线性代数考试练习题带答案大全.docx
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线性代数考试练习题带答案大全
线性代数考试练习题带答案
一、单项选择
(每小丿
3分,共15分)
1•设A为mx矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的(A).
(A)列向量组线性无关,(B)列向量组线性相关,
(C)行向量组线性无关,(D)行向疑组线性相关.
2.向量久几卩线性无关,而*队&线性相关,则(C)。
(A)&必可由队丫、&线性表出,(〃)“必不可由线性表岀,
(C)3必可由a、卩、丫线性表出,(£))3必不可由*队丫线性表岀.
3.二次型/3,勺,码)=(几-1)旺+空+(兄+1)巧,当满足(c)时,是正定二次型.
(A)几>一1;(B)2>0:
(C)2>1.(D)H.
4.初等矩阵(A):
(A)都可以经过初等变换化为单位矩阵;(3)所对应的行列式的值都等于1:
(C)相乘仍为初等矩阵:
(£>)相加仍为初等矩阵
5.已知…,a“线性无关,则(C)
A.ax+a2,a2+an必线性无关;
B.若"为奇数,则必有«)+a,,a,+ +an,an+ax线性相关; C.若"为偶数,则必有a,+a2,a2+a3,•••,«„_,+an,an+a,线性相关; D.以上都不对。 二、填空题(每小题3分,共15分) 6.实二次型f(x^x2,x3)=tx~+4x,x2+x;+x;秩为2,贝林= ‘020、 7.设矩阵003,则犷= <400, 8.设4是"阶方阵,&是A的伴随矩阵,已知|A|=5,则/VT的特征值为 9•行列式。 曲 ‘10 10.设A是4X3矩阵,R(A)=2,若3=02 、°° 2、 0,则R(AB)= 三、计算题(每小题10分, 共50分) 11. 求行列式D=a2+bx ①+也 a2+b2a2+Z? 3的值。 <1 1 -1 12.设矩阵人= -1 1 1 <1 -1 1 矩阵X满足A'X=A^+2X,求X。 x,_x2+2x4=0 13.求线性方程组FX,+2%2一七+X4=1的通解。 2xj+3x2-x3-x4=1 X]+4x2_牙3_3x4=1 14.已知內=(1,2,2)7,也=(3,6,6)7,$=(1,,0,3)7,巾=(0,4,—2)7,求出它的秩及其一个最大无关组。 15•设A为三阶矩阵,有三个不同特征值人“2虫,冬42心3依次是属于特征值入仏4,的特征向量,令0=可+勺+冷・若才0=A0,求A的特征值并计算行列式|2A-3E|. 四、解答题(10分) ‘100、 16.已知4=032,求屮 23, 五、证明题(每小丿 5分,共10分) 17•设纟是非齐次线性方程组AX"的一个特解,〃“2,…,%为对应的齐次线性方程 组AX=0的一个基础解系,证明: 向量组仏线性无关。 18.已知4与A-E都是〃阶正定矩阵,判定E-A-1是否为正定矩阵,说明理由. 线性代数期末试卷(本科A) 一、单项选择丿 (每小丿 3分,共15分) 1.设人B为〃阶矩阵,下列运算正确的是()o A.{AB)k=AkBk\B.|-A|=-|A|; C・A2-B2=(A-B)(A+B);D・若人可逆,£工0,贝IJ(M尸 2.下列不是向量组…,碍线性无关的必要条件的是()。 A.…,G都不是零向量; B.少,^? ,…,a<中至少有一个向量可由英余向量线性表示; C.少,勺,…,①中任意两个向量都不成比例; D.少,6? 2,…,匕中任一部分组线性无关; 3.设A为mxn矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的()。 A.列向量组线性无关;B.列向量组线性相关; C.行向量组线性无关;D.行向量组线性相关; 4.如果(),则矩阵A与矩阵B相似。 A.|A|=|Z? |;B.r(A)=r(B); C.A与〃有相同的特征多项式; D.〃阶矩阵A与3有相同的特征值且“个特征值各不相同; 5.二次型于(西,花,兀)=(/1一1)彳+喝+(71+1)€,当满足()时,是正定二次型。 A.A>—1;B.A>0;C.兄>1;D.几A1° 二.填空题(每小题3分,共15分) "300] 6.设A=140,贝iJ(A-2E)_l= <003, 为行列式》= 21 中元素佝的代数余子式,则 Ai 备 31 41 a22 7.设每(心=1,2) (100) (201) (\00、 8. 010 140 001 =: 〔201J 1-1°3丿 〔01°丿 9.已知向量组tzHa2,a3线性无关,则向量组a{-a2,a2-ct^a}-a3的秩为 10.设A为川阶方卩车,A^E,K/? (A+3E)+/? (A-E)=n,则A的一个特征值 2=; 三、计算题(每小题10分,共50分) 1・••1" 2…? 