中职数学解析几何部分重要题型练习.doc
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数学试题解析几何解答题
1.已知椭圆,过椭圆的左焦点且平行于向量的直线交椭圆于两点,求弦的长.
2.设直线与双曲线交于两点,求弦的长.
3.已知抛物线的焦点为,过焦点的弦的长为,求直线的斜率.
4.已知抛物线与直线相交于两点,若的中点在圆上,求抛物线的方程.
5.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点,求.
6.求椭圆上的点到直线的最长距离和最短距离.
7.已知双曲线上一点到它的一个焦点的距离为15,求点到另一个焦点的距离.
8.若方程表示双曲线,求实数的取值范围;若该方程表示焦点在y轴上的椭圆,求实数的取值范围.
9.在抛物线上求一点,使该点到焦点的距离等于9.
10.若点是椭圆上的一点,和是焦点,且,求的面积.
11.已知双曲线的中心在原点,焦点和在坐标轴上,离心率为,且双曲线过点,
(1)求双曲线的方程;
(2)若点在第一象限而且是渐近线上的点,又,求点的坐标;(3)求的面积.
12.已知双曲线与椭圆有公共焦点和,它们的离心率之和为,
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设点是椭圆与双曲线的一个交点,求的值.
数学试卷第3页共3页2023-5-16SZM
数学试题解析几何解答题(答案)
1.已知椭圆,过椭圆的左焦点且平行于向量的直线交椭圆于两点,求弦的长.
解:
由方程得,,所以
所以左焦点坐标为
所以直线的方程为,即
设两点的坐标为
由题意列方程组,得,整理得
所以
所以
因此所求弦的长为.
2.设直线与双曲线交于两点,求弦的长.
解:
由题意列方程组,得,整理得
即,设两点的坐标为
所以
所以
因此所求弦的长为.
3.已知抛物线的焦点为,过焦点的弦的长为,求直线的斜率.
解:
设两点的坐标为
因为,由抛物线的定义可得,
所以
由可得,抛物线的焦点的坐标为
设直线的斜率为,则其方程为
由题意列方程组,得,整理得
所以,整理得,解得
因此所求直线的斜率为1或.
4.已知抛物线与直线相交于两点,若的中点在圆上,求抛物线的方程.
解:
设两点的坐标为
则其中点的坐标为
由题意,列方程组,得,整理得
所以
所以的中点坐标为
因为该中点在圆上,所以
解得或(不合题意,舍去),
所以所求抛物线的方程为
5.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点,求.
解:
由得,
所以抛物线的焦点坐标为
又直线的倾斜角为,所以斜率为1,因此直线AB的方程为
设两点的坐标为
由题意列方程组,得,整理得
所以
所以
6.求椭圆上的点到直线的最长距离和最短距离.
解:
作直线的平行线并与椭圆相切,则所作平行线方程可设为
由题意列方程组,得,整理得
因为所作直线与椭圆相切,
所以
解得
所以所作直线方程
由题意可知,所作直线到的距离即为所求距离
所以
因此所求最长距离为,最短距离为.
7.已知双曲线上一点到它的一个焦点的距离为15,求点到另一个焦点的距离.
解:
由双曲线方程,得
根据双曲线的定义可知,
所以
因此所求点到另一个焦点的距离为23或7.
8.若方程表示双曲线,求实数的取值范围;若该方程表示焦点在y轴上的椭圆,求实数的取值范围.
解:
(1)若方程表示双曲线,则须满足条件
解得.
(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则须满足条件
解得,即.
9.在抛物线上求一点,使该点到焦点的距离等于9.
解:
设点P坐标为,由,得
因为P到焦点的距离为9,则由抛物线的定义可知P到准线的距离也为9
所以,把代入方程,解得
所以所求点P的坐标为或.
10.若点是椭圆上的一点,和是焦点,且,求的面积.
解:
由椭圆方程得:
由椭圆的定义可知
在中,由余弦定理,得
所以,解得
所以.
11.已知双曲线的中心在原点,焦点和在坐标轴上,离心率为,且双曲线过点,
(1)求双曲线的方程;
(2)若点在第一象限而且是渐近线上的点,又,求点的坐标;(3)求的面积.
解:
(1)由双曲线离心率为可知所求双曲线为等轴双曲线,
设其方程为,因为双曲线经过点,
所以,可得(不合题意舍去)
因此所求双曲线方程为.
(2)由题意双曲线的渐近线方程为
因为点在第一象限而且是渐近线上的点,所以可设其坐标为
由双曲线方程,得
所以两焦点坐标为
由,可得
所以,所以点M的坐标为.
(3)
所以.
12.已知双曲线与椭圆有公共焦点和,它们的离心率之和为,
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设点是椭圆与双曲线的一个交点,求的值.
解:
(1)由椭圆方程得,
由椭圆方程容易求得椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,
由此可求得双曲线中,,所以,焦点为在y轴,
所以双曲线的方程为.
(2)设
根据双曲线和椭圆的定义可得:
解得,又
所以
因此所求值为.
数学试卷第7页2023-5-16SZM
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