1、平面向量数量积,定义：,一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0时,a 的方向与a方向相同；当0时,a 的方向与a方向相反；,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,定义,注意：向量的数量积是一个数量。,思考：,ab=|a|b|cos,当0 90时ab为正；,当90 18
2、0时ab为负。,当=90时ab为零。,重要性质:,特别地,解：ab=|a|b|cos=54cos120=54（-1/2）=10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45=2,练习：,1若a=0，则对任一向量b，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b,有a b0,3若a 0，a b=0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b=b c，则a=c,6若a b=a c,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,例4,小结：,1.2.,可用来求向量的模,
