二次函数中的存在性问题.docx
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二次函数中的存在性问题.docx
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二次函数中的存在性问题
二次函数&几何
【相似】
1、如图,抛物线y=a(x+3)(x-1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(-2,6).
(1)求a的值及直线AC的函数关系式;
(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相似?
如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由.
【特殊图形或直角】
1、在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板
放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点
,点
,如图所示:
抛物线
经过点
.
(1)求点
的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点
(点
除外),使
仍然是以
为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点
的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图,已知抛物线
与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
3、如图,已知抛物线y=
+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90º的点P的坐标.
【几何】
4、如图,抛物线y=-
+
+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,
设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.
5、如图所示,在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正
半轴上,抛物线y=
经过点A、B和D(4,
).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度
向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=
(
)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取
时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,
求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.
6、如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,0)、B(-2,2),连接OB、AB,
(1)求该抛物线的解析式.
(2)求证:
△OAB是等腰直角三角形.
(3)将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′,写出A′B′的中点P的坐标,试判断点P是否在
此抛物线上.
(4)在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形ABOM成直角梯形,若存在,请求出点M坐标及该直角
梯形的面积,若不存在,请说明理由.
7、已知抛物线y=
-mx+2m-
.
(1)试说明:
无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)如图,当抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并
与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的
四边形是平行四边形.
8、如图,抛物线
的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形;
(3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的四边形为平行四边形?
若
存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
9、如图,已知二次函数
的图象经过A(-2,-1),B(0,7)两点.
(1)求该抛物线的解析式及对称轴;
(2)当x为何值时,y>0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作x轴的垂
线,垂足分别为F,E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.
10、已知:
关于x的一元二次方程:
.
(1)求证:
这个方程有两个不相等的实数根;
(2)当抛物线
与x轴的交点位于原点的两侧,且到原点的距离相等时,求此抛物线的解析式;
(3)将
(2)中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分保持能够不变,得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2,当直线
(b<0)与图形C2恰有两个公共点时,写出b的取值范围.
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- 二次 函数 中的 存在 问题