11.设人= 7..[(go),求国。 ••• n…n+a) 12.设三阶方阵A, 3满足方程才=试求矩阵B以及行列式网,其中 0 \1 13.已知01 00 2Xj+2x2_£=1 14.几取何值时,线性方程组 Axi-x2+x3-2无解,有唯解或有无穷多解? 当 4xj+5x2-5x3=-1 有无穷多解时,求通解。 15.设q=(0,4,2),色=(1,1,0),他=(一2,4,3),&4=(T,1,1),求该向量组的秩和一个极大无关组。 四、 解答题 (10分) 16.已知三阶方阵A的特征值1,2,3对应的特征向量分别为⑦,a2,6。 其中: a严(1,1,1)? 勺=(124)‘,冬=(1,3,9)‘,0=(1」,3)'。 (1)将向量0用a】,a? a? 线性表示; (2)求A"0,“为自然数。 五、证明题(每小题5分,共10分) 17.设A是"阶方阵,且/? (A)+/? (A-£)=«,证明: 山=0有非零解。 18.已知向量组(I)少,勺,冬的秩为3,向量组(II)a,,a2,a3,a4的秩为3,向量组(III)ara2ia3ia5的秩为4,证明向量组a^a^a^a^-a^的秩为4。 线性代数期末试卷(本科A) 一、单项选择题(每小丿 3分,共15分) 1.满足下列条件的行列式不一定为零的是()。 (A)行列式的某行(列)可以写成两项和的形式; (B)行列式中有两行(列)元素完全相同; (C)行列式中有两行(列)元素成比例; (D)行列式中等于零的个数大于n2-n个. 2.下列矩阵中()不满足A2=-E. (\一2) (A)[1-J <-1-2、 仃_2、 (B) ;(C) <11丿 J1丿 (D) 3.设43为同阶可逆方阵,则()o (A)AB=BA,(B)存在可逆矩阵只使= (0存在可逆矩阵C,使C‘AC=B;(D)存在可逆矩阵P,Q^PAQ=B. 4.向量组错误! 未找到引用源。 线性无关的充分必要条件是() (A)错误! 未找到引用源。 均不为零向量; (B)错误! 未找到引用源。 中有一部分向量组线性无关; (C)错误! 未找到引用源。 中任意两个向量的分量不对应成比例; (D)错误! 未找到引用源。 中任意一个向量都不能山其余错误! 未找到引用源。 个向量线性表示。 5.零为方阵A的特征值是A不可逆的()。 (A)充分条件;(B)充要条件;(C)必要条件;(D)无关条件; 二、填空题 3分,共15分) "10「 6. 贝ljA2_2A= 设4=020 101 \/ 7. 已知a=(123),0=1L设A=a1p.则A= 8•设A是三阶方阵,且|A|=-1,则才—2屮=; 9.已知向量组匕=(1,2,3,4),冬=(2,3,4,5)q=(3,4,5,6)心=(4,5,6,7),则该向量组 的秩为 <1-11、 々00] 10.已知A= 24-2 B= 020 且A于3相似,则几= 、一3-35丿 002) 三、计算题(每小题10分,共50分) 1+% 1 1 …1 1 1+Cl^ 1 …1 11.Dn= 1 • • 1 • ■ 1+y ■ • …1 •• •• (eg…d”工0) ■ 1 ■ 1 • 1 •• …1+5 xx+2x2-2x3=0 12.12.已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组”旺―耳+久®=。 的解. 3州+兀2—召=° ①求兄的值;②证明|B|=0. 13•设3阶矩阵X满足等式AX=B+2X. <310 <110> 其中A= 012 B= 102 求矩阵X。 <004丿 <202丿 <-r "3、 7 <3、 14.求向量组a】= 3 = -3 9^3= 5 — -4 a气= 1 的秩及最大 2 ** -2 3 4 -2 0 6 k-3> 沁丿 <-2> <_1> 无关组。 ‘001、 /\ X? 25・设/(xpx2,x3)=(xpx2,x3) 300 (430; 1•求二次型/(斗宀山)所对应的矩阵A: 2.求A的特征值和对应的特征向量。 四、解答题(10分) 16.0=(1,3,-3)r,=(1,2,OF,勺=(1,"+2,—3°)「, 冬=(―1,—b-2,“+2b)T,试讨论""为何值时 (1)0不能用aiya2ta3线性表示; (2)0可illa^a2,a3唯一地表示,并求出表示式; (3)0可由冬,冬,冬表示,但表示式不唯一,并求出表示式。 五、证明题 (每小题5分,共10分) 17.设es,…,勺错误! 未找到引用源。 是一组〃维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一错误沬找到引用源。 维向量都可山它们线性表示。 18.设A为对称矩阵,B为反对称矩阵,且可交换,A-B可逆,证明: (A+3)(A-3)"是正交矩阵。 