1、矩阵典型习题解析2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础， 而对于初学者来讲， 对于矩阵的理解 是尤为的重要； 许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难， 这也是因为对矩阵 所表示的内涵模糊的缘故。 其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系 的时候，我们才会发现， 原来用矩阵来表示这些 “繁琐”的事物来是多么的奇妙 ！ 于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单 !知识要点解析2.1.1矩阵的概念1矩阵的定义 由mn个数aij （i 1,2, ,m;j 1,2, , n）组成的 m行 n列的矩形数表a11 a12 a1nA a21 a22 a2nAam1 am2 am
2、n称为 mn矩阵，记为 A （aij ）m n2特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下 （上）的元素全为零的方阵称为上 （下） 三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为 E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3矩阵的相等设 A （aij ） mn; B （bij ）mn若 aij bij(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称 A与B相等，记为 A=B。2.1.2矩阵的运算1加法(1)定义：设 A (Aij)mn,B (bij)mn，则 C
3、 A B (aij bij )mn(2)运算规律1A+B=B+A； ( A+B) +C=A+( B+C) A+O=A A+(-A) =0， A是 A 的负矩阵 2数与矩阵的乘法(1)定义：设 A (aij )mn,k 为常数，则 kA (kaij )mn(2)运算规律 K (A+B) =KA+KB, ( K+L) A=KA+LA, (KL) A= K (LA)3矩阵的乘法(1)定义：设 A (aij)mn,B (bij )np.则 nAB C (Cij )mp,其中 Cij aik bkjk1(2)运算规律 (AB)C A(BC)； A(BC)AB AC (B C)ABACA3)方阵的幂定义：
4、A(aij )n，则 AkAKA运算规律：AmAn Amn(Am )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 AB BA AB 0, 不能推出 A 0或B 0; (AB)k Ak Bk4矩阵的转置(1)定义：设矩阵 A=(aij ) mn ，将 A的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 AT (aji )nm，(2)运算规律(AT)T A; (A B)T AT BT ；(kA)T KAT; (AB)T BT AT。（3）对称矩阵与反对称矩阵若 AT A, 则称 A为对称阵；AT A ，则称 A为反对称阵。5逆矩阵（1）定义：设 A为n阶方阵，若存在一个 n阶方阵 B，使得
5、AB=BA=，E则称A为可逆阵， B 为 A的逆矩阵，记作 B A 1。（2）A可逆的元素条件：A可逆 A 0（3）可逆阵的性质若A可逆，则 A-1也可逆，且 （ A-1 ） -1 =A； 若A可逆，k0，则kA可逆，且（kA） 1 1A 1； k若A可逆，则 AT也可逆，且 （AT） 1 （A 1）T；若 A，B 均可逆，则 AB也可逆，且 （AB） 1 B 1A 1。（4）伴随矩阵定义： A* （ Aij ）Tn ，其中 Aij为aij的代数余子式，2ii ) A* An 1；性质：i ) AA* A*A AE ；iii )(A*)* An 2A；2.1.方阵的行列式1定义：由 n阶方阵
6、A的元素构成的 n阶行列式（各元素的位置不变）叫 做方阵 A的行列式，记为 A或 detA。（3） 对角阵：2n4 上（下）三角阵ann2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不为零的常数k；3某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2初等矩阵1）定义：将 n 阶单位阵 E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；交换 i ,j 两行（列），记为 E（i, j ）；第 i 行（列）乘以不为零的常数 k 记为 E（i（k） ；第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记为 E(j(k)i ； (2)初等矩阵的性质
7、初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而 E (ij ) 1 E(ij) E(i(k) 1 E(i 1 )k1E(j(k)i) 1 E j( k)i(3)方阵 A 可逆与初等阵的关系 若方阵 A可逆，则存在有限个初等阵 P1,P2, ,Pt，使 A P1P2 Pt，(4)初等阵的行列式E(ij) 1, E(i(k) k, E(j(k)i) 1(5)初等阵的作用：对矩阵 A 进行一次初等行(列)变换，相当于用相应的初等阵 左(右)乘矩阵 A，且E(ij)A A, E(i(k)A k A, E(j(k)i) A3矩阵的等价(1)定义：若矩阵 A经过有限次初等变换变到矩阵 B，则称 A与 B等价，
