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(6)如图,在锐角△ABC中,AB=四倍根号二,∠BAC=45°
∠BAC的平分线交BC于D.M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN,的最小值是————
(7)在四边形ABCD的对角线AC上找一点P使∠APB=∠APD.
(2014年张家口二模)
(1)如图1、图2,点P是⊙O外一点,作直线OP,交⊙O于点M、N,则有结论:
①点M是点P到⊙O的最近点;
②点N是点P到⊙O的最远点.
请你从①和②中选择一个进行证明。
(注:
图1和图2中的虚线为辅助线,可以直接利用)
(2)如图,已知,点A、B分别是直角∠XOY的两边上的动点,并且线段AB=4,如果点T是线段AB的中点,则线段TO的长等于______,所以,当点A和B在直角∠XOY的两边上运动时,点O一定在以点______为圆心,以线段______为直径的圆上.
(3)如图,△ABC的等边三角形,AB=4,直角∠XOY的两边OX,OY分别经过点A和点B(点O与点A、点B都不重合),连接OC,求OC的最大值与最小值.
(4)如图,在直角坐标系xOy中,点A、B分别是x轴与y轴上的动点,并且线段AB等于4为一定值.以AB为边作正方形ABCD,连接OC,则OC的最大值与最小值的乘积等于______.
3、阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:
如图1,在正三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
小伟是这样思考的:
如图2,利用旋转和全等的知识构造△AP′C,连接PP′,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.
请你回答:
图1中∠APB的度数等于______.
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
,PB=1,PD=
,则∠APB的度数等于______,正方形的边长为______;
(2)如图4,在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=2,PB=1,PF=
,则∠APB的度数等于______,正六边形的边长为______.
4、2012延庆二模)阅读下面的材料:
如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。
利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°
得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解(如图2).
AP的最大值是.
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,
则AP+BP+CP的最小值是.(结果可以不化简)
5、已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是
6、如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是( )
A4.75B4.8C5D4根号2
7、在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.则EF的最小值为( )A.4B.4.8C.5.2D.6
A.4B4.8C5.2D6
8、
如图所示,已知A(
,y1),B(2,y2)为反比例函数y=
图
象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP
与线段B之差达到最大时,点P的坐标是( )
A.(
,0)
B.(1,0)
C.(
(
9、如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则|PA-PB|的最大值等于______.
10、
如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a
的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=
.试在直线a上找一
点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,
则此时AM+NB=
A6B8C10D12
11、
如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线
l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为
A.
B.
C.3
D.5
12、动手操作:
如图①,把长为l、宽为h的矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形,则点A′与点______重合,点B′与点______重合;
探究发现:
如图③,圆柱的底面周长是40,高是30,若在圆柱体的侧面绕一
圈丝线作装饰,从下底面A出发,沿圆柱侧面绕一周到上底面B,则这条丝线最短的长度是______;
实践与应用:
如图④,圆锥的母线长为4,底面半径为3/4
若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰,从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面绕一周回到点A.求这条彩带最短的长度是多少?
拓展联想:
如图5,一颗古树上下粗细相差不大,可以看成圆柱体.测得树干的周长为3米,高为18米,有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上,恰好绕8周到达树干的顶部,你能求出这条紫藤至少有多少米吗?
13、我们知道:
根据二次函数的图象,可以直接确定二次函数的最大(小)值;
根据“两点之间,线段最短”,并运用轴对称的性质,可以在一条直线上找到一点,使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短.
这种数形结合的思想方法,非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大(小)值问题.请你尝试解决一下问题:
(1)在图1中,抛物线所对应的二次函数的最大值是______;
(2)在图2中,相距3km的A、B两镇位于河岸(近似看做直线l)的同侧,且到河岸的距离AC=1千米,BD=2千米,现要在岸边建一座水塔,分别直接给两镇送水,为使所用水管的长度最短,请你:
①作图确定水塔的位置;
②求出所需水管的长度(结果用准确值表示)
(3)已知x+y=6,求
+
的最小值;
此问题可以通过数形结合的方法加以解决,具体步骤如下:
①如图3中,作线段AB=6,分别过点A、B,作CA⊥AB,DB⊥AB,使得CA=______,DB=______;
②在AB上取一点P,可设AP=______,BP=______;
③
的最小值即为线段______和线段______长度之和的最小值,最小值为______.
15、
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆
盖圆。
例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆。
(1)请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,
保留作图痕迹,不写作法);
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律?
请写出你所得到的结论
(不要求证明);
(3)某地有四个村庄E,F,G,H(其位置如图2所示),现拟建
一个电视信号中转站,为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号,
且使中转站所需发射功率最小(距离越小,所需功率越小),此中转
站应建在何处?
请说明理由.
16、动手操作:
如图1,把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形,则点A与点-------重合,点B与点------重合
探究与发现:
(1)如图2,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝带到顶部B处作装饰,则这条丝线的最小长度是-------cm;
(丝线的粗细忽略不计)
(2)如图3,若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处,则至少需要多少丝线?
