高中物理 问题原型与延伸 专题43 牛顿运动定律的等时圆模型学案 新人教版必修1.docx
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高中物理问题原型与延伸专题43牛顿运动定律的等时圆模型学案新人教版必修1
专题4.3牛顿运动定律的“等时圆”模型
❅知识点拨
1、等时圆模型(如图所示)
2、等时圆规律:
(1)、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下,滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
(如图a)
(2)、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下,滑到圆的底端的时间相等。
(如图b)
(3)、沿不同的弦轨道运动的时间相等,都等于小球沿竖直直径(
)自由落体的时间,即
(式中R为圆的半径。
)
3、等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为
,圆的直径为
(如右图)。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动,加速度为
,位移为
,所以运动时间为
即沿各条弦运动具有等时性,运动时间与弦的倾角、长短无关。
规律AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆,A、B、C、D位于同一圆周上,A点为圆周的最高点,D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环(图中未画出),三个滑环分别从A处由静止开始释放,到达圆周上所用的时间是相等的,与杆的长度和倾角大小都无关.
【原型】“等时圆”模型
如图所示,AC、BC为位于竖直平面内的两根光滑细杆,A、B、C三点恰位于同一圆周上,C为该圆周的最低点,a、b为套在细杆上的两个小环,当两环同时从A、B点自静止开始下滑,则()
A.a环将先到达C点
B.b环将先到达C点
C.a、b环同时到达C点
D.由于两杆的倾角不知道,无法判断两环到达c点的先后
小环在AC上下滑的加速度a=gcosθ,因为小环做初速度为0的匀加速直线运动,根据位移时间关系有:
AC=
at2
即2Rcosθ=
gcosθt2,
解得:
t=
与杆的倾角θ无关,故C正确,ABD错误.
故选:
C。
★点评:
对圆环的受力分析是关键,然后根据牛顿第二定律求得加速度。
变型1、“等时圆”模型的一般情况
【延伸1】如图所示,通过空间任一点A可作无限多个斜面,若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是()
A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定
解析:
从等时圆的特殊情况推广到一般情况要求熟练掌握等时圆的特征。
★点评:
滑块是否传送带共速是临界条件。
变型2、从圆周外某点下滑模型
【延伸2】如图,位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点,与竖直墙相切于点A,竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600,C是圆环轨道的圆心,D是圆环上与M靠得很近的一点(DM远小于CM)。
已知在同一时刻:
a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点;c球由C点自由下落到M点;d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。
则:
()
A、a球最先到达M点B、b球最先到达M点
C、c球最先到达M点D、d球最先到达M点
【延伸3】如图所示,AB和CD是两条光滑斜槽,它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上,并且斜槽都通过切点P,有一个小球由静止分别从A滑到B和从C滑到D,所用的时间分别为t1和t2,则t1和t2之比为()
A.1:
1B.1:
2
C.
:
1D.1:
解析:
对物体受力分析可知:
当重物从A点下落时,重物受重力mg,支持力F,
在沿斜面方向上加速度是a1,重力分
mgcos30°=ma1
★点评:
学会在模型的启发下找到解决问题的思路和方法。
✿跟踪练习:
1.如图所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出),三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为0),用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间,则()
A.t1
2.倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点,CO=OB=10m,在C点竖直地固定一长10m的直杆AO。
A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳,且各穿有一钢球(视为质点),将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端,如图1所示,则小球在钢绳上tAC和tAB分别为(取g=10m/s2)
A.2s和2sB.
和2s
C.
和4sD.4s和
3.在一竖直墙面上固定一光滑的杆AB,如图所示,BD为水平地面,ABD三点在同一竖直平面内,且连线AC=BC=0.1m一小球套在杆上自A端滑到B端的时间为:
()
4.如图所示,在倾角为
的传送带的正上方,有一发货口A。
为了使货物从静止开始,由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带,则斜槽与竖直方向的夹角
应为多少?
答案与解析:
解得:
钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无关,且都等于由A到D的自由落体运动时间。
代入数值得t=2s,选项A正确。
3.以C为圆心作一个参考园。
由结论知,小球自A到B运动
的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。
即AE=2R=0.2m
AE=
gt
t=0.2s
4.如图所示,首先以发货口A点为最高点作一个圆O与传送带相切,切点为B,然后过圆心O画一条竖直线
,而连接A、B的直线,就是既过发货口A,又过切点B的惟一的弦。
根据“等时圆”的规律,货物沿AB弦到达传送带的时间最短。
因此,斜槽应沿AB方向安装。
AB所对的圆周角β为圆心角的一半,而圆心角又等于α,所以
。
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