江苏省常州市中考数学总复习二次函数.docx
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江苏省常州市中考数学总复习二次函数
2022年江苏省常州市中考数学总复习:
二次函数
1.已知,抛物线y=x2+bx+c与x轴交点为A(﹣1,0)和点B,与y轴交点为C(0,﹣3),直线L:
y=kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D.
(1)求抛物线和直线L的解析式;
(2)如图,点M为抛物线上一动点(不与A、D重合),当点M在直线L下方时,过点M作MN∥x轴交L于点N,求MN的最大值;
(3)点M为抛物线上一动点(不与A、D重合),M'为直线AD上一动点,是否存在点M,使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,请直接写出点M的坐标,如果不存在,请说明理由.
2.如图1,抛物线y
x2+2x﹣6
交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C点,D点是该抛物线的顶点,连接AC、AD、CD.
(1)求△ACD的面积;
(2)如图1,点P是线段AD下方的抛物线上的一点,过P作PE∥y轴分别交AC于点E,交AD于点F,过P作PG⊥AD于点G,求EF
FG的最大值,以及此时P点的坐标;
(3)如图2,在对称轴左侧抛物线上有一动点M,在y轴上有一动点N,是否存在以BN为直角边的等腰Rt△BMN?
若存在,求出点M的横坐标,若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:
y
x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y
bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)P是直线AC下方的抛物线上一动点,设其横坐标为a.当a为何值时,△APC的面积最大,并求出其最大值.
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1,若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.
4.已知:
等腰△ABC的底边在x轴上,其中点C与平面直角坐标系原点重合,点A为(4,0),点B在第一象限内,且其纵坐标为
n,点D是AB边的中点.抛物线y=ax2+bx+c始终经过A,C两点,
(1)当△ABC是正三角形时,点B在抛物线上(如图).求抛物线的函数表达式;
(2)若将此抛物线向下平移
个单位后,发现抛物线经过点D,求n的值;
(3)若将△ABC向上平移
个单位后,发现△ABC的重心与抛物线顶点也相距
个单位,求n的值.
5.如图1,已知抛物线y=ax2﹣12ax+32a(a>0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)连接BC,若∠ABC=30°,求a的值.
(2)如图2,已知M为△ABC的外心,试判断弦AB的弦心距d是否有最小值,若有,求出此时a的值,若没有,请说明理由;
(3)如图3,已知动点P(t,t)在第一象限,t为常数.
问:
是否存在一点P,使得∠APB达到最大,若存在,求出此时∠APB的正弦值,若不存在,也请说明理由.
6.如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是y轴正半轴上的一点,OM
,点Q在对称轴左侧的抛物线上运动,直线OQ交抛物线的对称轴于点N,连接MN,当MN平分∠OND时,求点Q的坐标;
(3)直线AC交对称轴于点E,P是坐标平面内一点,当△PCE与△BCD全等时,请直接写出点P的坐标.
7.如图,抛物线y
x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=2OC=4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P为第一象限抛物线上一点,连接PA,PC,设点P的横坐标为t,△PAC的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作x轴的垂线,交直线BC于点N,当MN=2时,求点M的坐标.
8.有一家苗圃计划种植桃树和柏树,根据市场调查与预测,种植桃树的利润y1(万元)与投资成本x(万元)满足如图1所示的二次函数y1=ax2;种植柏树的利润y2(万元)与投资成本x(万元)满足如图2所示的正比例函数y2=kx.
(1)请分别直接写出利润y1(万元)与利润y2(万元)关于投资成本x(万元)的函数关系式;
(2)若这家苗圃投资4万元种植桃树,投资6万元种植柏树,则可获得的总利润是多少万元?
(3)若这家苗圃种植桃树和柏树投入总成本20万元,且桃树的投资成本不低于2万元,且不高于12万元,则苗圃最少能获得多少总利润?
最多可获得多少总利润?
9.已知抛物线y=﹣x2+4ax﹣4a2+3a(a
),顶点为点D,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)若a=3时,求此时抛物线的最大值;
(2)若当0≤x≤2时,抛物线函数有最大值3,求此时a的值;
(3)若直线CD交x轴于点G,求
的值.
10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(﹣1,0),B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BC,在直线BC上方的抛物线上有一动点D,连接AD,与直线BC相交于点E,当DE:
AE=4:
5时,求tan∠DAB的值;
(3)点P是直线BC上一点,在平面内是否存在点Q,使以点P,Q,C,A为顶点的四边形是菱形?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
11.某公司开发出一款新的节能产品,成本价为5元/件.该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销,售价为9元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系(x为整数),已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.
