普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷解析版Word下载.docx
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二6a〔d=48
12
(2ai+7d=24①
联立求得1-
阳+15d=48②
①3-②得21-15d=24
6d=24
d=4
选C
5.函数fx在」:
,•:
单调递减,且为奇函数.若f1]=-1,则满足-Kfx-2<
1的x的取值范围是()
A.1-2,2丨B.1-1,11C.0,4]D.1,3丨
【答案】D
【解析】因为fx为奇函数,所以f-1二-f1=1,
于是-1<
fx-2<
1等价于f1<
f-1|
又fx在-:
亠「1单调递减
.-1<
x-2<
1
.1<
x<
3
故选D
16
6.1*孑1*x展开式中x2的系数为
A.15B.20C.30D.35
【答案】C.
i16616
【解析】・1+-TJ+x)=1叮+x)f1+x)
IX丿x
6^5
对1x6的x2项系数为c6=——=15
f2
对-T^+x)的x2项系数为c6=15,
x
二x2的系数为1575=30
故选C
7.
某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为
【解析】由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
S弟42-2=6
S全梯=62=12
A.
A1000和n=n■1
B.
A-1000和n=n2
C.
Aw1000和n=n■1
D.
A<
1000和n=n2
【答案】
D
因为要求A大于1000时输出,且框图中在
否”时输出
”中不能输入A1000
排除A、B
又要求n为偶数,且n初始值为0,
”中n依次加2可保证其为偶
得到曲线C2
{2“
【解析】G:
y=cosx,C2:
y=sin]2x=
2n
3丿
首先曲线G、C2统一为一三角函数名,可将C1:
y=cosx用诱导公式处理.
2xsin2x亠
I3丿I3丿
>
y=sin
nn
注意「的系数,在右平移需将,=2提到括号外面,这时XI平移至x3,
菽,即再向左平移$
根据“左加右减”原则,“x;
”到“x;
”需加上
2
10.已知F为抛物线C:
y=4x的交点,过F作两条互相垂直线12与C交于D,
【解析】
16
A
E两点,ab|-|de的最小值为()
B.14
C.12
AK2垂直x轴
l1,I2,直线h与C交于
D.10
A、B两点,直
AFcost-GF||AK1(几何关系)易知AK1!
AF(抛物线特性)
P
GP=PI-
「2I2丿
.AFcosvP=AF
同理AF二
1—cos8
..2P.AB和「os=z
1-cosu
,BFJ
2P
sin2t1
又DE与AB垂直,
即DE的倾斜角为一-二
DE三—sin2;
+9
而y=4x,即P=2.
cos2r
•••ABDE=2P研
sin2cos4
°
°
sin2cos2t1
cosrsin2vcos?
二
4
-sin22r
AO
-2>
16,当r取等号
sin24
即AB|-|DE最小值为16,故选A
11.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()
2x<
3yc5zb.5zc2x<
3y
取对数:
A.【答案】【答案】
3y:
5z:
2x
D.3yc2xc5z
xln2=yIn3=1n5.
xln3
yln2
2x3y
xln2=zln5
3
-
则―亜二
zIn22
2x:
5z3y:
2x:
5z,故选D
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,
数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是接下来的三项式
和为2的整数幕.
440
为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解
A.【答案】【解析】
设首项为第
26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数那么该款软件的激活码是(
B.330
1组,接下来两项为第2组,
设第n组的项数为n,则n组的项数和为
)
C.220
20,接下来的两项是20,21,在
N:
N100且该数列的前N项
D.110
再接下来三项为第3组,以此类推.
n1n
由题,N100,令100Tn>
14且n・N*,即N出现在第13组之后
12n
第n组的和为匕兰=2n_1
1-2
n组总共的和为_n=2n一2_n
1—2
若要使前N项和为2的整数幕,贝UN_——项的和2^1应与<
「n互为相反数
即2k_1=2nkN*,n>
14
k=log2n3
tn=29,k=5
“29xf1+29\
则N5=440
故选A
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60,a=2,b=1,则a+2b=.
【答案】2.3
片彳2专专2^2呻|呵42212
【解析】a+2b|=(a+2b)2=d+2a2bcos60°
+(2b)=2+22X2沃?
+2=4+4+4=12•••:
2^=12=23
x2y_1
14.设x,y满足约束条件£
2x+yK—1,则z=3x-2y的最小值为.
x—y_0
【答案】-5
不等式组2x•y一-1表示的平面区域如图所示
x-y_0
由z=3x-2y得y=3x-Z,
22'
求z的最小值,即求直线y二-|的纵截距的最大值当直线丫二彳乂-兰过图中点A时,纵截距最大
22
J2xy=_1由x2y=1
解得A点坐标为(-1,1),此时z=3(一1)一21=-5
15.已知双曲线C:
2
a
-y2,(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲b
线C的一条渐近线交于M,N两点,若NMAN=60。
,则C的离心率为.
