不动点迭代法求解非线性方程组.docx
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不动点迭代法求解非线性方程组
不动点迭代法求解非线性方程组
摘要:
一般非线性方程组可以写成F(x)=0的形式,其中F:
R”tR"是泄义在区域DuR”上的向量函数。
把方程组F(x)=0改写成与之等价的形式:
a-=G(x)0因此,求方程组F(x)=0的解就转化为求函数的G(x)的不动点。
本文首先介绍了多变量函数F(x)的微积分性质,接着介绍了用不动点迭代法求解非线性方程组。
关键词:
多变量函数:
微积分;不动点
FixedPointIterationMethodForSolvingNonlinearEquations
Abstract:
GeneralnonlinearequationscanbewrittenintheformofF(x)=01wherethevectorfunctionF:
R"RmisdefinedontheregionDuR"・TransformtheequationsF(x)=0intoitsequivalentform:
x=G(x).Therefore,wecangetthesolutionofF(x)=0byfindingthefixedpointofG(x)」nthispaper;wefirstintroducesomeknowledgeaboutmultivariablecalculus,thenintroducethefixedpointiterationmethodforsolvingnonlinearequations.
Keywords:
multi-variablefunction;calculus;fixedpoint
1引言
一般非线性方程组及苴向量表示法:
含有"个方程的〃元非线性方程组的一般形式为
fl(xl9x2...9xn)=O
f2(xrx2...9xn)=O
<
(1)
fm(xl9x2...tx„)=0
其中,/(/=1,2,…,n)是泄义在DuR"上的"元实值函数,且(中至少有一个是非线性
函数。
令兀=
f\
*
•••
,F(x)=
•••
则方程组可以表示为F(x)=0
(2)
其中F:
RJR"是定义在区域DuR”上的向量函数。
若存在x^D,使F(x)=0,则称F是方程组
(1)或
(2)的解。
把方程组F(a)=0改写成与之等价的形式:
x=G(x)
其中G:
DuR”tR"°若/eD满足x=G(x),则称/为函数G(x)的不动点。
因此G(x)的不动点就是方程组F(a)=0的解,求方程组F(Q=0的解就转化为求函数的G(x)的不动点。
适当选取初始向量x⑹eD,构成迭代公式xlk+l)=G(x(k)\k=0,1,2,...迭代公式也称为求解方程组F(a)=0的简单迭代法,又称不动点迭代法。
G(x)称为迭代函数。
由于F是多变虽函数,所以我们先考虑多变量函数的微积分性质。
2多变量函数的微积分性质
在之前我们已经学习过很多关于单变量函数的微积分的性质,由于解非线性方程组经常用到的是多变量函数的相关性质,因此我们考虑多变量函数的微枳分性质。
相对于单变量函数的微积分的性质,多变量函数的微积分性质一些是类似的,一些是不同的。
相对于单变量函数的可微的左义,我们事先给出多变量函数的可微左义。
函数广尺"一R">\的微积分性质
设函数多变量函数/:
/?
”——R,n>\.我们首先考虑当/是连续的函数的情况,如果/关于"个变量的偏导数都存在并且连续,把这〃个偏导数组成一个〃维向量,则我们把
这个允维向量称作多变量函数/的梯度。
泄义1:
连续可微函数/:
尺”
r=l.・・・M:
存在并且连续,则
为函数/在点
称函数/•在点xeR”上连续可微,并且称V/-(a)=—(-^),…,—(X)L去idxn
xeRn的梯度。
如果函数/在开区域DuR“上每一点连续可微,则称函数/在开区域Du/T连续可
微,记作/eC*(£>)o
下而我们给岀关于多变量函数/的梯度的一些性质:
引理1设/:
R"——R在开凸集Du/T连续可微,则对于xeD以及任意一个非零扰动peR",则函数/•在点x在方向"上的方向导数定义为
(a-)=-/(A+^)-/(A>存在并且等于po对于Px、x+p已D,
f^+P)=/U)+£'巧(X+炉丫pdt三/(A)+厂"巧G)dz,并且存在ze(x,x+p)使得,f(x+p)=f(x)+Vf(z)1p°
下而我们给我这个引理的证明过程,主要思想是把多变量函数转化为单变疑函数,然后利用我们已知的单变量函数微积分的性质来证明多变量函数微积分的性质。
证明:
首先在点X到点X+P的连线上对函数/进行参数化,转变成单变量函数g。
龙义
x(t)=x+tp,g:
R—R、g(/)=f(x+tp)o由链式法则,对于VO<<1,
帥喀喘W)呼⑷=
x(a))・P
=^f(x+ap)p.
