1、不动点迭代法求解非线性方程组不动点迭代法求解非线性方程组摘要：一般非线性方程组可以写成F(x) = 0的形式，其中F: R” t R是泄义在区域 DuR”上的向量函数。把方程组F(x) = 0改写成与之等价的形式：a- = G(x) 0因此，求 方程组F(x) = 0的解就转化为求函数的G(x)的不动点。本文首先介绍了多变量函数F(x) 的微积分性质，接着介绍了用不动点迭代法求解非线性方程组。关键词：多变量函数：微积分；不动点Fixed Point Iteration Method For Solving Nonlinear EquationsAbstract: General nonline
2、ar equations can be written in the form of F(x) = 01 where the vector function F ： R Rm is defined on the region D u R Transform the equatio nsF(x) = 0 into its equivale nt form: x = G(x) .Therefore, we can get the solutio n of F(x) = 0 by finding the fixed point of G(x)n this paper; we first introd
3、uce some knowledge about multivariable calculus, then introduce the fixed point iteration method for solving non linear equati ons.Key words: multi-variable function; calculus; fixed point1引言一般非线性方程组及苴向量表示法:含有个方程的元非线性方程组的一般形式为fl(xl9x2.9xn) = Of2(xrx2.9xn) = O的微积分性质设函数多变量函数/:/?” R,n.我们首先考虑当/是连续的函数的情况
4、，如 果/关于个变量的偏导数都存在并且连续，把这个偏导数组成一个维向量，则我们把这个允维向量称作多变量函数/的梯度。泄义1：连续可微函数/:尺”r = l.M:存在并且连续，则为函数/在点称函数/在点xeR”上连续可微，并且称V/-(a)= (-)，,(X) L 去i dxnxeRn的梯度。如果函数/在开区域DuR“上每一点连续可微，则称函数/在开区域Du/T连续可微，记作/eC*()o下而我们给岀关于多变量函数/的梯度的一些性质：引理1设/:R R在开凸集Du/T连续可微，则对于xeD以及任意一个非零 扰动peR,则函数/在点x在方向上的方向导数定义为(a-) = -/(A+)-/(A 存在
5、并且等于 p o 对于 Px、x+p 已 D ,f+P)= /U) + 巧(X + 炉丫 pdt 三/(A) + 厂巧G)dz ,并且存在 ze(x,x+p)使得，f(x+p) = f(x)+Vf(z)1 p 下而我们给我这个引理的证明过程，主要思想是把多变量函数转化为单变疑函数，然后 利用我们已知的单变量函数微积分的性质来证明多变量函数微积分的性质。证明：首先在点X到点X+P的连线上对函数/进行参数化，转变成单变量函数g。龙义x(t) = x + tp, g:R R、g(/) = f(x + tp) o 由链式法则，对于 VO 1,帥喀喘W)呼=x(a)P= f(x+ap)p.因为乞凹(兀)
6、=1曲2)= )= g，(o),所以令a = 0,我们就可以得到 dp z t-(x)=v/(xy Pa由单变量函数的牛顿左理我们可知，g(i) = g(0) + J；g(/M/。根据前而对函数g的泄 义，上式也可以写成f(x+p) = f(x) + Vf(x+tp) pdt o这就得到我们所要的证明。最 后，由单变量函数的积分中值泄理J；g(/)/ = g(),*(O,l),根据函数g的定义，我们可以写成 f(x+p) = /(xy + Vfx+p)1 p, e(0,l)o 对Vf(x+tp) pdt 进行变量 替换 z = x+tp 可得 V/(x + /p) pdt = Pf (z)dz
7、 ,从而得证。函数/: R” 一 R的微积分性质下而给出多变量函数二次可微的定义，并进一步给出函数f的Hessian矩阵的定义。泄义2：连续可微函数/：/? R,如果i,jn存在并且连续，dxldxj则称函数/：/? R在点x上二次连续可微；泄义一个nxn矩阵，苴中第,J元素为V2/(xY =-(x), i,jn,则称这个矩阵为函数/的Hessian矩阵。dxidxj如果函数f在开区域D u R上每一点连续可微，则称函数/在开区域D u R连续可微， 记作/eC2()o类似的我们给出关于多变量函数/的二阶连续可微的一个引理。引理2：设函数/：/? R在开凸集DuR“二次连续可微，则对于xeD以