如图4,现有一个圆柱形的玻璃杯,准备在杯子的外面缠绕一层装饰带,为使带子全部包住杯子且不重叠,需要将带子的两端沿AE,CF方向进行裁剪,如图5所示,若带子的宽度为1.5厘米,杯子的半径为6厘米,则sinα=-----------
17、
如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD
(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,
连接EN、AM、CM。
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长。
18如图,∠AOB=30°
,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,
ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是_________
面积类型
1、如图①所示,已知直线m∥n,B为直线n上的两点,D为直线m上的两点.
(1)写出图中面积相等的各对三角形;
(2)如果A,C为三个定点,点D在m上移动,那么无论D点移动到任何位置,总有
与△ABC的面积相等,理由是;
如图②所示,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图,经过多年开垦荒地,现已变成如图③所示的形状,但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图中的折线CDE)还保留着.张大爷想过E点修一条直路,使直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦荒地面积一样多.请你用相关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占地面积)
(3)写出设计方案,并在图③中画出相应的图形;
(4)说明方案设计的理由.
如图①,梯形ABCD中,DC∥AB,DE⊥AB于点E。
阅读理解:
在图①中,延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P,过点D作DF∥CB交AB于点F,得到图②;
四边形BCDF的面积为S,△ADF的面积S1,△PDC的面积S2。
解决问题:
(1)在图②中,若DC=2,AB=8,DE=3,则S=_____,S1=_____,S2=_____;
(2)在图②中,若AB=a,DC=b,DE=h,则
=_____,并写出理由;
拓展应用:
如图③,□DEFC的四个顶点在△PAB的三边上,若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5,试利用
(2)中的结论求△PAB的面积。
3、
已知正方形ABCD的边长为4,E是CD上一个动点,以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF,连结BF、BD、FD。
(1)BD与CF的位置关系是____;
(2)①如图1,当CE=4(即点E与点D重合)时,△BDF的面积为____;
②如图2,当CE=2(即点E为CD的中点)时,△BDF的面积为____;
③如图3,当CE=3时,△BDF的面积为____;
(3)如图4,根据上述计算的结果,当E是CD上任意一点时,请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想,并证明你的猜想。
4、探究:
已知平行四边形ABCD的面积为100,M是AB所在直线上的一点
(1)如图1:
当点M与B重合时,S△DCM=________;
(2)如图2:
当点M与B与A均不重合时,S△DCM=________
(3)如图3:
当点M在AB(或BA)的延长线上时,S△DCM=________
推广:
平行四边形ABCD的面积为a,E、F为两边DC、BC延长线上两点,连接DF、AF、AE、BE.求出图4中阴影部分的面积,并简要说明理由
应用:
如图5是某广场的一平行四边形绿地ABCD,PQ、MN分别平行DC、AD,PQ、MN交于O点,其中S四边形AMOP=300m2,S四边形MBQO=400m2,S四边形NCQO=700m2.现进行绿地改造,在绿地内部做一个三角形区域MQD,连接DM、QD、QM,(图中阴影部分)种植不同的花草,求三角形DMQ区域的面积.
5、如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠A=90°
,AD=a,BC=b,AB=c,
操作示例
我们可以取直角梯形ABCD的一腰CD的中点P,过点P作PE∥AB,裁掉△PEC,并将△PEC拼接到△PFD的位置,构成新的图形(如图2).
思考发现
小明在操作后发现,该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°
到△PFD的位置,易知PE与PF在同一条直线上.又因为在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C+∠ADP=180°
,则∠FDP+∠ADP=180°
,所以AD和DF在同一条直线上,那么构成的新图形是一个四边形,进而根据平行四边形的判定方法,可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形,而且还是一个特殊的平行四边形——矩形.
1.图2中,矩形ABEF的面积是
;
(用含a,b,c的式子表示)
2.类比图2的剪拼方法,请你就图3(其中AD∥BC)和图4(其中AB∥DC)的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图.
3.小明通过探究后发现:
在一个四边形中,只要有一组对边平行,就可以剪拼成平行四边形.
如图5的多边形中,AE=CD,AE∥CD,能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切,拼成一个平行四边形?
若能,请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明;
若不能,简要说明理由.
6、
阅读下面材料:
如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,若梯形ABCD的面积为1,试求以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形的面积;
要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可,他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题,他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2),请你回答:
图2中△BDE的面积等于_____;
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF。
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于_____。
7、
(1)探究新知:
如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)结论应用:
①如图2,点M,N在反比例函数
(k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,F.试证明:
MN∥EF;
②若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如图3所示,请判断MN与EF是否平行。
8、如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?
若存在,求点Q的坐标;
若不存在,说明理由;
(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等?
若存在,直接写出点R的坐标;
若不存在,说明理由.
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