概率论与数理统计知识点总结.docx
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概率论与数理统计知识点总结
《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率
§1.1随机事件
一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件:
二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性:
§1.2概率
古典概型公式:
P(A)=A所含样本点数
()「所含样本点数
实用中经常采用排列组合”的方法计算
补例1将n个球随机地放到n个盒中去,问每个盒子恰有1个球的
概率是多少?
解:
设A:
每个盒子恰有1个球”求:
P(A)二?
Q所含样本点数:
n
nn...n=n
A所含样本点数:
n(n-1)(n-2)…1二n!
n
n
补例2:
将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少?
解:
设Ai:
信箱中信的最大封数为i”(i=1,2,3)求:
P(Ai)=?
Q所含样本点数:
44^4^64
A1所含样本点数:
4324
24
P(A5
A2所含样本点数:
Cl436
A3所含样本点数:
CI4=4
注:
由概率定义得出的几个性质:
1、0
2、P(Q)=1,P(©)=0
§1.3概率的加法法则
定理:
设A、B是互不相容事件(AB=©),贝卩:
P(AUB)=P(A)+P(B)
推论1:
设A1、A2、…、An互不相容,则
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(A
推论2:
设A1、A2、…、An构成完备事件组,则
P(A1+A2+...+An)=1
推论3:
P(A)=1-P(A)
推论4:
若B二A,则P(B-A)=P(B)—P(A)
推论5(广义加法公式):
对任意两个事件A与B,有P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)
补充——对偶律:
AA2
§1・4条件概率与乘法法则
条件概率公式:
P(A/B)二(P(B)半0)
p(B/A)二旦AB!
(P(A)工0)
P(A)
•••P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)
有时须与P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)中的P(AB)联系解题。
全概率与逆概率公式:
全概率公式:
n
P(B)=迟P(A)P(B/A)
i=1
逆概率公式:
P(A/B)=PA?
(i=1,2”..,n)
(注意全概率公式和逆概率公式的题型:
将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。
)
§1・5独立试验概型
事件的独立性:
A与B相互独立二P(AB)二P(A)P(B)
贝努里公式(n重贝努里试验概率计算公式):
课本P24
另两个解题中常用的结论一一
1、定理:
有四对事件:
A与B、A与B、A与B、A与B,如果其中有一对相互独立,则其余三对也相互独立。
2、公式:
P(A一A?
一…一An)=1-P(AA2...瓦)
第二章随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列:
⑴确定各种事件,记为•写成一行;
⑵计算各种事件概率,记为pk写成第二行。
得到的表即为所求
的分布列。
注意:
应符合性质——
1、Pk-0(非负性)2、apk=1(可加性和规范性)
k
补例1:
将一颗骰子连掷2次,以.表示两次所得结果之和,试写出的概率分布。
解:
Q所含样本点数:
6X6=36
所求分布列为:
7
3
4
5
6
7
S
9
10
11
12
Pk
1,36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
补例2:
—袋中有5只乒乓球,编号1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以•表示取出3只球中最大号码,试写出•的概率分布
3
解:
Q所含样本点数:
C5=10
3
4
5
pk
1/10
3/10
6/10
2、求分布函数F(x):
分布函数
F(x)=P-x=Pk
Xk_x
-X€R,如果随机变量•的分布函数F(x)可写成F(x)
x
二」(x)dx,则•为连续型。
(x)称概率密度函数。
才」
解题中应该知道的几个关系式:
(x)0(x)dx=1
b
P{a「二b}二P{abpF(b)-F(a}=(x)dx
a
第三章随机变量数字特征
一、求离散型随机变量的数学期望E=?
数学期望(均值)
E八XkPk
k
二、设为随机变量,f(x)是普通实函数,则n=f()也是随机变量,求En=?
Xi
X2
・・・
Xk
Pk
Pi
P2
・・・
Pk
n=f(E)
yi
y2
・・・
yk
以上计算只要求这种离散型的
补例1设•的概率分布为:
匕
—1
0
1
2
5
2
Pk
i
1
1
3
3
5
10
10
10
10
求:
⑴q=
t-1口=
32
匸的概率分布;
(2)E”
。
解:
因为
匕
—1
0
1
2
5
2
1
1
1
3
3
Pk
5
10
10
10
10
n=1
—2
—1
0
1
3
2
25
n=©
1
0
1
4
4
所以,所求分布列为:
n——1
—2
—1
0
1
3
2
Pk
1
丄
丄
3
5
10
10
10
10
和:
u7
25
n=匕
1
0
1
4
4
Pk
1
1
1
3
3
5
10
10
10
10
当n=-1时,En=E('-1)
111333
=-2X丄+(-1)X—+0X丄+1X^+YX_
5101010210
=1/4
当n=•'时,En=E--1xl+ox—+1x—+4X—+^25X?
5101010410
=27/8
三、求或n的方差D=?
实用公式D=E2-E2
其中,E2=(E)2=CXkPQ2
k
E2^x2kpk
k
补例2:
-2
0
2
Pk
0.4
0.3
0.3
求:
E和D
解:
E=-2X0.4+0X0.3+2X0.3=-0.2
E2=(-2)2X0.4+02x0.3+22X0.3=2.8
D=E2-E2=2.8—(-0.2)2=2.76
第四章几种重要的分布
常用分布的均值与方差(同志们解题必备速查表)
名称
概率分布或密度
期望
方差
参数范围
二项
=k—Ckpkqi
np
npq
0
分布
(k=0,1,2,...,n)
q=i-p
1
%x)e帀,
V2灯
正态
2
口任意
分布
+)戸,卩为常数.