8、 (2)A与 B 等价的三种等价说法，A 经过一系列初等变换变到 B；存在一些初等阵 E1, ,Es,F1, ,Ft，使得 Es E1AF1 Ft B 存在可逆阵 P，Q，使得 PAQ=B2.1.5 分块矩阵 1分块矩阵的定义 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算1)设 A，B 为同型矩阵，采用相同的分法有A11 A1tB11B1tA21 A2tB21B2tA 21 2tBAs1 AstBs1Bst则AB(AijBij )(i 1,2,s; j 1,2,t)2)kA (kAij )(i1,2,s; j 1,2,t)3)设 A (aij )mn ,B(bij )np, 分块成
9、A11A1tB11B1rABAs1AstBt1Btr其中 Ai1,Ai2, ,Ait 的列数分别等于B1j,B2j ,Btj的行数，则AB C (cij)sr ，其中 cijtAik Bkj(i 1,2,3,s; j1,2, ,r)k13准对角阵（1）定义：形如A1A A2 Ai 为 ni 阶方阵的矩阵称为准对角阵。As（2）准对角阵的行列式及逆矩阵A1设 A A2 ，则 A A1 A2 As ；若每个 Ai 可逆，则 A 可逆，As且A1（3）特殊的准对角阵（ i ） A 1 ，若 A1,A2（ ii ） A ，若 A1A2A11A21A2可逆，则 AAs1A11, A2 可逆，则 A 1A
10、21A11BDiii )A 是 B 0,C 0,则A B C 0 OCA1B10B 1DC 1 C1iv ) A0,B C0,C0，则A1B1C 1DB101 C 1经典题型解析2.2.1矩阵的运算1、若2L 1L1L bL 21L 22L 13L 1c1115cc22则 c=解：由 4 1 a 5得a=0, c11=4而 -1+2 b+6=-1 得 b=-3, c22 =-7从而 c=提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心122、设 A为三阶矩阵，且 A 4,则（2 A）2 .解：（1 A)21 A231 gA212444易错提示 ：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考
11、生易犯的错1误就是对矩阵进行行列式计算时，把 （1 A）2 的阶数给忘记计算。23、设 A为 3 3矩阵，B为 4 4，且 A 1， B 2，则 B A _.解： B A B 3 A 2 g1 8.易错题示 ：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时BA B A 23g1 2是我们常犯的错误。k4、设 A 1L 2L 3 ， B 1L 1L 1 ，则 ATB k _.k解： ATB ATB g ATB ATB AT ( BAT )( BAT ) (BAT)B1 1L 1L 16k 1 2 1L 1L 6k 1 2L 2L 23 3L 3L 31 易错提示 ：本题关键是要求我们注意到 AT B
12、是矩阵，但 BAT = 1L 1L 1 2 =63却是数，1L1L 11L1L1倘若先计算ATB2L2L2，然后再求 2L2L2，则计算式相当繁琐的3L3L33L3L31L0 L 15、设 A0L1L 0，求An0L0L 1解：方法一：数学归纳法 .1L0L11L0L2因为 A0L1L0， A2 AgA0L1L0，0L0L10L0L11L 0L 332A3 A2gA 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0 L n 1一般的，设 An-1 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1 1L 0L 1 1L 0L n则 An An 1 gA 0L 1L 0 0L 1L 0 0L 1L 01
13、L 0 L n所以，有归纳法知 An 0L 1L 0 。0L 0L 164n7个A48方法二：因为 A 是初等矩阵， An EgAgA A ，相当于对单位矩阵1L 0L 0E= 0L 1L 0 ，施行了 n 次初等列变换（把第一列加到第三列），故 0L 0L 1读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。1L0LnAn0L1L0。0L0L1方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩1L0L11L0L00L0L令A=0L1L00L1L00L0L0L0L10L0L10L0L0L0L1其中 B0L0L010L0L 00 E B ，0若设 g( )= 100 2 50 ，那么所求 A10
14、0 2A50 g(A)，而 dg( ) 100 100 49 ，d由代数学中的整除性质， q( ),st g( )=q( )f ( ) a 2 b c，-1=1100-2 150=g(1)=q(1) f (1) a b c a b c，-1= (-1 )100 (2 -1)50 q(-1) f ( 1) a b c a b c， 0=-100+100=dg( )( 1) 2a b,d解之得： a=b=0,c=-1 。所以，g( )=q( )f( ) 1，从而 A100 2A50 g( A)=q( A)f (A) E E。点评 ：本题可谓是到综合性极强的一道题， 对于解这种类型题时， 读者除需要