因为乞凹(兀)=1曲2)="))=g,(o),所以令a=0,我们就可以得到dpzt
^-(x)=v/(xyPa
由单变量函数的牛顿左理我们可知,g(i)=g(0)+J;g'(/M/。
根据前而对函数g的泄义,上式也可以写成f(x+p)=f(x)+^Vf(x+tp)pdto这就得到我们所要的证明。
最后,由单变量函数的积分中值泄理J;g'(/)〃/=g'(§),*(O,l),根据函数g的定义,我们
可以写成f(x+p)=/(xy+Vf^x+^p)1p,<^e(0,l)o对^Vf(x+tp)pdt进行变量替换z=x+tp»可得£V/(x+/p)pdt=\'Pf(z)dz,从而得证。
函数/:
R”一R的微积分性质
下而给出多变量函数二次可微的定义,并进一步给出函数f的Hessian矩阵的定义。
泄义2:
连续可微函数/:
/?
"—R,如果\
dxldxj
则称函数/:
/?
"——R在点x上二次连续可微;泄义一个nxn矩阵,苴中第,J元素为
V2/(xY=-^-(x),\
dxidxj
如果函数f在开区域DuR"上每一点连续可微,则称函数/在开区域DuR"连续可微,记作/eC2(£))o
类似的我们给出关于多变量函数/的二阶连续可微的一个引理。
引理2:
设函数/:
/?
〃——R在开凸集DuR“二次连续可微,则对于xeD以及任
意一个非零扰动PeRn,则函数/在点x在方向”上的二阶方向导数
并且等于P^fMp
对于对于
Px、x+p已D、存在使得f(x+p)=f(A)+Vf(x)7p+l//v2/(z)/?
o
立理的证明过程与一阶连续可微情况的证明过程类似。
从Hessian矩阵的定义可知,只要函数f是二次连续可微的,那么Hessian矩阵是对称的。
函数F:
RJ肥的微积分性质
我们进一步考虑更复杂的情况,也就是从疋空间到/T空间的函数,设函数
r(叫(爪召宀…,兀)
■•
F:
RJRm,
o其中,非线性联立方
具体可以写成F(x)=・=
程问题是m=n的情况;非线性最小二乘问题是m^n的情况。 下面我们给出函数F的相 关可微性质: 定义3连续函数F: R”tRJ如果每一个部分函数=在点XeRm连续可微,则称函数F在点xeRm连续可微。 函数F在点兀的导数叫作F在点%的Jacobian矩阵,它 的转置叫作F在点兀的梯度。 通常的表示为F\x)eR,nxn,F(xV=|^(x),GX. F(x)=J(x)=VF(x)\ 如果F在开区域Du/r上每一点连续可微,则称函数F在开区域DuRn连续可微,记作FeC*(£))a 用下而一个例子来具体说明这个立义。 例]设F: R2—r2,f^x)=e^-x29f2(x)=x[-2x2. 下而我们研究单实值函数和向量值函数不同方面,对于实值函数存在中值左理,而对于向量值函数,中值左理不一宦成立。 也就是说,不一泄存在zer,使得 F(x+p)=FM+J(z)po直观上来看,尽管每个函数/;满足 /(x+〃)=/;(x)+Y/;(zj'/儿但是点乙是不同的。 以上面例子中的函数来考虑, 不存在zwRJ使得F(1J)=F(0,0)+丿⑵(1,1卩。 =e—1并且2石=1,这是不可能的,所以 尽管标准的中值定理是不可能的,我们给岀一个近似的中值定理,主要是利用牛顿泄理和线性积分的三角不等式。 英中,单变量向量值函数的积分可以理解为对每一个部分函数进行黎曼积分。 引理3: 设F: R”tR"在开凸集DuR"上连续可微,对于Vx,A-+/7er>,有F(x+/? )一F(x)=£J(x+tp)dt三JF(z“z。 上式可以写成如下中值左理的形式: 因此,我们主要介绍了三种函数,从RtR的函数、从R”—R的函数以及从RJR”'的函数的可微性质。 3不动点迭代法 把方程组F(x)=0改写成与之等价的形式: x=G{x)o其中G: DuR”若 xeD满足/=G(/),则称F为函数G(x)的不动点。 因此G(x)的不动点就是方程组F(x)=0的解,求方程组F(x)=0的解就转化为求函数的G(x)的不动点。 