1、由于q是假命题，所以，q 为假命题，pq为真命题。 （13）pq，其中，p:4是奇数，由于q是假命题，所以，pq 为假命题。 （14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析 命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不 能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 13 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 （1）pq （2）p?q （3）?pq （4）?p? （5）p? （6）p? （7）? （8）?p? 以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假
2、命题。 分析 本题要求读者记住pq及p?q的真值情况。pq为假当且仅当 p为真,q为假,而p?q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题， 在4个蕴含式中，只有（2）pr，其中，p同（1），r：明天为3号。 在这里，当p为真时，r一定为假，pr为假，当p为假时，无论r为真 还是为假，pr为真。 2 15 （1）pq，其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。 （2）pq，其中，p：小王聪明，q：小王用功 （3）pq，其中，p：天气冷，q：老王来了 （4）pq，其中，p：他吃饭，q：他看电视 （5）pq，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班 （6）pq，其中，p，q的含义同（
3、5） （7）pq，其中，p，q的含义同（5）q，其中，p：经一事，q：长一智 这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结 词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但 聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：他一边吃饭， q：他一边 看电视。 关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。 pq所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要 条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p， 就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则?p”“没有q，就没有p”等都表 达了q是p的必要条件，因而都符号
4、化为pq或?q的蕴含式。 在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为pq，而在（6）（7）中， p成了q的必要条件，因而符号化为qp。 在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符 号化为蕴含式。 16 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。 3 001，?，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式p（qr）的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。 1.7（1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。 一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（
5、主合取范式）法等判断公式的类型。 （1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。 真值表法 表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。 pqr p（pqr） p q r 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 等值演算法 p（pqr） ?p（ppr）（蕴含等值式）（?pp）pr（结合律）1qr（排中律）1 （零律） 4【篇二：离散数学最全课后答案（屈婉玲版）】略 1.3略 1.4略 1.5略 1.6略 1.7略 1.8略 1.9略 1.
6、10 略 1.11 略 1.12 将下列命题符号化,并给出各命题的真值: （1）2+24当且仅当3+36.（2）2+2 4的充要条件是3+3?6.（3）2+2?4与 3+36互为充要条件.（4）若2+2?4, 则 3+3?6,反之亦然. （1）p?q,其中,p: 2+24,q: 3+36, 真值为 1.（2）p?2+24,q:3+36,真值为0.3+36,真值为 0.（4）?3+36,真值为1. 1.13 将下列命题符号化, 并给出各命题的真 值:（1）若今天是星期一,则明天是星期二.（2）只有 今天是星期一,明天才是星期二.（3）今天是星期 一当且仅当明天是星期二. （4）若今天是星期一,
7、则明天是星期三. 令p: 今天是星期一;q:明天是星期二;r:明天是星期三.（1） p?q ?1. （2） q?p ? （3） p?q? （4）p?r当p ?0时为真; p ?1时为假. 1.14 将下列命题符号化. （1） 刘晓月跑得快,跳得高.（2） 老王是山东人或河北人. （3）因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. （4）王欢与李乐组成一个小 组. （5）李辛与李末是兄弟. （6）王强与刘威都学过法语. （7）他一面吃 饭, 一面听音乐. （8）如果天下大雨,他就乘 班车上班.（9）只有天下大雨,他才乘班车上 班.（10）除非天下大雨,他才乘班车上班.（11） 下雪路滑, 他迟到了. （12
8、）2与4都是素数,这是不对的. （13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.（1）p?q,其中, p:刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得 高.（2）p?老王是山东人, q: 老王是河北 人.（3）p?q, 其中,p:天气冷, q:我穿了羽绒服. （4）p, 其中,p:王欢与李乐组成一个小组,是简单命题.（5）p, 其中,p:李辛与李末是兄弟.王强学过法语, q: 刘威学过法语.（7）p?q, 其中, p:他吃饭,q:他听音乐. （8）p?天下大雨, q:他乘班车上班. （9）p?他乘班车上班, q: 天下大雨.（10）p? 他乘班车上班,q:天下大雨.（11）p? 下雪路滑, q:他迟到了.
9、12）?（p?q）或?2是素数,q:4是素 数.（13）?q）或p?2 是素数,q:4是素数. 1.15 设p:2+3=5. q: 大熊猫产在中 国.r: 复旦大学在广州. 求下列复合命题的真值: （1）（p?q）?r（2）（r?（q）?p（3）?r?r） （4）（p?r）?（? （1）真值为0. （2）真值为0. （3）真值为0. （4）真值为1. 注意:p, q是真命题,r是假命题. 1.16 1.17 1.18 1.19 略 略 略 用真值表判断下列公式的类 型: （2）（p?（q?rp） （5）（p?q）（6）（p?q）r）?r）（7）（p?（r?s）（1）, （4）,（6）为重言式.
10、 （3）为矛盾式. （2）, （5）,（7）为可满足式. 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 将下列命题符号化,并给出各命题的真（1）若3+4,则地球是静止不动的. （2）若3+24,则地球是运动不止的. （3）若地球 上没有树木,则人类不能生存. （4）若地球上没有水,则3是无理数.地球静止不动,真值为0.（2）p?地球运动不止,真值为1.地球上有树木,q:人类能生存,真值为 1.（4）?地球上有水,q: 3 是无理数,真值为1. 2.1.设公式a=p?q,b=p?
