1、高中教育最新高考数学考点解读+命题热点突破专题16椭圆双曲线抛物线理教学资料参考参考范本【高中教育】最新高考数学考点解读+命题热点突破专题16椭圆双曲线抛物线理_年_月_日_部门【考向解读】 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质 特别是离心率 .2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系 弦长、中点等 .【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a1)与双曲线C2：y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）Amn且e1e21 Bmn且
2、e1e21 Cm1 Dmn且e1e2b0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1(2)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案(1)A(2)D【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系例2、【20x
3、x高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【变式探究】(1)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_(2)(20xx西北工业大学附中四模)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()Ay3x By2xCy(1)x Dy(1)x答
4、案 (1)1(2)C解析(1)直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC的斜率为，cosCF1F2，又由双曲线的定义及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a|BF2|4a，故cosCF1F2b22ab2a20()22()201，故双曲线的渐近线方程为y(1)x.【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c
5、和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围【变式探究】(1)设F1，F2分别是椭圆1 (ab0)的左，右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.(2)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(，0)(0，)D(，)(，)答案(1)D(2)A
6、解析(1)设P，线段F1P的中点Q的坐标为，当存在时，则，k，由kk1，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.当不存在时，b22c20，y0，此时F2为中点，即c2c，得e，综上，得e1，即所求的椭圆离心率的取值范围是.(2)由题作出图象如图所示由1可知A(a,0)，F(c,0)易得B，C.kAB，kCD.kAC，kBD.lBD：y(xc)，即yx，lCD：y(xc)，即yx.xDc.点D到BC的距离为.aac，b4b2，01.0b0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.
7、1C.1 D.1答案 (1)D(2)D解析(1)由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程有，1，1，两式相减得，0.线段AB的中点坐标为(1，1)，x1x22，y1y22代入上式得：.直线AB的斜率为，a22b2，右焦点为F(3,0)，a2b2c29，解得a218，b29，又此时点(1，1)在椭圆内，椭圆方程为1.【高考真题解读】1. 【20xx高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A） （B） （C
8、） （D）【答案】A2.【20xx年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )（A） （B） （C） （D）1【答案】C【解析】设（不妨设），则，故选C.3.【20xx高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.4.【20xx高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m1)与双曲线C2：y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）Amn且e
9、1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e20），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，故双曲线的方程为，故选D.9.【20xx高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 .【答案】【解析】由题意得，因此10.【20xx高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点
10、E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为，则p的值为_.【答案】【解析】抛物线的普通方程为，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，所以，解得11.【20xx高考山东理数】已知双曲线E： （a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_.【答案】212.【20xx年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_.【答案】2【解析】是正方形，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，故填：213.【20xx高考江苏卷
11、】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是_. 【答案】【解析】焦距为2c 故答案应填：。14.【20xx高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】（）;（）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】（）由题意知，可得：.因为抛物
12、线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为.（）（）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.（）由（）知直线方程为，令得，所以，又，所以，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.15.【20xx高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.【答案
13、】（1）（2）详见解析，【解析】解：（1）抛物线的焦点为由点在直线上，得，即所以抛物线C的方程为（2）设，线段PQ的中点因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为由消去得因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为因为在直线上所以，即由知，于是，所以因此的取值范围为16.【20xx高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点
14、，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）（）【解析】（）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.（）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（）知，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.17.【20xx高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）（）设与轴的交点为，则.由题设可
15、得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. .12分18.【20xx高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）；（II）（）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，满足记直线，的斜率分别为，且，由（）知，故，所以由于，得，因此， 因为式关于，的方程有解的充要条件是，所以因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要
16、条件为，由得，所求离心率的取值范围为19.【20xx高考新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，（）当时，求的面积；（）当时，求的取值范围【答案】（）；（）.【解析】（）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（）由题意，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.20.【20xx年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C
17、的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，所以.综上，为定值.21.【20xx年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P证明：存在常数，使得，并求的值.【答案】（），点T坐标为（
18、2,1）；（）.（II）由已知可设直线 的方程为，有方程组 可得所以P点坐标为（ ），.设点A，B的坐标分别为 .由方程组 可得.方程的判别式为，由，解得.由得.所以 ，同理，所以.故存在常数，使得.22. 【20xx高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）（2）.【解析】（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线显然由，得因为与双曲线交于
19、两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为1(20xx重庆，10)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(，0)(0，)D(，)(，)答案A2(20xx陕西，14)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_解析由于双曲线x2y21的焦点为(，0)，故应有，p2.答案2 3(20xx天津，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)
20、，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D4(20xx浙江，5)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.解析由图象知，由抛物线的性质知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，.故选A.答案A5(20xx福建，3)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D3解析由双曲线定义|PF2|PF1|2a，|PF1|3，
21、P在左支上，a3，|PF2|PF1|6，|PF2|9，故选B.答案B6(20xx安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为yx，只有C符合，故选C.答案C7(20xx广东，7)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选B.答案B8(20xx四川，5)过双曲线
22、x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2 C6 D4解析焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，|AB|2(2)4.选D.答案D9(20xx新课标全国，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2 C. D.答案D10(20xx新课标全国，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，由得y，所以y0.答案A11(20xx浙江，9)双曲线y21的焦距是_，渐近线方程是_解析由双曲线方程得a22，b21，c23，焦距为2，渐近线方程为yx.答案2yx12(20xx北京，10)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_解析双曲线渐近线方程为yx，又b1，a.答案13(20xx湖南，13)设F是双曲线C：1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(c，2b)，代入