(T>0
泊松
不要求
入
入
入>0
分布
指数
不要求
1
2
入>0
分布
k
A
解题中经常需要运用的E•和D的性质(同志们解题必备速查表)
E©的性质
D匕的性质
E(c)=c
D(c)二0
EC")=E©±E"
若独立,贝U
D(©±口)=D©+DH
若独立,贝U
E(幼)=E©En
E©)=cE:
D(C}=c2DE
第八章参数估计
§8.1估计量的优劣标准(以下可作填空或选择)
⑴若总体参数e的估计量为訂,如果对任给的£>o,有
limp{严-日|"}=,则称"是e的一致估计;n—:
:
⑵如果满足E(码八,则称-是e的无偏估计;
⑶如果日?
和两均是e的无偏估计,若D(眄) ),则称日? 是比誇有效的估计量。 §&3区间估计: 几个术语一一 1、设总体分布含有一位置参数,若由样本算得的一个统计量 硏(N,…,Xn)及必(心…,%.),对于给定的G(0<口<1)满足: P{^(N,,Xn)毗<9? (Xi,..,Xn)H1-« 则称随机区间(必,区)是日的100(1—0)%的置信区间,呂和忆称为二的100(1—■)%的置信下、上限,百分数100(1—)%称为置信度。 一、求总体期望(均值)E的置信区间 1总体方差匚1已知的类型 1据〉,得门0(U;.)=1—? 反查表(课本P260表)得临界值U; -1;a一-- 2x二—xi③求d=U_.•—④置信区间(x-d,x+d) nyUn 补简例: 设总体X~N(X0.09)随机取4个样本其观测值为12.6,13.4,12.8,13.2,求总体均值□的95%勺置信区间。 解: ①V1—a=0.95,a=0.05 •••①(Ua)=1—二=0.975,反查表得: U=1.962 ④所以,总体均值卩的a=0.05的置信区间为: (X—d,X+d)=(13—0.29,13+0.29)即(12.71,13.29) 2、总体方差二2未知的类型(这种类型十分重要! 务必掌握! ! ) ①据: •和自由度n—1(n为样本容量),查表(课本P262表)得 t: (n-1); 1/ ②确定x=—xi和s? n I2 (x-x)n-1y ni7 注: 无特别声明,一般可保留小数点后两位,下同。 二、求总体方差二2的置信区间 ①据a和自由度n—1(n为样本数),查表得临界值: (n_1)和: 二(n-0 _2 ④置信区间(下限,上限)典型例题: 补例1: 课本P166之16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正 a=0.04)。 试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计( 解: ①a=0.04,又n=10,自由度n—1=9 : (n-—爲(9)=2.53 2 10 ②x=Q: 1 =(482493...469)=457.5 10 •••查表得, 2 (X-Xi) =丄[(457.5-482)2+(457.5-493)2+…+(457.5-469)2] 9 工Jn7=応02(9)=19.7 2 =1240.28 (n-1)s29s2^1240.28 3上限匚^=訐=二5^=4412.06 2 2 (n-1)s9s29T240.28 下限1)=1^=19.7二566.63 2 4所以,所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为(566.63, 4412.06) 第九章假设检验 必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路: 1提出待检假设H0 2、选择统计量 3、据检验水平',确定临界值 4、计算统计量的值 5、作出判断 检验类型⑵: 未知方差二2,检验总体期望(均值)卩 ①根据题设条件,提出H/・1■二%(%已知); ③据〉和自由度n—1(n为样本容量),查表(课本P262表)得t.(n—1); ⑤作出判断 则接受 典型例题: 对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验,抽查5个,得到爆破压力的数据(公斤/寸)为: 545,545,530,550,545。 根据经验爆 破压认为是服从正态分布的,而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力 ~t(n-1) =0.05) 解: H0: 1=549 选择统计量 v: =0.05, n—仁4,二查表得: t°.o5⑷=2.776 —1 又Vx=—(545...545)=543 5 二接受假设,即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。 1根据题设条件,提出比匚=;「。 (J已知); 2选择统计量八(n-1)=⑴一叮2; ③据: •和自由度n—1(n为样本容量),查表(课本P264表)得临界值: 2i(n-11和2: (n-1); "22 4由样本值算出X=? 和s=? 从而得到52(n-1)=(n_叮2 CF 5若: 二5一1)<02(n-1)v\(口一1)则接受假设,否则拒绝 ~22 补例: 某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布,折断力方差二2=64,今从一批产品中抽10根作折断力试验,试验结果(单位: 公斤): 578,572,570,568,572,570,572,596,584,570。 是 否可相信这批铜丝折断力的方差也是64? (a=0.05) 解: 二=64 (n-1)s2 V: =0.05,n—仁9,二查表得: 〔(n-1)=20.025(9)=19 2 1 又丁X^578...57。 )=575.2 2122 s=—[(575.2—578)2...(575.2一570)2]=75.739 2975.73 2 0.025(9)=19 °^―曲 '0.975(9)=2.7v%2(n—1)=10.65< 二接受假设,即认为这批铜丝折断力的方差也是64。
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