第2章《二次函数》易错题集0423+二次函数的应用Word格式文档下载.docx
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a>0,△<0
a<0,△<0
a<0,△>0
6.(2014•工业园区一模)在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数y=﹣x2+6x﹣
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是( )
5
6
7
8
7.抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、B,点P在抛物线上,若△PAB的面积为27,则满足条件的点P有( )
1个
2个
3个
4个
8.(2010•丽水)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°
,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是( )
y=
9.如图所示,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=xm,长方形的面积为ym2,要使长方形的面积最大,其边长x应为( )
m
6m
15m
填空题
10.抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点,则p的值是 _________ .
11.若抛物线y=x2+5x+a2与直线y=x﹣1相交,那么它们的交点必在第 _________ 象限.
12.抛物线y=ax2+bx+c过(2,6),(4,6)两点,一元二次方程ax2+bx+c=k,当k>7时无实数根,当k≤7时有实数根,则抛物线的顶点坐标是 _________ .
13.(2009•东丽区一模)二次函数y=x2+(2+k)x+2k与x轴交于A,B两点,其中点A是个定点,A,B分别在原点的两侧,且OA+OB=6,则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为 _________ .
14.抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有 _________ 个.
15.(2006•凉山州)如图,矩形ABCD的长AB=4cm,宽AD=2cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线的顶点是O,关于OP对称且经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是 _________ cm2.
1、经过点A(-4,5)的抛物线y=-x2+bx+5与y轴交于点B.点M在抛物线的对称轴上,点N在抛物线上,且以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形.则点N的坐标为
参考答案与试题解析
考点:
二次函数的性质;
二次函数图象与几何变换;
抛物线与x轴的交点;
二次函数与不等式(组).菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
A、当x<1时,在对称轴右侧,由此可以确定函数的单调性;
B、若图象与x轴有交点,即△=16+4a≥0,利用此即可判断是否正确;
C、当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集可以求出,然后就可以判断是否正确;
D、根据平移规律可以求出a的值,然后判断是否正确.
解答:
解:
二次函数为y=x2﹣4x﹣a,对称轴为x=2,图象开口向上.则:
A、当x<1时,y随x的增大而减小,故选项正确;
B、若图象与x轴有交点,即△=16+4a≥0则a≥﹣4,故选项错误;
C、当a=3时,不等式x2﹣4x+a<0的解集是1<x<3,故选项正确;
D、原式可化为y=(x﹣2)2﹣4﹣a,将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=(x+1)2﹣3﹣a.
函数过点(1,﹣2),代入解析式得到:
a=3.故选项正确.
故选B.
点评:
此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系,以及图象的平移规律.这些性质和规律要求掌握.
二次函数图象与系数的关系;
抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
∵开口方向向上,
∴a>0,故④正确;
∵对称轴为x=
,0<x1<1,1<x2<2,
∴
<﹣
<
,
∴4a+b>0,
>1,
∴2a+b<0,
∵y轴交于点(0,2),
∴c=2,
∵0<x1<1,1<x2<2,x1•x2=
∴0<
<2,
∴a>1,
∴1<x1+x2<3,
即1<x1+x2=﹣
<3,
∴3a+b>0,a+b<0,
∴3a+b>0,故②正确;
由3a+b>0减去a>1得:
2a+b>﹣1,
故①正确;
由3a+b>0减去2a<2得:
a+b<﹣2,
故③正确;
由3a+b>0减去两个a+b<0得:
a﹣b>0,
故⑤错误.
∴正确的有①②③④.
故选A.
考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定.
压轴题;
新定义.
由题意可知:
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点,判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2的零点的个数,也就是判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2与x轴交点的个数;
根据△与0的关系即可作出判断.
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点
△=(﹣m)2﹣4×
1×
(m﹣2)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4
∵(m﹣2)2一定为非负数
∴(m﹣2)2+4>0
∴二次函数y=x2﹣mx+m﹣2(m为实数)的零点的个数是2.
