第2章 完全重构滤波器组.docx
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第2章完全重构滤波器组
第二章完全重构滤波器组
子波变换与多率滤波器组是有着密切的关系,Daubechies利用离散滤波器迭代的方法构造了紧支集正交子波基,从而使子波由滤波器的系数来决定,子波变换的内积运算转换为线性滤波(卷积)的运算。
Mallat在多率滤波器组的基础上用多分辨率分析的概念定义子波,利用子带编码和滤波器组的概念提出Mallat算法,使得子波变换成功地应用在信号处理领域。
为了叙述方便和引入子波变换的概念,首先来讨论子带编码中滤波器组的一些重要的结论。
§21子带编码和滤波器组
子带编码的概念可以用图2.1来解释。
图2.1子带编码系统
信号x(n)通过一组分析滤波器组,由于要减小带宽,各滤波输出分量用一新的奈奎斯特频率重抽样,产生子带信号。
各子带信号经过编码、传输,在到达目的地译码,为了重构原信号,必须恢复原带宽,对由重抽样产生的各子带信号按原输入信号的抽样频率插入零值,再经过一组综合滤波器组,将各输出的分量迭加形成重构信号。
由于信号通过不同频带的滤波器,各子带信号具有不同频率分量,在子带分析和综合中必须解决两个问题:
没有混迭现象和完全重构。
无混迭的完全重构意味着在没有编码损失情况下系统是位不变系统。
在这种情况,也完全可能消除幅度和相位的失真,而达到完全重构。
子带编码系统中要解决的问题可以归纳为各不同频带的滤波器之间在频率域上没有重叠,即各子带信号不会产生混迭现象;也即寻求各分析滤波器或综合滤波器之间的关系;产生的子带信号经过插入零值和综合滤波器滤波迭加后能否恢复原信号;也即各个子带信号能否完全重构原信号,本章将环绕这两个问题来讨论。
§22双通道滤波器组的完全重构条件
我们从最常用的双通道滤波器组系统讨论。
图2.2所示两通道完全重构滤波器组的系统,信号x(n)(它的Z变换为X(Z))经过两通道的分析滤波器滤波产生y0和y1再隔2抽样成为分析信号。
现在的问题是能否从抽样后的分析信号恢复成原信号?
图2.2的重构部分是将抽样后的分析信号隔2加零后再经两通道综合滤波器滤波迭加以恢复原信号x(n)。
图2.2双通道完全重构滤波器组
图2.2中分析时的隔2抽样和恢复重构时的隔2加零可以看成用f(n)调制,f(n)由下式给出:
(2.1)
现讨论系统完全重构的条件。
以0通道为例。
对信号隔2抽样后的信号为
(2.2)
其Z变换为
(2.3)
若对
隔2填零,则其Z变换为
(2.4)
由式(2.3)可知信号隔2抽样将产生混迭信号Y0(-Z),在两样本之间插入0值,在Z变换域中相当于将Z2代替Z,在Z变换域通道0具有下列关系式:
(2.5)
(2.6)
和
(2.7)
显然H0(-Z)X(-Z)是由(2.1)式中的ej(n-1)产生的混迭,完全重构原信号必须消除混迭部分。
通道1具有相同的关系式。
因而X'(Z)可写成
(2.8)
从(2.8)式可见,重构信号X'(Z)是原信号X(Z)和调制混迭信号X(-Z)的函数,即
(2.9)
式中
(2.10)
(2.11)
由于F0(Z),F1(Z)是线性时不变系统,因此,从(2.9)式可见双通道滤波器组的完全重构的充要条件是F0(Z)是纯延迟系统,而F1(Z)等于零。
将(2.10),(2.11)式用矩阵表示式可写成:
(2.12)
或
(2.13)
式中f(Z),
,g(Z)是式(2.12)中相应的矢量和矩阵,T表示矩阵的转置。
如取
(2.14)
即可满足完全重构的条件
(2.15)
式中Hm(Z)是由分析滤波器H0(Z),H1(Z)组成的矩阵,称为分析滤波器矩阵,又由于含有H0(-Z)和H1(-Z),故又称为混迭成份矩阵aliasingcomponentmatrix或系统调制矩阵modulationmatrix。
(2.16)
其行列式为
(2.17)
式中P(Z)=H0(Z)H1(-Z),从(2.14)式可见完全重构滤波器组满足下列形式:
(2.18)
(2.18)式的重构条件不是唯一的,例如
(2.19)
若
(2.20)
代入(2.8)式也可得到完全重构滤波器组。
又如Hm(Z)的逆矩阵为
(2.21)
如果上式的分母即Hm(Z)的行列式为纯延迟单元,且综合滤波器组选为
(2.22)
代入(2.8)式可得
(2.23)
系统的传递函数为Hm(Z)的行列式,如将(2.20)式代入
(2.24)
为纯延迟单元。
表2-1为双通道常用完全重构的正交镜象滤波器组的比较。
表中ALD表示混迭失真,AMD表示幅度失真,PHD表示相位失真。
