隔离体,在距左端x处截面的内力矩 Mf EIy,外力矩Me Pyqxl x2,平衡 方程为 EIy Py qxlx2 令k2PEI,则 2 qxxl y k2y () 2EI 方程(3.1)的特解可写作yc1x2 c2x c3,代入方程(3.1) ,有 Pc1q2x2Pc2ql2xPc32EIc10 上式是恒等式,故 c1=q∕(2P),c2=-ql∕(2P),c3=-EIq∕P2 方程(3.1)对应的齐次线性方程 2 y″+ky=0的通解可写作y=Asinkχ+Bcosk χ,则方程(3.1)的通解为 y=Asin 2 kχ+Bcoskχ+qχ2∕(2P)-qlχ∕(2P)-EIq/ P2 由边界条件y(0)=0,y(l)=0得 A=EIq∕P2·tg(κl∕2),B=EIq∕P2 则 q k4EI kl tgsinkx coskx1 qx 2 2k2EI 构件在xl2处有最大挠度 ymax,令ukl2,可得 ymax ql41cosu ql4 4 16EIu4cosu 32EIu 2 122secuu22 =y0 5u 式中: y05ql4384EI是均布荷载作用下简支梁的最大挠度,即当 P=0时,由式(3.4) 求得的最大挠度。 式(3.4)中括号内的值为考虑轴线压力后最大挠度的放大系数。 图均布荷载作用的压弯构件 将secu展开成幂级数,有 secu 11u2 2 546162778uuu247208064 式中 klu 2 2EI2PPE 则式(3.4)可写成 ymax y01 1.034PPE 1.0038PPE y1y01PPE 式中Am1/1P/PE =Amy0 是最大挠度的放大系数。 构件中点的最大弯矩为 21.028PPE Mmaxql8PymaxM01 1PPE mMAmM0 1PPE 式中M0ql28是均布荷载作用下简支梁跨中的最大弯矩; m为等效弯矩系数; () () Am为弯矩 放大系数,用以考虑轴压力P产生的二阶效应。 2.横向集中荷载作用的压弯构件 由图(c)知,当0 l2时,平衡方程为 EIyPyQx2 令k2P(EI),则 yQx2EI 通解为 yAsinkx BcoskxQx(2P) 引入边界条件y00, yl20,得B 0,AQsec(kl2),则通解 2Pk 令ukl2,当xl2时, ymax yQsecklseckx 2Pk2 跨中最大挠度为 3 QlQl33 tguu3tgu4Pu48EIu3 式中y0Ql348EI是集中荷载 力作用时最大挠度放大系数。 将tgu展成幂级数 可改写为 ymax kx 3tguuy0 Q作用在跨中时简支梁的最大挠度, 3tguu tgu 代入, 将ukl2PPE 332u51517u7315 图跨中集中荷载作用的压弯构件 y010.987PPE 0.986PPE y01PPE 式中11P/PE为最大挠度放大系数。 跨中最大弯矩为 MmaxQl4Pymax Ql1 Pl2 12EI1PPE () () u3是有轴压 则式(3.9) M0 10.178PPE 1PPE mM0 1PPE AmM0 为等效弯矩系数;弯矩放大系数 式中M0Ql4是集中荷载作用下简支梁最大弯矩; 10.2PPE 1PPE 对于弹性压弯构件,根据各种荷载作用和支撑情况,可以计算出跨中弯矩Mmax的表达 通式 max m M 再考虑初始缺陷的影响,假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为 意横向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为 0的正弦曲线,则在任 m Mmaxm M 1PPE P0 P0 P00 A1P0PEWfy 因为P0 Afy(为轴心压杆稳定系数),则由式(3.15)得 0111AfyW 0PEA 将式(3.16) 代入(3.14),整理得由边缘纤维屈服导出的相关公式 其中等效弯矩系数 取值见表。 