【答案】U
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D、E、F为
元O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是一BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开
后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱
【答案】4J5
【解析】由题,连接OD,交BC与点G,由题,OD_BC
OG3bc,即OG的长度与BC的长度或成正比
6
设OG=x,贝VBC=2「3x,DG=5_x
三棱锥的高
h=.DG_OG虫25_10xx_x=*25_10x
Saabc—233x•-=3、,3x
则VABC
2.
h=3x25_10x=3.25x4_10x5
4553
fx二25x-10x,x三©
?
),fx二100x-50x
fx0,即x4-2x3:
0,X:
fx<
f2=80
则
则V<
、3.80=45
三、解答题:
共都必须作答。
第
(一)必考题:
共60分。
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17-21题为必考题,每个试题考生
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知△ABC的面积为
3sinA
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用
a21
(1)•/△ABC面积S=—.且S=—bcsinA
3sinA2
-bcsinA
3sinA2
232
abcsinA
t由正弦定理得sin2AsinBsinCsin2A
2,
由sinA严0得sinBsinC.
(2)由
(1)得sinBsinC=-cosBcosC
3,
•/ABC二n
.cosA=cosn—B-C=—cosBC二sinBsinC-cosBcosC*
A=60,
由余弦定理得
J31
sinA,cosA=一
=b2c2—be=9①
由正弦定理得
=—sinB,c=—asinCsinA'
sinA
…bC2.
sinA
由①②得b-e=]33
•••a•b•e=3•33,即△ABC周长为333
sinBsinC=8②
18.(12分)
如图,
在四棱锥
/CDP=90
证明:
平面PAB_平面PAD;
若PA=PD二AB二DC,/APD=90,求二面角
(1)证明:
•••.BAP=/CDP=90
•PA_AB,PD_CD
又•••ABIICD,.PD_AB
又•••PD门PA=P,PD、PA二平面PAD
•AB_平面PAD,又AB二平面PAB
•平面PAB_平面PAD
(2)取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE
•/AB二CD
•••四边形ABCD为平行四边形
•OE:
AB
由
(1)知,
(1)
(2)【解析】
AB_平面PAD
•OE_平面PAD,又PO、AD平面PAD
•OE_PO,OE_AD
又•••PA二PD,•PO_AD
•PO、OE、AD两两垂直
•••以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
O_xyz
设PA=2,•D-2,0,0、B2,2,0、P0,0,2、。
[一;
;
2,2,0,
PD--.2,0,-2、PB=[®
2,-2、BC--2.2,0,0
n=x,y,z为平面PBC的法向量
”―(
nPB=02x2y-.2z=0
得
nBC=0-2.2x=0
y=1,则z=、、显,x=0,可得平面PBC的一个法向量
•/.APD=90,•PD_PA又知AB_平面PAD,PD二平面PAD
•PD_AB,又PA「AB=A
•••PD_平面PAB
即PD是平面PAB的一个法向量,PD=(t/2,0,—心2)
I彳-
cosPD,n
PDn__3
PDn2、33
由图知二面角A_PB_C为钝角,所以它的余弦值为__2
19.(12分)
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量
其尺寸(单位:
cm)•根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N:
=,;
「2.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在:
二「3二,匚之外的零件数,求PX>
1及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在二,」•士之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性:
(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
_162'
1.■■■16-
经计算得Xi=9.97,s瓦(Xi_x)=」一臣Xi2—16M2*0.212,其中X为抽取的第i个零7¥
16y'
‘丫16(二丿
件的尺寸,i=1,2,⑴,16.
用样本平均数X作为"
的估计值?
用样本标准差s作为二的估计值■:
利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除?
-3;
?
3?
之外的数据,用剩下的数据估计’和匚(精确到
0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N:
A,¥
则P:
[L「3二:
Z•;
」-=0.9974.
0.997416:
0.9592,.0.008:
0.09.
(1)由题可知尺寸落在"
-3二,=【3二之内的概率为0.9974,落在-3二,J之外的概
率为0.0026.
0016
PX=0i=c061—0.99740.9974160.9592
PX_1]=1-PX=01-0.9592=0.0408
由题可知X~B16,0.0026
.EX严160.0026=0.0416
(2)(i)尺寸落在卩-3二,."
3二之外的概率为0.0026,
由正态分布知尺寸落在[丄-3二,二之外为小概率事件,
因此上述监控生产过程的方法合理.
(ii)
.二「3;
丁=9.97-30.212=9.334
J3;
「-9.9730.212=10.606
二一3二-9.334,10.606
‘9.22「-9.334,10.606,需对当天的生产过程检查.