11、q,用真值表验证公式a和b适合德摩根律:（a?b）?a?b. 因为?b）和?b的真值表相同,所以它们等值. 2.2. 略 2.3. 用等值演算法判断下列公式的类型, 对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋 值.（1）? （3）（p? （1）?0?0.矛盾式.（2）重言式. （3） （p?r易见,是可满足式,但不是重言式.成真赋值为:000,001, 101, 111 2.4.用等值演算法证明下面等值 式: （1） （p?1?p.（3）?（p（p?p）p）?q） ? 2.5.求下列公式的主析取范式,并求成真赋（1）（? （2）?r） ? （1）（?p（吸收律）?m10?m00?m11?m
12、10m0?m2?m3（0, 2,3）. 成真赋值为00,10, 11. （2）主析取范式为0, 无成真赋值,为矛盾式.（3）m0?m1?m3?m4?m5?m6?m7,为重言式. 2.6.求下列公式的主合取范式, 并求成假赋（1）?p （1） ? 这是矛盾式.成假赋值为00, 01,10,11. （2）m4,成假赋值为100. （3）主合取范式为1, 为重言式.【篇三：屈婉玲版离散数学课后习题答案【4】txt4判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合z和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合错误！未找到引用源。普通的除法运算。不封闭 （
13、3） 全体n?n实矩阵集合错误！（r）和矩阵加法及乘法运算，其中 n错误！2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n错误！ 2。 （5）正实数集合错误！和错误！运算，其中错误！运算定义为： 错误！ 不封闭 因为 1? （6）n错误！关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）a = a1,a2,?,an 错误！n错误！运算定义如下： 封
14、闭 不满足交换律，满足结合律， （8）s = 错误！ 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）s = 0,1,s是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）s = 错误！ ,s关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 7 设 * 为z?错误！上的二元运算?x,y?z? x * y = min （ x，y ）,即x和y之中较小的数. （1）求4 * 6，7 * 3。 4,3 （2）* 在z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结
15、合律，和幂等律 （3）求*运算的单位元，零元及z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元 8s? q为有理数集，*为s上的二元运算，错误！a,b,x,y 错误！s有 a，b *x，y = ax，ay + b （1）*运算在s上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：x,y*a,b = xa，xb +y? a，b *x，y 可结合：（a,b *x,y）*c,d=ax，ay + b*c,d=axc，axd +（ay+b） a,b *（x,y*c,d）=a, b*xc,xd+y=axc，a（xd +y）+b （a,b *x,y）*c,d=a,b *（x,y*c,d） 不是幂
16、等的 （2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求s中所有可逆元素的逆元。 设a,b是单位元，错误！x,y 错误！s ，a,b *x,y= x,y*a,b =x,y 则ax,ay+b=xa,xb+y=x,y，解的a,b=1,0，即为单位。 设a,b是零元，错误！s ，a,b *x,y= x,y*a,b =a,b 则ax,ay+b=xa,xb+y=a,b，无解。即无零元。s，设a,b是它的逆元a,b *x,y= x,y*a,b =1,0 ax,ay+b=xa,xb+y=1,0 a=1/x,b=-y/x 所以当x?0时，?1 x,?y x 10令s=a，b，s上有四个运算：*，错误！分别有
17、表10.8确定。 （a） （b） （c） （d） （1）这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ （a） 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； （b）满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元 a?a,b?b （c）满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律（b?b）b,?b（a?b?a 没有单位元, 没有零元 （d） 不满足交换律，满足结合律和幂等律 （2）求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上 16设v= n，+ ，错误！，其中+ ，错误！分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成v的子代数，为什么？ （1）s1=错误！
18、是（2）s2=错误！不是 加法不封闭 （3）s3 = -1，0，1 不是，加法不封闭 第十一章部分课后习题参考答案 8.设s=0，1，2，3，为模4乘法，即 y=（xy）mod 4?x,ys,x 问s，是否构成群？为什么？s解：（1） ?x,ys,x,是s上的代数运算。 （2） ?x,y,zs,设xy=4k+r 0 （xy）z =（xy）mod 4）?3 z=rz=（rz）mod 4 =（4kz+rz）mod 4=（4k+r）z）mod 4 =（xyz）mod 4 同理x（yz） =（xyz）mod 4 y）z = x1）=（1（yz），结合律成立。 所以，（x（3） ?xs, （x（4）1?
19、1,3?1x）=x,，所以1是单位元。3, 0和2没有逆元 所以，s， 不构成群 9.设z为整数集合，在z上定义二元运算。如下：x,yz,xoy= x+y-2 问z关于o运算能否构成群？ 解：x,yz, xoy= x+y-2?x,y,zz, （xoy） oz =（x+y-2）oz=（x+y-2）+z-2=x+y+z-4 同理（xoy）oz= xo（yoz），结合律成立。 （3）设e是单位元，?xz, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 （4） ?xz , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x?y?4?xz,o是z上的代数
20、运算。 所以z，o构成群 11.设?1g=?00?,1?,?，证明g关于矩阵乘法构成一个群x,yg, 易知xyg,乘法是z上的代数运算。 （2） 矩阵乘法满足结合律 （3）设?是单位元， （4）每个矩阵的逆元都是自己。 所以g关于矩阵乘法构成一个群 14.设g为群，且存在ag,使得 g=akkz 证明：g是交换群。 证明:x,yg，设x xy?aa?aklk?l?a,l?kky?aall，则 ?yx?ak 所以，g是交换群 17.设g为群，证明e为g中唯一的幂等元。设e0 18.设g为群，a,b,cg,证明 abc=bca=cab先证设（abc 设（abc）k?g也是幂等元，则e02?e0，即e02?e0e，由消去律知e0?e ）k?e?（bca）k?e ?e,则（abc）（abc）（abc）?（abc）?e， a（bc）（abc）（abc）a?（bc）aa?1即?e 左边同乘a?1，右边同乘a得 （bca）（bca）（bca）?（bca）?（bac） kkk?1ea?e反过来，设（bac）?e,则（abc）?e. 由元素阶的定义知，abc=bca，同理bca=cab