适当选取初始向SA-<0)er>,构成迭代公式"S=G(卅>),k=0,l,2,…迭代公式也称为求解方程组F(a)=0的简单迭代法,又称不动点迭代法。 G(x)称为迭代函数。 定理1(压缩映射原理)设G: DuRJR”在闭域D°uD上满足条件: (1)G把映入它自身,即G(D°)uD。 : (2)G在0)上是压缩映射,即存在常数厶已(0,1),使对任意的x,yeD0, ||G(A: )-G(y)|| 则以下结论成立: ⑴对任取的x(0)eZ)o,由迭代公式严—G(严),—0,1,2,...产生的序列{H}uD() 收敛于函数G(x)在区域D()内存在唯一的不动点F: (2)成立误差估计式卩-尹卜刍卜⑴-*°>|,卜j⑴卜占眉.证明: 由于x'0)eD()以及条件⑴可知序列{x")}uq,又由条件 (2)可得 卜3“纠制GC®)—G(尹)||"|鬥一严“卜..V引*,>一少||当m>1时有 mm 卜E”)_严卜之严“_严i卜卜⑴-严|| f-11-1 i一厶 T^L (1) 因为0V厶<1,所以当k—s时,上式的最后一项是无穷小量,由Cauchy收敛原理,序列 {x(k}}在/? "中收敛,又由9)是闭区域{x{k}}的极限尹已D。 由条件 (2)知, G(x)在q上连续,因而/=limx(^n=limG(V^)=G(x),即/是方程组 kfg衣TOC F(x)=0的解。 设x\/eD0是F(x)=O的两个不同的解,则有 ||/—/||=||G(/)-G(/)|| 让加T8,得卜.一严||<上_卜⑴一绷 1,h1—L in m r-1 恃II八严卜占I鬥 说明: (1)简单迭代法的精度控制与终止条件 (2)由 S厶知简单迭代法是线性收敛的: (3)对线性方程组迭代函数GM=Bx+d,有L=||B||<1; GM= —(sinxx一siny-,+cosx-,一cos>、)\4 =llA(x->f)L>ll 話卜-y|L 立理2(局部收敛左理)设GZ)<=/? n->r,Veint(r))是方程组F(x)=0的解,在F可微。 若G3谱半径Q(G3)vl,贝IJ存在开球D(>={x|||x-/|| 綁uQ收敛于%*。 下而我们给出一个例子,通过来求函数G(x)的不动点来解非线性方程组。 例2用简单迭代法求解以下方程 3xt-cosXj-sinx2=0 < 4x2-sinx}一cosx2=0 f-严“|| 要求满足精度e(k)="",履<10"-(cosX|+sinx2) 3 —(sinx,+cosx2)则方程组可以改写成x=G(x),并且对于任意的XeR\yeR2, |-(cosx}-cosy}+sinx2-sin)||G(x)-G(y)||=: " 1•益1. 其中,A= 刍-cos 11・ 7cos77i-~sin/h 44 因此,任取初始向Sx<0)e/? 简单迭代法产生序列{/")}收敛于原方程组的唯一解。 迭代公式 x;A+l1=*(cosx;;1+sinxJ>)ZA+I'=土(sinX,“'+cosX? 'J 计算结果: k -V: 心) 0 1 2 0・ ••• 4 26 27 28 参考文献: [1]李庆杨,关治,白峰杉.数值计算原理[M].淸华大学出版社.2000; ⑵李庆杨,王能超,易大义•数值分析[M].武汉: 华中理工大学出版社,1986. ⑶黄象鼎,曾钟钢,马亚男•非线性数值分析的理论与方法[M].武汉: 武汉大学出版社,2004. [4]曾金平,李湘良.数值讣算方法[M].长沙: 湖南大学出版社,2004. [5]马吕凤,林伟川.现代数值计算方法[M].北京: 科学教育出版社,2008. ⑹王徳人•非线性方程组解法与最优化方法。 人民教育岀版社,1979 [7]林成森.数值计算方法(第二版)[M].北京: 科学出版社,2005.
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- 不动 迭代法 求解 非线性 方程组