线性代数期末试卷(本科A) 解答与参考评分标准 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设为“阶矩阵,下列运算正确的是(D)。 A.(AB)k=AkBk;B.|-A|=-|A|; C.A2-B2=(A-B)(A+B);D.若A可逆,WJ(M)-*=k~lA~l; 2.下列不是向量组印心2,…,乙线性无关的必要条件的是(B)。 A.冬,冬,…,乙都不是零向量; B.«! ,«,,•••,ai中至少有一个向量可由英余向量线性表示; C.少,勺,…,徨中任意两个向量都不成比例; D.少,^2,…,乙中任一部分组线性无关; 3.设4为mxn矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的(A)o A.列向量组线性无关;B.列向量组线性相关; C.行向量组线性无关;D.行向量组线性相关; 4.如果(D),则矩阵A与矩阵B相似。 A.|A|=|B|;B.r(A)=r(B); C.A与B有相同的特征多项式; D.〃阶矩阵A与3有相同的特征值且“个特征值各不相同; 5.二次型/(xpx2,x3)=(A-l)xf+Zvj+(2+l)xp当满足(C)时,是正定二次型. A.A>—1;B・A>0;C・>1>1;D.几hi。 二、填空题(每小题3分,共15分) ‘300) '100、 6.设4= 140 贝,iJ(A-2E)_,= -110 22 (003, 0°1丿 7.设每(门=1,2)为行列式》=;1中元素呦的代数余子式,则A1=^1 31A"A” ‘100、 r201' V00、 "21(T & 010 140 001 — 104 1201, <-1°3) 010丿 、350, 9.已知向量组冬心心线性无关,则向量组a】-冬,勺-勺q-勺的秩为2; 10.设A为川阶方卩车,^R(A+3E)+R(A-E)=n,则A的一个特征值 A=-3: 三.计算丿 (每小题10分,共50分) "1+G (aH0),求同。 0•• 2 1 1 1 …1 1 1 1 …1 0 1+0 1 …1 -1 a 0 ...0 0 2 2+a ...2 = -2 0 a ...0 0 11 n ・••n+a -/7 0 0 …a •n+a丿 解: 同= 1 1 1 10分 /-1 0•• 12.设三阶方阵A, 3满足方程才试求矩阵B以及行列式网,其中 解: lilA2B^A^B=E, 得(a2—E)b=a+「即 (A+E)(A-E)B=A+E 「2 由^A+E=0 02、 40 02, |A+£|=32H0, <0 0 2、 A-E= 0 2 0 「2 0 0> |A-E|=8^0, 丫00 B=(A-E)~1(/1+E)~1(/1+E)=(A-E)-1=02 「20 2、 -1 <0 0 —1、 0 1 _2 0 1 0 °丿 <1 0 0丿 所以|B|=l/8o 10分 \1 13.已知A=01 <00 -1] 1,且满足A2-AB=E,其中E为单位矩阵,求矩阵3。 -L 11 解: 因为同=01 00 一1 1=-1^0,所以A可逆, -1 由A2-AB=E9^A2-E=AB9故A-,(A2-E)=A-,AB,即……4分 1-1 -2] 不难求出 犷= 01 1 <00 -L ‘11-r <1-1-2、 Ko2r 因itB=A-A~l= 011 - 011 = 000 00-ly °-b 0°丿 10分 「2 2Xj+2x2_£=1 14.几取何值时,线性方程组 Axi-x2+x3-2无解,有唯解或有无穷多解? 当 +5x2一5*3=-1 有无穷多解时,求通解。 解: 山于方程个数等于未知量的个数,其系数行列式 22-1 |A|=2-11=522-2-4=(2-1)(52+4); 455 / 2 4 5 -1 、 1 fio -4 -5 5、 1.当2=-¥时,有(A,b)= 5 5 4 -1 1 2 r 4 5 -5 -10 0 0 0 9 4 5 -5 -1 \w 7/ /? (A)=2^/? (AZ? )=3,原方程组无解; (2 1 -1 1] 丫0 2•当2=1时,有(A,b)= 1 -1 1 2 r 1 4 5- -5 -1; <0 \ / \ /、斗 丫0、 所以原方程的通解为 1 k+ -1 1 3丿 3.当兄工1,_¥日寸,方程组有唯一解。 3 一3 -3、 <1 0 0 -1 1 2 r 0 1 -1 -i 9 9 -9 -9丿 <0 0 0 0丿 ・・8分 5分 10分 15.设q=(042)s=(l丄0)心=(一243)4=(-1」」”求该向量组的秩和一个 极大无关组。 