1、高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何篇56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量既有大小又有方向的量。 （）向量的模有向线段的长度，2|a （）单位向量，3100|a a aa =（）零向量，4000=|（）相等的向量长度相等方向相同5=a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。b a b b a =存在唯一实数，使( 0 （7）向量的加、减法如图： OA OB OC += OA OB BA -=（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向
2、量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212a e e e e =+的一组基底。（9）向量的坐标表示 i j x y ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，使得(a x i y j x y a a x y =+=，称，为向量的坐标，记作：，即为向量的坐标(表示。(设，a x y b x y =1122(则，a b x y y y x y x y =11121122 (a x y x y =1111， (若，A x y B x y 1122(则，AB x x y y =-2121 (|AB x x y y A B =-+-212212，、两点间距离公式57
3、. 平面向量的数量积（）叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b =|cos 为向量与的夹角，a b 0 数量积的几何意义：a b a b a b 等于与在的方向上的射影的乘积。|cos （2）数量积的运算法则 a b b a =( a b c a c b c +=+(，a b x y x y x x y y =+11221212注意：数量积不满足结合律( ( a b c a b c (（）重要性质：设，31122a x y b x y = a b a b x x y y =+=001212 或a b a b a b a b a b =-| =a b b （，惟一确定）0 -=x
4、 y x y 12210，a a x y a b a b =+221212|c o s |=+a ba b x x y y x y x y121212122222练习（）已知正方形，边长为，则11ABCD AB a BC b AC c =|a b c +=答案：2(（）若向量，当时与共线且方向相同214a x b x x a b =答案：2（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603a b a b o+=|答案： 58. 线段的定比分点(设，分点，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P
5、 P P P PP P 1212=P P P P P P P P 12121200所成的比（，在线段内，在外），且x x x y y y P P P x x x y y y =+=+=+=+12121212121122，为中点时，(如：，ABC A x y B x y C x y 112233 则重心的坐标是，ABC G x x x y y y 12312333+. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线线面面面判定线线线面面面性质线线线面面面线面平行的判定：a b b a a ，面，面a
6、b线面平行的性质：面，面，= b a b 三垂线定理（及逆定理）：PA AO PO 面，为在内射影，面，则a a OA a PO a PO a AO ；P线面垂直：a b a c b c b c O a ，=a面面垂直：a a 面，面面面， =l l a a a aa b a b 面，面 面，面a a ab60. 三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角，090 （2）直线与平面所成的角，090 时，或0b ob （）二面角：二面角的平面角，30180-l oo（三垂线定理法：A作或证 AB于 B，作 BO棱于 O，连 AO，则 AO棱 l， AOB 为所求。） 三类角的求法： 找出或作出有关
7、的角。 证明其符合定义，并指出所求作的角。 计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 练习 （1）如图，OA 为的斜线 OB 为其在内射影，OC 为内过 O 点任一直线。 证明： cos = cos cos A O C D B （为线面成角，AOC = ，BOC = ） （2）如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中对角线 BD18，BD1 与侧面 B1BCC1 所成的 为 30。 求 BD1 和底面 ABCD 所成的角； 求异面直线 BD1 和 AD 所成的角； 求二面角 C1BD1B1 的大小。 D1 A1 B1 C1 H G D A B C 3 6 （ arcsin ； 60 o ；
8、 arcsin ） 4 3 （3）如图 ABCD 为菱形，DAB60，PD面 ABCD，且 PDAD，求面 PAB 与 面 PCD 所成的锐二面角的大小。 P F D C A E B （ABDC， 为面 PAB 与面 PCD 的公共点， PFAB， PF 为面 PCD 与面 PAB P 作 则 的交线） 61. 空间有几种距离？如何求距离？ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离， 构造三角形， 解三角形求线段的长 （如： 三垂线定理法， 或者用等积转化法）。 如：正方形 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，则： （1）点 C 到面 AB1C1
9、 的距离为_； （2）点 B 到面 ACB1 的距离为_； （3）直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为_； （4）面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为_； （5）点 B 到直线 A1C1 的距离为_。 D A B C D1 A1 B1 C1 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE 它们各包含哪些元素？ S 正棱锥侧 = V锥 = 1 Ch （C底面周长，h 为斜高） 2 1 底面积高 3 63.
10、 球有哪些性质？ （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r = R 2 d 2 （2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，为纬度角，它是线面成角；为经度角，它是面面成角。 （ 4 ）S 球 = 4 R 2 ，V球 = 4 R 3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之 比为 R：r3：1。 如：一正四面体的棱长均为 2 ，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（ ） A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 答案：A 64. 熟记下列公式了吗？ （1）l 直线的倾斜角 0， ，k = tan = y
11、2 y1 ，x 1 x 2 x 2 x1 2 P1 ( x 1 ，y 1 ，P2 ( x 2 ，y 2 是l 上两点，直线l 的方向向量 a = (1，k （2）直线方程： 点斜式：y y 0 = k( x x 0 （k存在） 斜截式：y = kx + b 截距式： x y + =1 a b 一般式：Ax + By + C = 0 （A、B不同时为零） （ 3）点P( x 0 ，y 0 到直线l ：Ax + By + C = 0的距离 d = （ 4 ）l1 到l2 的到角公式： tan = k 2 k1 1 k1k 2 Ax 0 + By 0 + C A 2 + B2 l1 与l2 的夹角公式： tan = k 2 k1 1 k1k 2 65. 如何判断两直线平行、垂直？ A 1 B 2 = A 2 B1 l1 l2 A 1C 2 A 2 C1 k 1 = k 2 l1 l 2 （反之不一定成立） A 1A 2 + B1 B 2 = 0 l1 l2 k 1 k 2 = 1 l1 l2
