1、浙教版数学七下第四章因式分解解答题精选及答案浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解解答题精选题号一总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得 分 解答题（共40小题）1分解因式（1）2x28（2）3x2y6xy2+3y32因式分解（1）2x38x（2）x22x3（3）4a2+4ab+b213因式分解：（1）4m3n16mn3 （2）3x218x+274常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x24y22x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因
2、式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了过程为：x24y22x+4y（x+2y）（x2y）2（x2y）（x2y）（x+2y2）这种分解因式的方法叫分组分解法利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x22xy+y216；（2）ABC三边a，b，c满足a2abac+bc0，判断ABC的形状5如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：42202，124222，206242，因此4，12，20这三个数都是神秘数（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个
3、连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？6两名同学将关于x的二次三根式x2+ax+b分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成（x1）（x9），另一名同学因看错了常数项而分解成（x2）（x4），请将原多项式分解因式7分解因式：（1）（x2+y2）24x2y2 （2）25（xy）2+10（yx）+18我们可以用几何图形来解决一些代数问题，如图（甲）可以来解释（a+b）2a2+2ab+b2，（1）图（乙）是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示 ；（2）请构图解释：（a+b+c
4、）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）请通过构图因式分解：a2+3ab+2b29因式分解（1）4a39a（2）（x2+y2）24x2y210已知两实数a与b，Ma2+b2，N2ab（1）请判断M与N的大小，并说明理由（2）请根据（1）的结论，求的最小值（其中x，y均为正数）（3）请判断a2+b2+c2abacbc的正负性（a，b，c为互不相等的实数）11把下列各式分解因式：（1）9x2+6x+1（2）16（mn）29（m+n）212已知P2x2+4y+13，Qx2y2+6x1，比较代数式P，Q的大小13阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用（1）的结论分解因式（1）形如x2+（p
5、+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：二次项系数是1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：x2+（p+q）x+pqx2+px+qx+pq（x2+px）+（qx+pq）x（x+p）+q（x+p）（x+p）（x+q）因此，可以得x2+（p+q）x+pq 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式（2）利用（1）的结论分解因式：m2+7m18；x22x1514分解因式a22a（b+c）+（b+c）2；（x25）2+8（x25）+1615已知n是正整数，则所有大于1的奇数可以用代数式2n+1来表示（1）分解因式：（
6、2n+1）21；（2）我们把所有“大于1的奇数的平方减去1”所得的数叫”白银数”，则所有”白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由16（1）当a2，b1时，（ab）2 ，a22ab+b2 ；（2）当a2，b3时，（ab）2 ，a22ab+b2 ；（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论？结论是： ；（4）利用你发现的结论，求：2010240202009+20092的值17代数基本定理告诉我们对于形如xn+an1x+an0（其中a1，a2，an为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数例如方程x3+8x211x+20的整数根只可能为1，2代入检验得x1时等式成立故
7、x3+8x211x+2含有因式x1，所以原方程可转化为：（x1）（x2+9x2）0，进而可求得方程的所有解根据以上阅读材料请你解方程：x3+x211x3018分解因式ax216ay22a3+12a218aa22ab+b2919给出三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解20宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局，十号选手胜a10局，输b10局试比较a12+a22+a102与b12+b22+b102的大小，并叙述理由21把下列各式
8、分解因式：（1）12a3b29a2b+3ab；（2）16x29y2；（3）2x3+8x2y+8xy2； （4）（3x+y）2（x3y）222利用因式分解计算：（1）4164.2+4.16370+41.621（2）23将下列各式分解因式：（1）3x12x3（2）2a（x2+1）22ax2（3）（4）a2b24a+4b（5）20a2bx45bxy2（6）x2+y212xy（7）2m（ab）3n（ba）（8）（ab）（3a+b）2+（a+3b）2（ba）24计算：若x2+x10，求代数式x3+2x27的值25把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些
9、不规则图形的面积（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且mn观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （2）若图1中每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和（3）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b10，ab16，请求出阴影部分的面积26已知m，n满足mn4，mnk7，设y（m+n）2（1）当k被3整除时，求证：y能被12整