表2-1双通道常用完全重构的正交镜象滤波器组的比较
公式(2.22)
公式(2.18)
滤波器间关系式
H1(Z)=H0(-Z)
G0(Z)=H0(Z)
G1(Z)=-H0(-Z)
G0(Z)=Z-LH0(Z-1)
G1(Z)=Z-LH1(Z-1)
H(Z)=-Z-LH0(-Z-1)
L是滤波器阶数
H0(Z)的相位响应
线性
非线性
H0(Z)的其他重要特性
H0(Z-1)H0(Z)是零相位FIR半带滤波器
正交镜象滤波器组失真
ALD抵销
AMD消除
APD消除
ALD抵销
AMD消除
APD消除
滤波器的符号
N1=H0(Z)的长度
N2=H0(Z)的长度
实现整个分析/综合系统所需的单位时间的乘法次数
N1(直接形式,多相位)
N2(栅格式,多相位)
整个分析/综合系统的群延迟
N1-1
N2-1
§23滤波器组的多相位表示式
设滤波器的多相位表示式为
(2.25)
式中Hi0(Z2)表示只含Hi(Z)的偶标号系数(偶标号项之间为0),Hi1(Z2)表示只含Hi(Z)的奇标号系数(奇标号项之间为0),则
2.26)
即可得多相位矩阵Hp(Z2)和分析滤波器矩阵Hm(Z)之间的关系式
(2.27)
分析滤波器矩阵和多相位矩阵的行列式之间有下列关系:
(2.28)
和
(2.29)
下面进一步说明用有限冲激响应(FIR)分析滤波器后随FIR综合滤波器的完全重构的充要条件。
设H0(Z)和H1(Z)是分别具有长度为M0和M1的FIR滤波器
(2.30)
则
(2.31)
当M0+M1为偶时,Ms=(1/2)(M0+M1),当M0+M1为奇时,Ms=(1/2)(M0+M1+1)。
若p2i为任意,且
(2.32)
时可得
(2.33)
因此完全重构充要条件是Hm(Z)的行列式
(2.34)
满足(2.33)式的约束的P(Z)称为有效多项式viladpolynomial。
从(2.29)式可见,多相位矩阵的行列式也为一纯延迟单元,再从(2.32)式可见有效多项式P(Z)只能含有单一个非零奇项系数。
从上面讨论来看,满足完全重构条件的滤波器组的设计关键在于寻找满足约束条件的有效多项式和有效多项式的分解,从而设计出分析滤波器。
再由分析滤波器导出综合滤波器。
§24正交镜象滤波器组(QMF)
在子波分析和子波变换中通常采用下列双通道滤波器组系统如图2.3。
图2.3子波变换中的双通道滤波器组系统
若双通道均采用偶抽样,
分别为
的Z变换,则
(2.35)
若满足下列条件
(2.36)
则系统完全重构。
在正交条件下ho(n),h1(n)组成正交滤波器组,即满足
(2.37)
将(2.37)式代入(2.36)式,可得
(2.38)
将(2.37)式变换成时域为
(2.39)
(2.38)式表示滤波器的冲激响应h0(n),h1(n)在偶平移处相互正交,而滤波器h0(n),g0(n)和h1(n),g1(n)组成镜象滤波器,把满足上述(2.38),(2.39)式的滤波器组称为正交镜象滤波器组(QMFB)。
下面再讨论双正交条件下的滤波器组,分成两种情况来讨论,第一种情况是双通道滤波后均采用偶抽样,令
(2.39)
同样可以满足完全重构的条件(2.34)式,转换成时域为
(2.40)
上式表示分析低通滤波器和综合高通滤波器正交,综合低通滤波器和分析高通滤波器正交。
现再讨论第二种情况,即一组用偶抽样,另一组用奇抽样。
由于奇抽样相当于插入一个延迟单元,参照图2.2的双通道滤波器组系统,已知偶抽样时
而奇抽样时
因而双通道抽样后的输出分别为
(2.41)
则双通道滤波器组的输出为
(2.42)
满足完全重构的充要条件为
(2.43)
时系统X'(Z)=X(Z)。
若
(2.44)
即可满足(2.43)式的完全重构条件。
将(2.44)式转换为时域表示式
(2.45)
同样组成双正交镜象滤波器组。
§25有限长度滤波器的边界延拓
在信号的子带分析中,子带分析重构系统必须满足下列两个条件:
①完全重构性。
原始信号可以由它的子带信号完全重构,由前面的分析可知由正交镜象滤波器组组成的系统是完全重构的系统;②子带信号的数据点数的总和不应多于原始信号的数据点数,否则子带编码的压缩效率将降低。
对于无限长度的信号,它们的频带是严格受限的,根据抽样定理其子带信号进行严格的抽样就能满足条件①和②。
然而对于有限长度的信号,信号经过子波变换的线性滤波,子带信号的数据点数将大于原始信号的数据点数,从而引起边界外延,如果满足条件①的完全重构性,子带信号在严格抽样时的数据点数将增加,不能满足条件②。
如果去掉因线性滤波而增加的点数以满足条件②,则由于信息的丢失,重构的信号将产生畸变,不能满足条件①。
