1、3.1.2圆的对称性（二）,杜堂镇中学,二、垂径定理：,一、圆是轴对称图形，其对称轴是,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,三、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题,任意一条过圆心的直线（或直径所在直线）,复习,E,A,B,O,弦的一半,半径,弦心距,弦的一半2+弦心距2=半径2,要求弦,只需求弦的一半,常作垂直于弦的半径,构成直角三角形.,要求半径,常作弦心距,构成直角三角形.,1、在O中，OC垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则AC=，OC=。,5,8,4,3,2.如图，在O中，CD是直径，AB是弦，且CDAB，已知CD=20，CM=4，求
2、AB。,解：连接OA,在O中，直径CD弦AB,AB=2AM,OMA是Rt,CD=20,AO=CO=10,OM=OC CM=10 4=6,在Rt OMA中，AO=10，OM=6,根据勾股定理，得：,AB=2AM=2 x 8=16,3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。,4.一弓形铁片，测得切口AB112mm，高为32mm，请你计算所在圆的半径,5.已知O的直径是10cm,O的两条平行弦AB=6cm,CD=8cm,求弦AB与CD之间的距离。,3,4,5,5,4,3,EF有两解：4+3=7cm,4-3=1cm,6.储油罐的截面直径为650mm，装入一些油后，测得油
3、面的宽度AB600mm，求油的深度,A,D,O,E,C,B,7.如图,ABC内接于O,ADBC于 D,AE平分OAD交O于E,求证:CE=BE,8.如图,矩形ABCD与O交于点A、B、E、F,DE=1,EF=3,则AB=_.,F,E,D,C,B,A,O,9.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,复习：,在O中，CD是直径,AP=BP，,垂直于弦的直径,平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧。,(垂径定理),A,P,你可以写出相应的命题吗?,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CD
4、AB,垂 径 定 理 的 逆 定 理,CDAB,AB是O的一条弦,且AP=BP.,过点P作直径CD.,由 CD是直径,AP=BP,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,垂 径 定 理 的 逆 定 理,垂 径 定 理 的 逆 定 理,弦,（不是直径）,并且平分弦所对的弧,平分,的直径,垂直于弦，,?!,CDAB,垂径定理的逆定理,AB是O的一条弦,且AP=BP.,过点P作直径CD.,由 CD是直径,AP=BP,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,练：在O中，OC平分弦AB，AB=16，OA=10，则OCA=，OC=。,16,10,90,6,由
5、CDAB,垂径定理的逆定理,AB是O的一条弦,且AP=BP.,过点P作直径CD.,AP=BP,CD是直径,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,推论1:(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧
6、.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,CD是直径,AM=BM,CDAB,如图,O直径CD与弦AB(非直径)交于点M,添加一个条件:_，就可得到点M是AB的中点.,拓展,如图，AB,CD是O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？,圆的两条平行弦所夹的弧相等,垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,圆的
7、两条平行弦所夹的弧相等.,垂径定理的推论,例1.判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,练习,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,2.
8、已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.,3.平分已知AB,C,D,A,B,E,例：平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：,连结AB.,作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,求作：弧AB的中点,C,D,A,B,E,F,G,变式一：求弧AB的四等分点。,m,n,C,D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。,作AB的垂直平分线CD。,作ATBT的垂直 平分线EFGH,C,A,B,E,变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？,m,n,D,C,
9、A,B,E,m,n,O,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,5.如图，已知O的半径r=5cm，弦AB=6cm，D是AB的中点，求弦BD,D,6.如图,AB、AC为弦,OMAB于M,ONAC于N,BC=4,求MN的长,A,C,O,M,N,B,7.O1与O2相交于A、B两点，过点A作O1O2的平行线,与两圆相交于点C、D,试猜想CD与O1O2的关系.,M,N,8.如图,AB是O的直径,CD是O的弦,MCCD,NDCD,
10、分别交AB于M、N,AM与BN大小怎样?,C,D,O,A,B,N,M,L,L,10.如图,点A是半圆上的三等分点,B是弧AN的中点,P是直径MN上一动点,圆O的半径是1,问AP+PB的最小值.,A,B,P,M,N,O,11.将一直径为17cm的圆形纸片(图)剪成如图所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图)纸盒,则这样的纸盒体积最大为_cm3.,8.5,X,4X,12.已知等腰ABC的三个顶点都在半径为5的O上,如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为_.,A,B,C,O,13.如图,有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,A,E,B,M,F,N,H,3.6,X,思考题,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,小结,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,垂径定理的逆定理,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,