(1)第24天的日销售量是 件,日销售利润是 元;
(2)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)日销售利润不低于1280元的天数共有多少天?
试销售期间,日销售最大利润是多少元?
12.为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”,某工厂接到一批纪念品生产订单,按要求在15天内完成,约定这批纪念品的出厂价为每件20元,设第x天(1≤x≤15,且x为整数)每件产品的成本是p元,p与x之间符合一次函数关系,部分数据如下表:
天数(x)
1
3
6
10
每件成本p(元)
7.5
8.5
10
12
任务完成后,统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系:
y
设李师傅第x天创造的产品利润为W元.
(1)直接写出p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
(2)求李师傅第几天创造的利润最大?
最大利润是多少元?
13.已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A(﹣1,0),另一个交点为B,与y轴交于点C(0,﹣3),顶点为D.
(1)求二次函数的解析式和点D的坐标;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交线段BC于点N,当MN取最大值时,点M的坐标;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点D落在x轴上,原抛物线上一点P平移后的对应点为Q,如果∠OQP=∠OPQ,试求点Q的坐标.
14.如图1,矩形OBCD的边OD,OB分别在x轴和y轴上,且B(0,8),D(10,0).点E是DC边上一点,将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠,使点D恰好落在BC边上的点A处.
(1)若抛物线y=ax2+bx经过点A,D,求此抛物线的解析式;
(2)若点M是
(1)中抛物线对称轴上的一点,是否存在点M,使△AME为等腰三角形?
若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图2,动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动,动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动,两点同时出发,当一点运动到终点时,另一点也随之停止,过动点P作直线1⊥x轴,依次交射线OA,OE于点F,G,设运动时间为t(秒),△QFG的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.(t的取值应保证△QFG的存在)
15.如图,已知二次函数y=ax2
x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)请直接写出二次函数的表达式;
(2)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点N的坐标;
(3)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
16.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),点A的坐标是(3,0),抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点,且△PBC是直角三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在直线BC上是否存在点Q,使∠PQB=∠CPB,若存在,求出点Q坐标:
若不存在,请说明理由.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知Rt△ABC的直角顶点C(0,12),斜边AB在x轴上,且点A的坐标为(﹣9,0),点D是AC的中点,点E是BC边上的一个动点,抛物线y=ax2+bx+12过D,C,E三点.
(1)当DE∥AB时,
①求抛物线的解析式;
②平行于对称轴的直线x=m与x轴,DE,BC分别交于点F,H,G,若以点D,H,F为顶点的三角形与△GHE相似,求点m的值.
(2)以E为等腰三角形顶角顶点,ED为腰构造等腰△EDI,且I点落在x轴上.若在x轴上满足条件的I点有且只有一个时,请直接写出点E的坐标.
18.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.直线y=x﹣5经过点B、C.
(1)求抛物线的解析;
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点,连接PB、PC.
①当△PBC的面积最大时,求点P的坐标;
②在①的条件下,y轴上存在点M,使四边形PMAB的周长最小,请求出点M的坐标;
③连接AC,当tan∠PBO=2tan∠ACO时,请直接写出点P的坐标.
19.在水果销售旺季,某水果店购进一批优质水果,进价为20元/千克,利润不低于10%,且不超过40%,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克)
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x(元/千克)
…
22.6
24
25.2
26
…
(1)某天这种水果的售价为24.5元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利168元,那么该天水果的售价为多少元?
(3)售价定为多少元时,每天可获得最大利润?
最大日利润是多少元?
20.今年在全球大疫情的影响下,人们更加关注身边的空气质量.某电商代理销售A、B两种型号的智能空气净化器,已知每台A型智能空气净化器比每台B型智能空气净化器的售价高300元;4台A型的智能空气净化器的售价与5台B型的智能空气净化器的售价相等.
(1)求每台A、B两种智能空气净化器的售价分别多少元?
(2)若卖出每台A、B两种智能空气净化器的利润分别为200元与150元,七月份前平均每周可以分别卖出A、B型号智能空气净化器18台与20台;进入七月份后,开始降价促销,A、B两种型号的智能空气净化器都是每降价20元平均每周可多卖4台;问该电商要得到最大利润,问每台智能空气净化器应降价多少元,最大利润多少元?
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