解: "1 0 -2 -1、 5 0 -2 -1、 ‘1 0 -2 -n 1 4 4 1 〜 0 4 6 2 0 4 6 2 2 3 1丿 <0 2 3 1丿 1° 0 0 °丿 •6分 所以向量组的秩为2,8分 因为任意两个向量均不成比例, 所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。 10分 四. 解答题 (10分) 16.已知三阶方阵A的特征值1,2,3对应的特征向量分别为冬,勺, 巾。 其中: q=(l,1,1)7,勺=(1,2,4)',y=(1,3,9)‘,0=(1丄3)「。 (1)将向量“用a】,a2,如线性表示; (2)求Anp,n为自然数。 解: (1)把”用巾线性表示,即求解方程 x[a[+x2a2+x3a.=0 ‘1 1 1 1、 1 1 r <1 0 0 2、 1 2 3 1 r 0 I 2 0 r 0 1 0 -2 J 4 9 3丿 3 0 1 b 10 0 1 1> 故卩=2a、一2a[+tz35分 (2)N卩=(2at-2a2+a3)=2Ana}-2Ana2+Ana3 10分 2_2'小+3〃、=2衬a-2^a2+AH=2a,-2n+,a2+3"闵=2-2n+2+3n+, 2—2心+3*2 \/ 五.证明丿 (每小题5分,共10分) 17•设A是〃阶方阵,且R(A)+R(A-E)=n9A^Ex证明: Ar=0有非零解。 证明: A^£=>A-£^O=>/? (A-E)>1,2分 R(A)+R(A-E)=n=>R(A)=n-/? (A-E)S-l4分 所以山=0有非零解。 5分18.已知向量组⑴ess的秩为3,向量组(II)aga心的秩为3,向量组(III)a^a2,a^a5的秩为4,证明向量组a^a2,a^a5-a4的秩为4。 证明: 向量组esS的秩为3,向量组ara2.a3ya4的秩为3,所以ava2.a3为向量组ara2,a3,a4的一个极大无关组,因此勺可唯一的由agS线性表示;••••2分假设向量组ara2ya^a5-a4的秩不为4,乂因为向量组ara2,a3的秩为3,所以向量 组a^a2,a3,a5-a4的秩为3,因此a5-a4也可唯一的由alya2ia3线性表示;...4分 因此巾可唯一的由a^a2ya3线性表示,而向量组a^a2.a^a5的秩为4,即 蚣冬,巾线性无关,因此色不能由弘色心? 线性表示,矛盾,因此向量组 a},a29a^a5-a4的秩为4。 5分 武汉科技大学 2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A) 解答与参考评分标准 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.满足下列条件的行列式不一定为零的是(A)。 (A)行列式的某行(列)可以写成两项和的形式;(B)行列式中有两行(列)元素完全相同; (C)行列式中有两行(列)元素成比例;(D)行列式中等于零的个数大于n2-n个. 2.下列矩阵中(C)不满足A2=-Eo 3.设A,〃为同阶可逆方阵,则(D)。 q-2、 <1 1、 (C) ;(D) 1丿 <-2 T丿 (A)AB=BAx ⑻存在可逆矩阵P,使P-'AP=E; (O存在可逆矩阵C,使C'AC-B; (D)存在可逆矩阵P,Q,^PAQ=B. 4.向量组错误I未找到引用源。 线性无关的充分必要条件是(D) (A)错误I未找到引用源。 均不为零向量;(B)错误I未找到引用源。 中有一部分向量组线性无关; (C)错误I未找到引用源。 中任意两个向量的分量不对应成比例; (D)错误味找到引用源。 中任意一个向量都不能由其余错误味找到引用源。 个向屋线性表示。 5.零为方阵A的特征值是A不可逆的(B)0 (A)充分条件;(B)充要条件;(C)必要条件;(D)无关条件. 二、填空题(每小题3分,共15分) "101 6•设q=020,贝|JA1-2A=0 101? 7. 已知a=(1,2,3),0=(1,g,*)设A=a'P,则A= 3 2 3 1 8.设A是三阶方阵,且|A|=-B则A-2A"1=—27 9.已知向量组q=(1,2,3,4),冬=(2,3,4,5)心=(345,6)©=(4,567),则该向量组的 <1 -1 1、 10・已知人= 2 4 -2 B= 0 「3 一3 5』 t0 秩为2; 00、 20,且4于B相似,则2=6o 02丿 三-计算题 (每小题10分, 共50分) 1 1 1(%_・•・£H0) 1 -1 1 5 1• 0• •1 •0 = -1 0 Ci2• •0 ■ ■ ■ -1 ■ ■ • 0 •• ■ ■ 0• • ■ •• ・% n 1+Z >-1 1 1 1• •1 0 山 0• •0 0 ■ ■ ■ 0 ■ ■ ■ «2• •• ■ •0 • • •
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