10、除；（2）若m，n都为非负数，y是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由27已知（19x31）（13x17）（ 1713x）（11x23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值28已知（10x31）（13x17）（13x17）（3x23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值29已知ab7，ab12（1）求a2bab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值；30先阅读材料，再回答问题：分解因式：（ab）22（ab）+1解：设abM，则原式M22M+1（M1）2再将abM还原，得到：
11、原式（ab1）2上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：（1）分解因式：（x+y）（x+y4）+4（2）若a为正整数，则（a1）（a2）（a3）（a4）+1为整数的平方，试说明理由31阅读理解并填空：（1）为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道x的值若x1，则这个代数式的值为 ；若x2，则这个代数式的值为 ，可见，这个代数式的值因的取值不同而变化尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围（2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题例如：x2+2x+3（x2+2x+1）+2（x+1）2+2，因为（x+1）2是
12、非负数，所以，这个代数式x2+2x+3的最小值是 ，这时相应的平方是 尝试探究并解答：（3）求代数式x212x+37的最小值，并写出相应x的值（4）求代数式x26x+11的最大值，并写出相应x的值（5）已知yx2+6x3，且x的值在数14（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）32题目：“分解因式：x2120x+3456”分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行解：x2120x+3456x2260x+602602+3456（x60）2144（x60）2122（x60+12）（x6012
13、）（x48）（x72）通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：（1）x2140x+4875（2）4x24x57533阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：x3+3x24解答：把x1代入多项式x3+3x24，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x24中有因式（x1），于是可设x3+3x24（x1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x24（x1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x24这种分解因式的方法叫“试根法”（1）求上述式子中m，n的值；（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x216x1634【知识拓展】（1）你能对a3+b3因式分解吗？（2
14、）求最大正整数n，使得n3+2017，能被n+13整除35阅读材料：若m22mn+2n28n+160，求m、n的值解：m22mn+2n28n+160，（m22mn+n2）+（n28n+16）0（mn）2+（n4）20，（mn）20，（n4）20，n4，m4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+10，求2x+y的值；（2）已知ab4，ab+c26c+130，求a+b+c的值36利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2abbcac（ab）2+（bc）2+（ac）2，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；（
15、1）请你检验说明这个等式的正确性（2）若a2011，b2012，c2013，你能很快求出a2+b2+c2abbcac的值吗？（3）若ab，bc，a2+b2+c21，求ab+bc+ac的值37阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2（1+x）1+x+x（x+1）（1+x）2（1+x）（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）38先阅读下列材料，然后解题：材料：因为
16、（x2）（x+3）x2+x6，所以（x2+x6）（x2）x+3，即x2+x6能被x2整除所以x2是x2+x6的一个因式，且当x2时，x2+x60（1）类比思考（x+2）（x+3）x2+5x+6，所以（x2+5x+6）（x+2）x+3，即x2+5x+6能被 整除，所以 是x2+5x+6的一个因式，且当x 时，x2+5x+60；（2）拓展探究：根据以上材料，已知多项式x2+mx14能被x+2整除，试求m的值39阅读理解并填空：（1）为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道x的值，若x1，则这个代数式的值为 ；若x2，则这个代数式的值为 ，可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们
17、还是有办法来考虑这个代数式的值的范围（2）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：x2+2x+3的最小值是 ，这时相应的x的平方是 尝试探究并解答：（3）求代数式x210x+35的最小值，并写出相应x的值（4）求代数式x28x+15的最大值，并写出相应的x的值（5）改成已知yx2+6x3，且x的值在数14（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）40生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2x2可以因式分解
18、为（x1）（x+1）（x+2），当x29时，x128，x+130，x+231，此时可以得到数字密码283031（1）根据上述方法，当x15，y5时，对于多项式x3xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1解：（1）2x282（x24）2（x+2）（x2）；（2）3x2y6xy2+3y33y（x22xy+y2）3y（xy）22解：（1）2x38x2x（x24）2x（x+2）（x2）；（2）x22x3（x3）（x+1