考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数.
因为x2﹣2x+1=0中,△=(﹣2)2﹣4×
1=0,有两个相等的实数根,图象与x轴有一个交点,再加当y=0时的点即可.
当x=0时y=1,当y=0时,x=1
∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个.
故选:
解答此题要明确抛物线y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2﹣2x+1=0解的个数有关,还得考虑与y轴相交.
根据二次函数的性质可知,只要抛物线开口向上,且与x轴无交点即可.
欲保证x取一切实数时,函数值y恒为正,则必须保证抛物线开口向上,且与x轴无交点;
则a>0且△<0.
当x取一切实数时,函数值y恒为正的条件:
抛物线开口向上,且与x轴无交点;
当x取一切实数时,函数值y恒为负的条件:
抛物线开口向下,且与x轴无交点.
找到函数图象与x轴的交点,那么就找到了相应的x的整数值,代入函数求得y的值,那么就求得了y的范围.
将该二次函数化简得,y=﹣[(x﹣3)2﹣
],令y=0得,x=
或
.画出图象可知,在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2)七个.
故选C.
本题涉及二次函数的图象性质,解决本题的关键是得到相对应的x的值.
y=0,可求得A,B两点的坐标,也就求得了AB之间的距离,根据△PAB的面积为27,可得点P的纵坐标的绝对值,代入函数解析式可得点P的个数.
∵抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、B两点.
∴0=x2﹣4x﹣5,
∴x1=﹣1,x2=5,
∴AB=5﹣(﹣1)=6,
∵△PAB的面积为27,
∴点P的纵坐标的绝对值为2×
27÷
6=9,
①当纵坐标为9时,
x2﹣4x﹣5=9,
x2﹣4x﹣14=0,
△>0,
∴在抛物线上有2个点;
②当纵坐标为﹣9时,
x2﹣4x﹣5=﹣9,
△=0,
∴在抛物线上有1个点;
∴满足条件的点P有3个,故选C.
用到的知识点为:
x轴上的点的纵坐标为0;
△>0,与抛物线有2个交点;
△=0,与抛物线有1个交点,△<0,与抛物线没有交点.
根据实际问题列二次函数关系式.菁优网版权所有
四边形ABCD图形不规则,根据已知条件,将△ABC绕A点逆时针旋转90°
到△ADE的位置,求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题;
根据全等三角形线段之间的关系,结合勾股定理,把梯形上底DE,下底AC,高DF分别用含x的式子表示,可表示四边形ABCD的面积.
作AE⊥AC,DE⊥AE,两线交于E点,作DF⊥AC垂足为F点,
∵∠BAD=∠CAE=90°
,即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD,∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE(AAS)
∴BC=DE,AC=AE,
设BC=a,则DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a,
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a,
在Rt△CDF中,由勾股定理得,
CF2+DF2=CD2,即(3a)2+(4a)2=x2,
解得:
a=
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=
×
(DE+AC)×
DF
=
(a+4a)×
4a
=10a2
x2.
本题运用了旋转法,将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积,充分运用了全等三角形,勾股定理在解题中的作用.
二次函数的应用.菁优网版权所有
本题考查二次函数最小(大)值的求法.思路是:
长方形的面积=大三角形的面积﹣两个小三角形的面积.
根据题意得:
y=30﹣
(5﹣x)
﹣
x(12﹣
),
整理得y=﹣
x2+12x,
=﹣
[x2﹣5x+(
)2﹣
],
(x﹣
)2+15,
∵
∴长方形面积有最大值,此时边长x应为
m.
故选D.
求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y=﹣x2﹣2x+5,y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单.
10.抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点,则p的值是 ±
12 .
抛物线与x轴只有一个交点,则△=b2﹣4ac=0,列方程求解.
根据题意:
p2﹣4×
9×
4=0,
解得p=±
12.
该题考查函数图象与坐标轴的交点判断,以及解方程,知识范围广.
