1、函数的应用单元质量评估三单元质量评估(三)第三章 (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若函数y=f(x)在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )(A)若f(a)f(b)0,不存在实数c(a,b)使得f(c)=0(B)若f(a)f(b)0,存在且只存在一个实数c(a,b)使得f(c)=0(C)若f(a)f(b)0,有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0(D)若f(a)f(b)0,有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)=02.(2012福州高一检测)已知f(x)=2x2-
2、2x,则在下列区间中,方程f(x)=0一定有实数解的是( )(A)(-3,-2) (B)(-1,0)(C)(2,3) (D)(4,5)3.已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面说法错误的是( )(A)函数f(x)在(1,2)或2,3内有零点(B)函数f(x)在(3,5)内无零点(C)函数f(x)在(2,5)内有零点(D)函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2 000元降到1 280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )(A)10% (B)15% (C)18% (D)20%5.下列方程在区
3、间(0,1)内存在实数解的是( )(A)x2+x-3=0 (B) x+1=0(C) x+lnx=0 (D)x2-lgx=06.某工厂2011年生产某种产品2万件,计划从2012年开始每年比上一年增产20%,从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件( )(A)2019年 (B)2020年 (C)2018年 (D)2021年7.函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)的零点个数为( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个8.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量与溶液深度h的函数图象是( )9.(易错题)若方程ax-x-a=0有两个解,则a的取值范
4、围是( )(A)(1,+) (B)(0,1)(C)(0,+) (D)10(2012仙游高一检测)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=ex-1 (D)f(x)=ln(x-)11.(2012郑州高一检测) 函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )(A)(-,-2) (B)(-2,-1)(C)(1,2) (D)(2,)12.(2012杭州高一检测)甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1v2),甲前一半的路程使用速
5、度v1,后一半的路程使用速度v2;乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点),则其中可能正确的图示分析为( )(A)(1) (B)(2) (C)(3) (D)(4)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上)13函数f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(4-x),若方程f(x)=0恰有两个不同的实根,则这两个根的和是_.14(2012温州高一检测)溶液的酸碱度是通过pH值刻画的.pH值的计算公式为pH
6、=-lgH+,H+表示溶液中氢离子的浓度,单位是mol/L.若溶液的氢离子的浓度为5-10mol/L,则该溶液的pH值约为_.(lg20.3)15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)内,kZ,则k=_.16.(易错题)定义在R上的偶函数y=f(x),当x0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)f(2)0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是_.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2012临沂高一检测)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2,(1)求f(x);(2)当函数f
7、(x)的定义域为0,1时,求其值域.18(12分)已知函数f(x)图象是连续的,有如下表格,x2-1.510.500.511.52f (x)3.511.022.371.560.381.232.773.454.89判断函数在哪几个区间上一定有零点.19.(12分)某电器公司生产A种型号的家庭电脑.2007年平均每台电脑的成本5 000元,并以纯利润20%标定出厂价.2008年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低.2011年平均每台电脑出厂价仅是2007年出厂价的80%,但纯利润达到了50%,(1)求2011年的每台电脑成本;(2)以2007年的生产成本为基数,用二
8、分法求2007年至2011年生产成本平均每年降低的百分率.(精确度为0.005)20.(12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.21.(12分)(2012陕西师大附中高一检测)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止,森林面积为,(1)求p%的值;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?22.(12分)(能力题)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),
9、定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润等于收入与成本之差.(1)求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);(2)求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值;(3)你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.答案解析1.【解析】选C.f(a)f(b)0时,存在实数c(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)0时,不一定存在实数c(a,b)使得f(c)=0.2.【解析】选B.f(-1)=2
10、-=0,f(0)=0-1=-10,在(-1,0)内方程f(x)=0一定有实数解.3.【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,4),(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.4.【解析】选D.由题意,可设平均每次价格降低的百分率为x,则有2 000(1-x)2=1 280,解得x=0.2或x=1.8(舍去),故D正确.5.【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1); x+1=0的实数解x=-2,不属
11、于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:6.【解析】选D.设经过x年这种产品的产量开始超过12万件,则2(1+20%)x12,即1.2x6,x9.8,取x=10,故选D.7.【解析】选D.函数f(x)共有4个零点.8.【解析】选A.注入溶液量随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.9.【解析】选A.画出y1=ax,y2=x+a的图象,知a1时成立.【变式训练】函数f(x)=|x|+k有两个零点,则( )(A)k=0 (B)k0(C)0k1 (D)k0【解析】选D.在同一坐标系中画出y1=|x|和y2=-k的图象:由图象知,-k0即k0.10.【解析】选A.