8、及任意一个非零扰动P e Rn ,则函数/在点x在方向”上的二阶方向导数并且等于PfMp对于对于Px、x+ p 已D、存在 使得 f(x+p) = f (A)+ Vf(x)7 p + l/v2/(z)/? o立理的证明过程与一阶连续可微情况的证明过程类似。从Hessian矩阵的定义可知，只要函 数f是二次连续可微的，那么Hessian矩阵是对称的。函数F ： RJ肥的微积分性质我们进一步考虑更复杂的情况，也就是从疋空间到/T空间的函数，设函数r (叫(爪召宀，兀) F:RJ Rm,o其中，非线性联立方具体可以写成F(x)= = ,有 F(x +/?) 一 F(x) = J (x + tp)dt
9、 三 J F(z“z。上式可以写成如下中值左理的形式：因此，我们主要介绍了三种函数，从RtR的函数、从R” R的函数以及从 RJR”的函数的可微性质。3不动点迭代法把方程组F(x) = 0改写成与之等价的形式：x = Gx) o其中G： DuR” 若xeD满足/=G(/),则称F为函数G(x)的不动点。因此G(x)的不动点就是方程组 F(x) = 0的解，求方程组F(x) = 0的解就转化为求函数的G(x)的不动点。适当选取初始向SA-,构成迭代公式S=G(卅),k = 0,l,2,迭代公式也 称为求解方程组F(a) = 0的简单迭代法，又称不动点迭代法。G(x)称为迭代函数。 定理1 (压缩
10、映射原理)设G： D u RJ R”在闭域DuD上满足条件：(1)G把映入它自身，即G(D) u D。：(2)G在0)上是压缩映射，即存在常数厶已(0,1),使对任意的x,yeD0,|G(A：)-G(y)| ,卜 j卜占眉. 证明：由于x0) e D()以及条件 可知序列x)uq,又由条件(2)可得卜3“纠制GC) G(尹)|鬥一严“卜.V引*,一少| 当m 1时有m m卜E”) _严卜之严“ _严i卜卜-严|f-1 1-1i 一厶TL(1)因为0 V厶1,所以当ks时，上式的最后一项是无穷小量，由Cauchy收敛原理，序列x(k在/?中收敛，又由9)是闭区域xk的极限尹已D。,由条件(2)知
11、,G(x)在q上连续，因而/ = limx(n = limG(V) = G(x),即/是方程组kfg 衣 TOCF(x) = 0 的解。设x/eD0是F(x) = O的两个不同的解，则有|/ /| = |G(/)-G(/)|l|V-/|Z一刃，这表明x是F(x) = 0在内的唯一解。 让加T 8 ,得卜.一严| 上_卜一绷1, h 1 Linmr-1恃II八严卜占I鬥说明：(1)简单迭代法的精度控制与终止条件(2)由S厶知简单迭代法是线性收敛的:(3)对线性方程组迭代函数GM = Bx + d,有L=|B|、) 4=llA(x-f)Lllk-話卜-y|L立理2 (局部收敛左理)设G Z)r,V
12、eint(r)是方程组F(x) = 0的解,在F 可微。若G3谱半径Q(G3)vl，贝IJ存在开球D(=x|x-/|oj,对任取的 x(0) e D,由迭代公式严“ =G(xa,), g 0,1,2.产生序列_?綁u Q收敛于%*。下而我们给出一个例子，通过来求函数G(x)的不动点来解非线性方程组。例2用简单迭代法求解以下方程3xt - cosXj -sinx2 =04x2 - sin x 一 cos x2=0f-严“|要求满足精度e(k)=, 履 10 -(cos X| +sinx2)3(sin x, + cos x2) 则方程组可以改写成x = G(x),并且对于任意的X e Ry e R
13、2,| - (cos x - cos y + sin x2 - sin ) |G(x)-G(y)|=: 1 益 1 .其中，A =刍 -cosf21 17cos77i -sin/h4 4因此，任取初始向Sx) ZA+I = 土 (sin X, “ + cos X? J计算结果:k-V：心）0120 4262728参考文献：1李庆杨，关治，白峰杉.数值计算原理M.淸华大学出版社.2000;李庆杨，王能超，易大义数值分析M.武汉：华中理工大学出版社，1986.黄象鼎，曾钟钢，马亚男非线性数值分析的理论与方法M.武汉：武汉大学出版社，2004.4曾金平，李湘良.数值讣算方法M.长沙：湖南大学出版社，2004.5马吕凤，林伟川.现代数值计算方法M.北京:科学教育出版社,2008.王徳人非线性方程组解法与最优化方法。人民教育岀版社，19797林成森.数值计算方法（第二版）M.北京：科学出版社，2005.