19、）；（3）4a2+4ab+b21（2a+b）21（2a+b1）（2a+b+1）3解：（1）原式4mn（m24n2）4mn（m+2n）（m2n）；（2）原式3（x26x+9）3（x3）24解：（1）x22xy+y216（xy）242（xy+4）（xy4）；（2）a2abac+bc0a（ab）c（ab）0，（ab）（ac）0，ab或ac或abc，ABC的形状是等腰三角形或等边三角形5解：（1）28478262；2012450350425022，所以是神秘数；（2）（2k+2）2（2k）2（2k+22k）（2k+2+2k）4（2k+1），由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数（3）设两个连续奇数为2
20、k+1和2k1，则（2k+1）2（2k1）28k，由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，不是偶数倍，两个连续奇数的平方差不是神秘数6解：一名同学因看错了一次项系数而分解成（x1）（x9），另一名同学因看错了常数项而分解成（x2）（x4），常数项为：1（9）9，一次项系数为：426，故原多项式为：x26x+9，分解因式可得：x26x+9（x3）27解：（1）（x2+y2）24x2y2 （x2+2xy+y2） （x22xy+y2） （x+y）2（xy）2； （2）25（xy）2+10（yx）+125（xy）210（xy）+1（5x5y1）28解：（1）阴影部分的边长为（ab），（ab）2（a+b）24
21、ab（2）（a+b+c）2a（a+b+c）+b（a+b+c）+c（a+b+c）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（3）（a+2b）（a+b）a（a+b）+2b（a+b），可得a2+3ab+2b2（a+2b）（a+b）9解：（1）原式a（4a29）a（2a+3）（2a3）；（2）原式（x2+y2+2xy）（x2+y22xy）（x+y）2（xy）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键10解：（1）MN；理由如下：MNa2+b22ab（ab）20，MN； （2）最小值为5；（3）a2+b2+c2abacbc0，理由如下：a2+b2+c2abacb
22、c（2a2+2b2+2c22ab2ac2bc）（ab）2+（ac）2+（bc）2，a，b，c为互不相等的实数，a2+b2+c2abacbc011解：（1）9x2+6x+1（3x+1）2；（2）16（mn）29（m+n）24（mn）+3（m+n）4（mn）3（m+n）（7mn）（m7n）12解：PQ（2x2+4y+13）（x2y2+6x1）x26x+y2+4y+14x26x+9+y2+4y+4+1（x3）2+（y+2）2+1（x3）20，（y+2）20，PQ（x3）2+（y+2）2+11，PQ13解：（1）x2+（p+q）x+pq（x+p）（x+q），故答案为：（x+p）（x+q）；（2）m2+
23、7m18m2+（92）m+（2）9（m+9）（m2）；x22x15x2+（5+3）x+（5）3（x5）（x+3）14解：a22a（b+c）+（b+c）2（abc）2；（x25）2+8（x25）+16，（x25+4）2，（x21）2，（x+1）2（x1）215解：（1）（2n+1）21（2n+1+1）（2n+11）4n（n+1）；（3分）（2）所有”白银数”的最大公约数是8；（1分）理由：n正整数，则n与n+1必有一个偶数，n（n+1）必是2的倍数，则4n（n+1）必是8的倍数，所有”白银数”的最大公约数是8（2分）16解：（1）当a2，b1时，（ab）29，a22ab+b29；（2）当a2，b
24、3时，（ab）225，a22ab+b225；（3）结论是（ab）2a22ab+b2；（4）2010240202009+20092（20102009）21故答案为：9，9，25，25，（ab）2a22ab+b217解：取x1，3代入方程，得x3适合方程，则原方程可以分解为：（x3）（x2+4x+1）0，解得x3或x2+或x218解：ax216ay2，a（x216y2），a（x+4y）（x4y）；2a3+12a218a，2a（a26a+9），2a（a3）2；a22ab+b29，（ab）29，（ab+3）（ab3）19解：如选择：则：x2+4xx（x+4）如选择：则：如选择：则：20解：依题意可知，
25、a1+b19，a2+b29，a3+b39，且a1+a2+a10b1+b2+b1045，（a12+a22+a102）（b12+b22+b102）（a12b12）+（a22b22）+（a102b102）（a1+b1）（a1b1）+（a2+b2）（a2b2）+（a10+b10）（a10b10）9（a1+a2+a10）（b1+b2+b10）0，a12+a22+a102b12+b22+b10221解：（1）12a3b29a2b+3ab3ab（4a2b3a+1）；（2）16x29y2（4x+3y）（4x3y）；（3）2x3+8x2y+8xy22x（x2+4xy+4y2）2x（x+2y）2； （4）（3x+
26、y）2（x3y）2（3x+y+x3y）（3x+yx+3y）（4x2y）（2x+4y）4（2xy）（x+2y）22解：（1）4164.2+4.16370+41.621416（4.2+3.7+2.1）416104160（2）（2+）（2）+（49+50）（4950）3+99（2）19819123解：（1）原式3x（14x2）3x（12x）（1+2x）；（2）原式2a（x2+1）2x22x（x+12（x1）2；（3）原式2（x2+x+）2（x+）2（4）原式（a2b2）（4a4b）（a+b）（ab）4（ab）（ab）（a+b4）；（5）原式5bx（4a29y2）5bx（2a3y）（2a+3y）；（6
27、）原式（x2+y22xy）1（xy）21（xy1）（xy+1）；（7）原式2m（ab）+3n（ab）（ab）（2m+3n）；（8）原式（ab）（3a+b）2（a+3b）2（ab）（ab）（3a+b）2（a+3b）2（ab）（3a+ba3b）（3a+b+a+3b）（ab）（2a2b）（4a+4b）8（ab）2（a+b）24解：x2+x10，x2+x1，x3+2x27x（x2+x）+x27x+x27176故答案为：625解：（1）大长方形的面积2m2+5mn+2n2，大长方形的面积（m+2n）（2m+n），2m2+5mn+2n2（m+2n）（2m+n），故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）由题意得：mn12，2n2+2m250，n2+m225，（m+n）2n2+m2+2mn49，mn0，m+n7，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和6（m+n）42（cm）；（3）阴影部分的面积a