为了同时满足两个条件,必须对原始信号进行边界延拓,形成一无限长信号,以减少信息的丢失。
设原始信号x(n)的长度为N,滤波器的长度为L。
将原始信号首尾各延拓(L-2)/2点形成延拓后的信号
,有下列几种延拓方法:
1.零延拓:
(2.46)
2.周期延拓:
(2.47)
3.边界重复:
(2.48)
4.对称周期延拓:
(2.49)
5.双对称延拓:
(2.50)
从上述公式来看,第1,2种延拓方法使边界不连续,第3,4,5种方法仍然保持信号的连续性。
从符合重构条件来说,只有周期延拓是符合重构条件的,因为周期延拓后的信号与有限长度的滤波器卷积后的信号仍是周期信号,由于运算后仍只取一个周期,因而在复频率Z域仍满足卷积定理,也满足重构条件。
对称周期延拓时,若滤波器具有对称结构也可实现完全重构。
其它几种延拓方法均不能够完全满足重构原信号的条件。
但由于周期延拓使边界不连续,对低比特率量化不利。
图2.4为几种延拓方法的示意图。
图2.4有限长信号的边界延拓方法其中
(1)为原有限长度信号
对称周期延拓可以使边界连续,但在编制软件程序时并不方便,可以对延拓方法进行改进,使原信号x(n)首尾各延拓(L-2)点,而不是(L-2)/2点,即
(2.51)
分析信号由延拓后的信号
的后(N+L-2)点经滤波后获得;而细节信号则由
的前(N+L-2)点经滤波后获得,即
(2.52)
(2.53)
经滤波后的S(n),d(n)的长度仍为N/2点。
在进入重构系统前,对S(n)前延拓(L-2)/2点,d(n)后延拓(L-2)/2点,如果将S(n)和d(n)首尾相接形成一新序列y(n),则相当于对y(n)首尾各延拓(L-2)/2点,其重构公式为:
(2.54)
式中
(2.55)
延拓后
(2.56)
由此而得出的重构信号长度仍为N点。
改进后的对称周期延拓方法可以提高重构信号的信噪比。
对周期延拓也可采取相类似的方法,且并没有改变重构条件,故系统仍然是完全重构的。
§26二维非分离型滤波器组
现在讨论二维的情况,分两种情况来讨论:
非分离型和分离型。
先讨论二维非分离型,即二维滤波器的冲激响应不能写成一维滤波器冲激响应的乘积。
二维信号x(n1,n2)经过二维滤波器h(n1,n2)和它的镜象二维滤波器
滤波后,将滤波后的信号按五点式quincunx二维抽样,即两个样点中只保留n1+n2为偶数的点,在重构恢复时在相应点置零,如图2.5所示。
:
样点保留,样点不要
五点式偶抽样五点式奇抽样
图2.5五点式二维抽样
故二维偶抽样和扩展downandupsampling可看成用下列二维函数f(n1,n2)调制
(2.57)
图2.6为二维正交完全重构滤波器组系统。
在Z域H(Z1,Z2)是滤波器h(n1,n2)的传递函数,而二维镜象滤波器的传递函数较一维时简单,可写成H(-Z1,-Z2)。
f(n1,n2)调制在Z域变为卷积,所以输出信号x'(n1,n2)等于
图2.6二维完全重构滤波器组
(2.58)
从(2.58)式可见不管传递函数H(Z1,Z2)怎样,由X(-Z1,-Z2)引起的混迭部分自动消除。
如果H2(Z1,Z2)-H2(-Z1,-Z2)=2,则系统完全重构。
现在再讨论双正交二维非分离型滤波器组的情形。
图2.7为双正交二维非分离型滤波器组。
图2.7双正交二维非分离型滤波器组系统
设
分别为g0(-n1,-n2),g1(-n1,-n2)的Z变换。
图2.7的系统可得
(2.59)
若
(2.60)
则X(Z1,Z2)=X'(Z1,Z2),系统完全重构。
从(2.60)式可设
(2.61)
即
(2.62)
同理可以证明若低通通路取偶抽样,高通通路取奇抽样,则
(2.63)
若取
(2.64)
即得
(2.65)
§27二维分离型滤波器组
现讨论图2.8所示的分离型二维滤波器,
图2.8二维分离型滤波器组系统
二维信号x(n1,n2)经过四个通道二维滤波器滤波,其中一个通道的二维滤波器的冲激响应h(n1,n2),其余三个为它的镜象滤波器分别用
调制,滤波后的信号隔行隔列抽样(即每条轴隔2抽样),对应于二维信号相当于隔4抽样,抽样后产生y(n1,n2)为
(2.66)
如图2.8所示的二维系统可得下列输出
(2.67)
所有各项均含有原信号的混迭成份,显然要使分离型二维滤波器组成的二维系统消除混迭部分的充要条件是
(2.68)
此时(2.65)式变为
(2.69)
只要Hi(Z)-Hi(-Z)=2,i=1,2,二维分离型滤
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