PmM AW1PPE fy 当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时,其应满足 m 1PPEW 令(3.14)中 M0,则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘纤维屈服时的表达式 3.1.2压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳 从图可以看出,当压弯构件截面边缘纤维开始屈服,构件进入弹塑性阶段后,随着外荷载的增加,截面弹性区越来越小,构件抗弯刚度降低,变形加快,以至构件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加,达到极限状态时(图极值点B),内外力开始无法平衡,构件发生平面内弹塑性整体失稳。 由于压弯构件的截面形状、尺寸和外力作用方式等不同,弯曲失稳时构件塑性发展的范 围可能只出现在图(a)所示的阴影区,即弯曲凹面受压的一侧;也可能如图(b)所示,在 受压凹面和受拉凸面同时出现塑性区;对单轴对称截面压弯构件,塑性区也可能只出现在受拉凸面的一侧,图(c)所示。 图压弯构件弯曲失稳的塑性区分布 压弯构件的极限荷载求解比较困难,一般情况下可用数值积分法得到数值解,但如果截面形状比较简单,不考虑初弯曲和较复杂的残余应力分布影响时,经简化后也可用解析法得到近似解。 表等效弯矩系数m值 1.解析法 对于轴压力P和两端相同弯矩M共同作用的两端简支压弯构件(图),用Jezek解析法 [18]求解可以求出精确度比较高的极限荷载。 其假设为: (1)材料为理想的弹塑性体; (2)构件的变形曲线为正弦曲线的一个半波。 图是矩形截面的压弯构件,在轴力P和端弯矩M共同作用下,平面内弹塑性弯曲失稳时 构件截面的塑性有两种类型: 只出现在受压区,如图阴影部分所示,截面弹性区高度为he, 细长构件常属此类;另一类为受压、受拉区均出现塑性区,图所示,短粗构件常属此类。 面分别加以讨论: 由应力图可以分别得出轴线方向力和力 1)第一种情况: 塑性区仅出现在受压区(图) 图﹑图分别为第1种情况截面的应变和应力图。 矩的平衡方程: tbhe或y 2PyPt bhe 图矩形截面压弯构件中央截面的应变和应力 Pv1 h tbhe2 he 3 由上式可解出弹性区高度 he 3h3MP 2PyP 式中,PyAy,表示轴心受压时全截面屈服压力。 由应变图知曲率 yt he yt2PyP 2 EheEbhe2 根据变形曲线假定,挠曲线为 ysin(xl) 中央截面处的曲率为 yl2v2/l2 由式()式(3.22)知 22PyP l2Ebhe2 后,得到构件压力 h1 2 PM Py P Py dP 由极值条件 0,得 d 1Py h 3P 2 将式(3.26) 代入(3.25) 后,得 2E1 3 P 2 bh3 l212 将(3.20)代入(3.22) 由于P0时,截面边缘纤维开始屈服时的弯矩 2 3 2l2Py1P9b2E1Py () P M 1 () Py Py 3 2M 1 () hPy1PPy P与挠度v的函数关系 My1bh2y1Pyh,且全截面的惯 66 13 性矩Ix12bh,则构件在平面内弯曲失稳的弹塑性极值荷载 Pu 3 2EIxM 2x1 l23My1PuPy 将式(3.26)代入(3.20),得情况1的弹性区高度 heh1 3My1PuPy 则(3.28)可以写成 Pu 2EIx he 2EIex l2 l2 式中,Iex是弹性区截面惯性矩,说明塑性发展使构件抗弯刚度下降至EIex,极限荷载与以弹性区为截面的轴心受压构件的欧拉临界力相当。 