15、掌握牢固扎实的基础知识外， 还应具备真正能够做到各知识点前后相连， 融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习 惯。21007、设 A 0200 ，求 An 。003900132 1 3 920 12 ， C 13 * 93B0解：由分块矩阵知 A 0B C0 ，其中 B02Bn 2E P n (2E)n n(2E)n 1P2n n2n 1n1 3 9130 2n2.2.2矩阵的逆（逆矩阵）及其运用1、设 A为三阶方阵， A*为 A的伴随矩阵， A 1 ，计算（ 1 A）-1 8A* 83解：因为 A* AA1 1A 1，所以易错提示 ：切记将 2提出时应为 2k
16、，其中 k 为该矩阵的阶数。2、已知矩阵 A满足关系式 A2 2A 3E O，求 A 4E -1 。解：因为 O A2 2A 3E A+4E A-2E +8E-3 E21 A 4E A-2E 5E A 4E E A E ，55-1 2 1A 4E -1 E A.55思路提示 ：遇到有关此类问题时， 我们首先应想到的是把所求问题的因式给分 解出来，那么问题就会变得容易多了。3、设 n 阶可逆矩阵 A 1, 2, n ， i 为 n 维列向量（ i=1,2, n）,为 n 维非零列向量，且与 1, 2, n 1均正交， 则B 1, 2, n 1, 可逆。解：要证明矩阵 B可逆，我们这里只需要证明向
17、量组 1, 2, n 1, 线性无关 即可。为此，我们令：k1 1 k2 2 kn 1 n 1 kn 0 ，两边同乘以 T ，即T T T T k1 1 k 2 2 kn 1 n 1 kn 0 ，Q T i 0 ，(i=1,2, n-1 )且 T 0kn T 0我们可以得出 kn 0，那么即得： k1 T 1 k2 T 2 kn1 T n 1 0，又Q A是可逆矩阵，1, 2 ,n 1 线性无关。从而我们有 k1=k2 =kn =0，即证明了 1, 2, n 1, 线性无关，同时也就说明了矩阵B 1, 2 , n 1, 是可逆矩阵。思路提示 ：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少， 这里我们不
18、妨预先前所 熟悉的线性方程组来建立联系。 这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系 要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上， 对于 m n 矩阵 A，我们可以把其每一列看作一列向量（记为 1, 2, n），则A=（ 1, 2, n ），这就很形象的转化为线性方程组问题了， 而 A=（ 1, 2, n）可逆 向量组 1, 2 ,n线性无关。4、设 A为 n阶实矩阵，若 A+AT 为正定矩阵，则 A为可逆矩阵。证明：用反证法假设 A 为不可逆矩阵，则 n 维列向量 X0 0，使得 AX 0 0，而对于 X0（T A+AT）X0 X0TAX0 X0TATX0 X0T（AX
19、0） （AX0）T X0=X0T0 0T X0 0 ，从而我们知存在 X0 0 ，使得 X0（T A AT）X0 0，但这与 A+AT 为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，这也就说明了 A 为可逆矩阵点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很 多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵 A 是正定矩阵， 我们应掌握以下几个等价定理：(1) 定义法(最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的 的)；(2) 来说明 A 的所有特征值全部都大于零；(3)来说明 A 的所有顺序主子式都大于零(这种方法再给出具体的矩阵表达形式时较常用) ;(4)存在可逆矩阵 P
20、，使得 A= PTP;(5)存在正交矩阵 S，使得 A=S2 ;(1) 写出该二次型的矩阵表达式；(2) 用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵。解：1)f 的矩阵表达式为022x1f (x1, x2, x3) (x1, x2,x3) 244x2 ；243x32)由( 1)得知该二次型的矩阵为0 2 2A2 4 4 ，2 4 3A的特征方程为22EA2 4 4 ( 1)( 6)( 6)=0 ，2 4 3由此可得出 A的特征值： 1 1， 2 6， 3 6 ，对应的特征向量为1。2对应的单位特征向量为：点评 ：化二次行为标准形式二次型矩阵最常见的一种题型 ，在研究生入学考试
21、中也是个重要的考察知识点，但题目一般难度不大，解答事业都有固定的模式， 但它却要求我们必须仔细对待，切不可有所懈怠。6、二次曲面 S 在空间直角坐标系中的方程为2 2 2x 4 y z 4 xy 8xz 4 yz 1 0 ，做直角坐标变换，把它化成标准方程，并且指出 S 是什么样的二次曲面？ 解：首先把方程左端的二次项部分2 2 2f( x, y, z)= x2 4y2 z2 4xy 8xz 4yzL L L L L L( ) 经正交变换化成标准型。而二次型矩阵 A 为1 2 4A= 2 4 2 ，4 2 15-100使得 T -1AT 050 。于是我们做正交变换004xuyTv L L L L L L L L L L（ ）zw则，可以把原而次型（ * ）化成下述的标准型：f（ x, y, z）=5u 2+5v2 -4w 2 ，因此，这里我们只需要做直角变换 （ ），原二次曲面在新坐标系中的方程 是5u2 +5v2-4w2 1。并且，由此方程我们可以看出， S 是单叶双曲面。 点评：通过正交变换把二次曲面方程化为标准方程是矩阵在几何上的一个重要的 应用；除此方法之外， 有时我们还可以用配方法来代替正交变换法对二次曲面方 程进行化简，坐标变换，从而得到其标准方程。3 9 3 9而 13 93 的秩为 1，有 13 93