11.若抛物线y=x2+5x+a2与直线y=x﹣1相交,那么它们的交点必在第 三 象限.
利用一次函数,二次函数的图象及其性质,通过形数结合的分析,得出判断.
∵抛物线y=x2+5x+a2的图象经过一,二,三象限,直线y=x﹣1经过一,三,四象限,但抛物线与y轴交于(0,a2),直线与y轴交于(0,﹣1),一个在y轴正半轴,一个在y轴负半轴,不可能在第一象限相交,必在第三象限相交.
本题考查了一次函数,二次函数的图象的关系.
12.抛物线y=ax2+bx+c过(2,6),(4,6)两点,一元二次方程ax2+bx+c=k,当k>7时无实数根,当k≤7时有实数根,则抛物线的顶点坐标是 (3,7) .
根据所给的抛物线上的点得到抛物线顶点的横坐标,根据有无实数根可判断出顶点的纵坐标.
∵(2,6),(4,6)两点关于直线x=3对称,
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,即抛物线的顶点横坐标为3,
∵一元二次方程ax2+bx+c=k,当k>7时无实数根,当k≤7时有实数根,
∴7为函数y=ax2+bx+c的最大值,即抛物线的顶点纵坐标为7,
则抛物线的顶点坐标是(3,7).
抛物线上纵坐标相同的两点都关于对称轴对称,同时顶点坐标的纵坐标就是此二次函数的最值.
13.(2009•东丽区一模)二次函数y=x2+(2+k)x+2k与x轴交于A,B两点,其中点A是个定点,A,B分别在原点的两侧,且OA+OB=6,则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为 (
,0)或(﹣
,0) .
先根据A,B分别在原点的两侧,且OA+OB=6设出A、B两点的坐标,再根据两根之和公式与两根之积公式求得k的值,让直线的y的值为0即可求得直线y=kx+1与x轴的交点坐标.
∵A,B分别在原点的两侧,A点在左侧,且OA+OB=6,
∴设A(a,0),则B(6+a,0),
∵函数y=x2+(2+k)x+2k的图象与x轴的交点就是方程x2+(2+k)x+2k=0的根,
∴a+6+a=﹣(2+k),a•(6+a)=2k,
即2a=﹣k﹣8,6a+a2=2k,
解得a=﹣8,或a=﹣2,
当a=﹣2时,k=﹣4,
∴直线y=kx+1为直线y=﹣4x+1,与x轴交点坐标为(
,0),
当a=﹣8时,k=8,
∴直线y=kx+1为直线y=8x+1,与x轴交点为(﹣
,0)(不合题意舍去)
故直线y=kx+1与x轴的交点坐标为(
,0).
当告诉二次函数与x轴的两个交点时,利用根与系数的关系求得相关未知数的值是解题关键.
14.抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有 3 个.
根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与x轴交点的个数,根据c的值可以判断出二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与y轴有无交点.
∵b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
2×
3=1>0,
∴二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与x轴有两个交点
∵c=3≠0,
∴二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与y轴有1个交点,
∴抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有3个.
考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴交点的个数的判断.
15.(2006•凉山州)如图,矩形ABCD的长AB=4cm,宽AD=2cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线的顶点是O,关于OP对称且经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是
cm2.
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观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积,其半径为AB的
,根据面积公式即可解答.
观察图形,
根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积,
其半径为AB的
,即半径为1,易得其面积为
.
故答案为:
本题考查不规则图形的面积求法,要根据图形的对称性与相互关系转化为规则的图形的面积,再进行求解.
参与本试卷答题和审题的老师有:
lanchong;
wenming;
CJX;
HJJ;
zcx;
csiya;
张长洪;
hbxglhl;
zhangCF;
ZJX;
蓝月梦;
lanyan;
自由人;
399462(排名不分先后)
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2014年10月24日
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- 二次函数 二次 函数 易错题集 0423 应用