塑性区出现第一种情况的条件是图d中截面受拉侧的应力ty,由式(3.18)可以得出 he1PuPyh 也可写作 PuPy M 3My1PuPy 2)第2种情况: 塑性区同时出现在受压、受拉区(图 e) 出现第2种情况的条件为 PuPy M 3My1PuPy 根据图所示的应力分布,可以分别列出轴线压力和力矩平衡方程 2bc 由应变图知曲率 bheyh2he3c 2bcyh2c2 2y 2 y 2 he Eh e l2 ﹑ ()可得到 P 与 之关系 2 4 2 h P M P l y 1 } 4 4 Py Py 3h 4E Pybhey y MP 联立式(3.34)﹑(3.35) 2 ) ) ) ) ) 由极值条件0,得 dP 将式(3.38)代入式(3.37) Pu 由式(3.36)﹑(3.38) Pyh1P2M 3P2PyPy ,整理后得 22 2EIx[1Pu2M]3 l2[1Py3My] (3.39)得到 he h1PuPy 2M 3My 则式(3.39)可以写作 Pu 2lE2Ixhhe3 2EIex l2 式(3.41)与式(3.30) 的表达形式一致。 关于压弯构件的平面内弹塑性稳定分析,除了简明的Jezek方法外,还有较精确的数值 积分法。 图压弯构件数值积分法示例 1)建立截面的MP关系 图(a)表示划分为很多单元的工形截面,单元的面积为Ai,截面任一点的应变i是轴 向应变0﹑弯曲应变zi和残余应变ririE三部分的代数和(如图(b)﹑(c)所示),即 i0ziri 图截面的应变 当截面处于弹性状态时,应力 Ei,根据内力平衡条件 PAidA AE0ziridAE0A AizidAAE0 2 zirizidAEAzidAEIxy b) c) a) 由式(c)可知,当截面处于弹性状态时,压弯构件和受弯构件一样,弯矩 M与曲率成正 比,而与轴线压力P 无关。 但在弹塑性状态,因各截面塑性发展程度不同, MP相关。 在弹塑性状态时, 若以 yE表示屈服应变,任一单元面积 Ai上的应力均取平均 值,则有 iE 当y d) 截面的轴向压力 P和弯矩M 分别为 iAi iAizi (e) 联合(a)﹑(d), 值积分即可得到构件在 MP关系。 具体算 通过对式(e)数 弹塑性状态的 法见如下框图 图电算框图 2)求解压弯构件的极限荷载Pu 以图所示两端铰接、几何条件和荷载作用均对称的压弯构件为例,具体求解过程见框图。 图(a)中所示压弯构件在给定一个轴力P1情况下,端部挠度y0=0,而转角0未知, 不过可以先给定一个0的初始值,使其满足构件中点的转角m=0即可,若给定的0不能 使m足够小(如m105),则调整0重新迭代,直至m足够小,满足计算精度要求。 这样就可以得到与给定轴力P1对应的构件中点的挠度vm1值,如图(b)所示。 同理,可以得到不同的轴力P对应的构件中点的挠度m值,最终可以画出图(b)所示的Pm曲线,其极限点B对应的P即为极限荷载Pu。 对不同的荷载作用,数值积分的思路相同,但具体计算细节有所不同。 通过理论求解和试验分析压弯构件在平面内的极限荷载,才可以推演出压弯构件的稳定设计公式。 图压弯构件极限荷载电算框图 即边缘纤维屈服准 3.1.3压弯构件弯矩作用平面内的稳定理论在设计中的应用 压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个计算准则, 则和极限承载力准则。 1.边缘纤维屈服准则 边缘纤维屈服准则以弹性分析为基础,以弯矩最大截面边缘纤维屈服作为计算准则。 这一准则比较适用于冷弯薄壁型钢压弯构件,因为这类构件的边缘纤维屈服荷载非常接近于构件的极限荷载;该准则也用于格构式压弯构件绕虚轴弯曲的稳定计算。 参照式(),给合压弯构件弯矩作用平面内的稳定概念,可以得到按边缘纤维屈服准则导出的相关公式 PxA mxMx fy W1x1 P 式中x为弯矩作用平面内轴心受压构件的整体稳定系数; W1x为受压最大纤维的毛截面抵抗 矩;mx为等效弯矩系数,参见表。 将式()写成设计公式,即 xA Wx1 mxM x xPEx 式中f为钢材屈服强度设计值。 2.极限承载力准则一般钢结构中的压弯构件当截面最大纤维刚开始屈服时尚有较大的强度储备,即可以容许截面塑性有一定发展,因此应该以弹塑性稳定理论为基础,以失稳时的极限荷载为计算准则。 压弯构件的初偏心和初弯曲对构件的影响性质上相同,因此在制定规范时考虑构件存在 l1000的初弯曲(即初弯曲的矢高为构件长度l的1/1000),考虑实测的残余应力分布,用 数值方法计算出近200条压弯构件的极限承载力曲线。 