12、f(x)=4x-1的零点为x=,f(x)=(x-1)2的零点为x=1,f(x)=ex-1的零点为x=0,f(x)=ln(x-)的零点为x=.现在我们来估算g(x)=4x+2x-2的零点,因为g(0)=-1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又g()-0.0860,故g(x)的零点x(,).又函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f(x)=4x-1的零点适合,故选A.11.【解题指南】本题如果注意到定义域即可排除C、D选项,只用f(a)f(b)0去验证B选项即可得到答案.【解析】选B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-,0),所以C
13、,D不能选;又f(-2)f(-1)0,故零点在(-2,-1)内.12.【解析】选A.由题意可知,开始时,甲、乙速度均是v1,所以图象是重合的线段,由此排除(3)(4),再根据v1v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示(1)分析正确.13【解析】由f(4+x)=f(4-x)知此函数y=f(x)关于x=4对称,设f(x)=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=8.答案:814【解析】由题意得,若溶液的氢离子的浓度为5-10mol/L,则该溶液的pH值为pH=-lg5-10=10lg5=10(1-lg2)10(1-0.3)=7.答案:715.【解析】f(2)=lg
14、2-10,k=2.答案: 216.【解析】由f(1)f(2)0,x0时,y=f(x)是单调递减的,知y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:2【一题多解】本题也可以画出函数大致图象求解,如图:由图象知有两个零点.17.【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在0,1上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12.所以值域为12,18.18
15、【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f(-2)f(-1.5)0,f(-0.5)f(0)0,f(0)f(0.5)0,所以函数f(x)在区间(2,1.5),(0.5,0)以及(0,0.5)内一定有零点.19.【解析】(1)设2011年每台电脑的成本为p元,根据题意得p(1+50%)=5 000(1+20%)80%,得p=3 200.(2)设2007年至2011年平均每年降低的百分率为x,根据题意得5 000(1-x)4=3 200(0x1),令f(x)=5 000(1-x)4-3 200(0x1)作出对应值表x00.150.30.450.60.750.9f(x)1 8005902
16、 0002 7423 0723 1803 200观察上表,可知零点在(0,0.15)内,取其中点为x1=0.075,且f(0.075)460,再取区间(0.075,0.15)的中点x2=0.112 5,且f(0.112 5)-98,同理可取区间(0.075,0.112 5)的中点x3=0.093 75,且f(0.093 75)0,依此类推(0.093 75,0.112 5),(0.103 125,0.112 5),(0.103 125,0.107 812 5)内有零点.因为|0.107 812 5-0.103 125|0.005,故可取(0.103 125,0.107 812 5)内的任一值作
17、为近似值.不妨取0.103 125,故从2007年至2011年生产成本平均每年降低的百分率约为10.312 5%.20.【解题指南】设出解析式,利用根与系数的关系求出未知量.【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a0).由题意知:c=3, =2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则x12+x22=10,(x1+x2)2-2x1x2=10,(-)2-=10,16-=10,a=1.代入=2中,得b=-4.f(x)=x2-4x+3.21.【解析】(1)由题意得a(1-p%)10=,即(1-p%)10=,解得p%=1-.(2)设经过m年森林面积为a,则a(1-p%)m=a,即=,
18、 =,解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,以后砍了n年,则n年后森林面积为a(1-p%)n,令a(1-p%)na,即(1-p%)n,解得n15,故今后最多还能砍伐15年.22.【解析】(1)p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2 500x-4 000,x1,100,xN,Mp(x)=p(x+1)-p(x)=-20(x+1)2+ 2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x,x1,100,xN.(2)p(x)=-20(x-)2+74 125,x1,100,xN,故当x=62或63时,p(x)max=74 120(元).因为Mp(x)=2 480-40x为减函数,当x=1时有最大值2 440,故不具有相同的最大值.(3)边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台机器的利润差最大.