因此剔除9.22
剔除数据之后:
宀15叫10.02.
222222
=[9.95_10.02|-,10.12_10.02|-(9.96-10.029.96_10.02|-,10.0^10.02
22222
9.92—10.029.98-10.02-10.04—10.0210.26-10.029.91-10.02
222221
10.13—10.02]亠|10.02—10.02j亠110.04—10.02j亠门0.05—10.02j「9.95—10.02]
15
0.008
二=0.0080.09
20.(12分)
22(
已知椭圆C:
冷+占=1(a>
b>
0),四点P(1,1),B(0,1),R—1
—
p£
中恰有三
a2b2(
2丿
I2丿
点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过巳点且与C相交于A、B两点,若直线&
A与直线F2B的斜率的和为-1,证明:
1过定点.
(1)根据椭圆对称性,必过F3、P4
又P4横坐标为1,椭圆必不过P1,所以过P2,P3,P4三点
冷代入椭圆方程得
8kb2-8k_8kb28kb
1+4k
4b2—4
14k2
=b--2k-1,此时厶--64k,存在k使得=;
-0成立.
•••直线l的方程为y二kx-2k—1所以I过定点2,一1.
21.(12分)
已知函数fx=ae2xa一2ex-x.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若fx有两个零点,求a的取值范围.
(1)由于fx=ae2x亠[a-2ex-x
故fx=2ae2xa-2ex-1二aex-12ex1
1当a冬0时,aex_1:
0,2ex10.从而fx:
0恒成立.fx在R上单调递减
2当a0时,令fx=0,从而aex一1=0,得x=-Ina.
(—,—Ina)
-Ina
(—Ina,)
f'
(x)
+
f(x)
单调减
极小值
单调增
综上,当a岂0时,f(x)在R上单调递减;
当a0时,f(x)在(-:
,-1na)上单调递减,在(-1na,;
)上单调递增
(2)由
(1)知,
当a岂0时,fx在R上单调减,故fx在R上至多一个零点,不满足条件.
当a0时,fmin=f—Ina=1Ina.
+1
令ga=1Ina.
111
令ga=1Inaa0,则g'
a20.从而ga在0,•二上单调增,而
aaa
g1=0.故当0:
a.1时,ga:
0.当a=1时ga=0.当a1时ga0
1工
若a1,则fmin=1-•Ina=ga0,故fx0恒成立,从而fx无零点,不满足条件.
若a=1,贝yfmin=1Ina=0,故fx=0仅有一个实根x=-Ina=0,不满足条件.
1aa2
若0:
a:
1,则fmin-1Ina<
0,注意到Tna0.f^=-10.
aeee
『3)1
故fx在-1,-1na上有一个实根,而又In--1In;
=Tna.
fin(a-i)
个实根.
-Ina,In!
3-1上有
IVa丿丿
又fX在na上单调减,在—Ina,•:
单调增,故fx在R上至多两个实根.
C(3H
又fx在:
-1,-Ina及|Ina,出一1丿J上均至少有一个实数根,故fX在R上恰有两个实
根.
综上,0:
a<
1.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、
22.[选修4-4:
坐标系与参考方程]
23题中任选一题作答。
如果多做,
则按所做的第一题计分。
x=3cosr,
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(v为参数)
』=sin日,
,直线I的参数方程为
4-x=a4t,
\(t为参数).
y=1-t,
(1)若a=—1,求C与I的交点坐标;
(2)若C上的点到I距离的最大值为,17,求a.
(1)a=_1时,直线I的方程为x,4y-3“.
曲线C的标准方程是—y2=1,
9
x亠4y-3=0
联立方程x22,解得:
6y「
x=3
y=0
21
x=
或丿2f,
y』
25
(
则C与I交点坐标是3,0和—,V2525丿
(2)直线I一般式方程是x•4y-4「a=0.
设曲线C上点p3cosv,sinv.
2124
则p到I距离丄论卄響一4^」5sin(日二)-4"
|,其中ta^.3.
V17J174
依题意得:
dmax二17,解得a=T6或a=8
23.[选修4-5:
不等式选讲]已知函数f_-x2ax4,gx=x1x-1.
(1)当a=1时,求不等式fx>
gx的解集;
(2)若不等式fx>
gx的解集包含〔-1,11,求a的取值范围.
(1)当a=1时,fX=_xx4,是开口向下,对称轴
x的二次函数.
2x,x1gx=x1_1=2,-1<
x<
1,
-2x,x:
_1
当X.(1,;
)时,令_x2x^2x,解得
17-1
gx在1,•:
上单调递增,fx在1,•:
上单调递减
(J171
•••此时f(x尸g(x)解集为1,*.
当x:
=[1,1]时,gX=2,fx>
f-1=2.
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