将用数值方法得到的压弯构件极限承载力Pu与用边缘纤维屈服准则导出的相关公式()中的轴心压力P比较后发现,对于短粗实腹杆,式()偏于安全;而对细长实腹杆,式()偏于不安全。 因此,规范借用了弹性压弯构件边缘纤维屈服准则计算公式的形式,同时考虑截面塑性发展和二阶弯矩,最后提出了一近似相关公式,即规范所采用的实腹式压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算公式 mx xW1x1 0.8 式中 P——所计算构件段范围内的轴向压力; Mx——所计算构件段范围内的最大弯矩; x——弯矩作用平面内的轴心受压构件的稳定系数; W1x——弯矩作用平面内较大受压纤维的毛截面抵抗矩; PEx——欧拉临界力; R——抗力分项系数,对Q235钢,R1.087,对Q345、Q390、Q420钢,R1.111; mx 等效弯矩系数,参见表。 对于T型钢、双角钢T形等单轴对称截面压弯构件,当弯矩作用于对称轴平面且使较大翼缘受压时,构件失稳时出现的塑性区除存在受压区屈服和受压、受拉区同时屈服两种情况外,还可能在受拉区首先屈服而导致构件失去承载能力,因此除了按式()计算外,还应按下式计算: xW2x1 1.25PREPx mxM 式中 W2x——受拉侧最外纤维的毛截面抵抗矩; x——与W2x相应的截面塑性发展系数。 其余符号同式(),上式第二项分母中的也是经过与理论计算结果比较后引进的修正系 数。 压弯构件平面外失稳 如图(c)所示,当压弯构件没有设置侧向支撑时,在外荷载P尚未达到平面内弯曲失稳 的临界荷载Pu之前,就可能导致压弯构件发生空间的弯扭失稳,也称平面外弯扭屈曲。 当构件长细比较大时,有可能在弹性阶段失稳;在长细比较小等情况下也有可能在弹塑性阶段失稳。 对于外力作用和端部支撑条件较简单的压弯构件,可以用平衡法求解弯扭屈曲荷载的精确解;如果外力作用或端部支撑条件较复杂,可以用能量法求解。 在弹塑性阶段发生弯扭屈曲的压弯构件,采用数值法可以获得较高的求解精度。 3.2.1压弯构件的弹性弯扭失稳 1.平衡法求解单轴对称截面压弯构件的弹性弯扭屈曲荷载 以两端简支单轴对称截面压弯构件(图)为例,说明平衡法求解弹性弯扭屈曲荷载的过 程。 图压弯构件弯扭变形及受力 分析中采用两个坐标系,即截面的固定坐标系oxyz和移动坐标系oξηζ(图),且 采用如下假设: 1构件为弹性体; 2发生弯曲与扭转变形时,截面的形状不变; 3弯曲与扭转变形微小; 4构件是无缺陷的等截面直杆; 5在弯矩作用平面内抗弯刚度很大,屈曲前平面内的弯曲变形对弯扭屈曲的影响可以忽略。 参考第二章节中单轴对称截面轴心受压构件弹性弯扭失稳建立平衡微分方程的过程,可以分别得到绕ξ轴和η轴的弯矩平衡方程。 P AIxIy 2 Ay0 Mx Ix 2 Ayx2 2 y2dA2Ixy0 2rx dA 2 i0 yMxR 22 式中: i0IxIyAy02, 22 Ayx2y2dA 2Ix y0,R 2rx 2 y2dA。 i0和 EIxP Mx 0 () EIyuPu Mx Py00 () 由图所示受力条件和坐标系,如以压应力为正值, 则构件截面上任一 点的正应力 P Mx y () A Ix Wagner效应系数为 2 KAr2dA P22 Axyy0dA AA0 Mx Ix 2 Ayx2y y02dAArx2 2 y2dA y都是截面的几何性质参数,y为不对称截面常数,对于单轴对称工形截面,y中前一项数值常比y0小得多,对图所示坐标系,剪心矩y0是正值,则y将是负值。 外弯矩Mx在纵轴ζ方向的分量为 MxsinM Mxu 切力Pu产生的扭矩从图知为 则在ζ方向总的非均匀扭矩 Pi02 2 yMx R Mxu Py0u () M 扭矩平衡方程为 EIw Pi022 yMx GIt R Mx Py
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 稳定 推导