GCT数学公式总结doc.docx
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GCT数学公式总结doc
GCT常用数学公式总结
算术应用题部分
植树问题
1非封闭线路上的梢树叫题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长+株距一1全长=株距X(株数一1)
株距=全长+(株数一1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长+株距全长=株距X株数株距=企长+株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数一1=全长+株距一1全长=株距株数+1)
株距=全长+(株数+1)
2封闭线路上的植树W题的数量关系如下株数=段数=全长+株距全长=株距X株数株距=全长+株数盈亏问题
(盈+亏)+两次分配量之差=参加分配的份数(大盈一小盈)+两次分配量之差=参加分配的份数(大亏一小亏)+两次分配量之差=参加分配的份数相遇问题
相遇路程=速度和X相遇时间相遇时间=相遇路程+速度和速度和=相遇路程+相遇时间追及问题
追及距离=速度差X追及时间追及时间=追及距离+速度差速度差=追及距离+追及时间流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度一水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)+2
水流速度=(顺流速度一逆流速度)+2
浓度问题
溶质的重兑+溶剂的重:
W:
=溶液的重兑
溶质的重量+溶液的重量x100%=浓度
溶液的重量x浓度=溶质的重量
溶质的重量+浓度=溶液的重量
利润与折扣问题
利润=售出价一成本
利润率=利润+成本X100%=(售出价+成本一1)x100%涨跌金额=本金x涨跌百分比折扣=实际售价+原雋价x1oo%(F^卩<1)
利息=本金X利率X时间
税后利息=本金X利率X时间X(1—20%)
一、初等数学部分
1•徳摩根公式Cb,(AC]S)=CuA[jCuB;Ccl(Ai)B)=CuAC]CuB.
2.A[}B=A^A[^B=B^A^B^CUB^CUA^A^CUB=^^Cc,A\jB=R
3.card(A\JB)=cardA+cardB-card(A门B)
card(AUBUC)=cardA+cardB+cardC-card(AC\B)
-card(Ar\B)-card(BC\C)-cwy/(C门A)+carcl(AV\BC\C).
4.二次函数的解析式的三种形式①一般式/0;)=似2+如+6>(#0);②顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a0):
③零点式/(x)=a(x-x})(x-x2)(a0).
5.设X,•%2G[cz,/?
],%,x2那么
卜)〉0白/(X)在上是增函数;
X,-x2
(%J-x2)[/(^!
)-f(x2)1<0»’⑷―•’(、)<0。
/(X)在[“,/?
]上是减函数.
x}-x2
设函数y=在某个区间内可导,如果/Cr)〉0,则/U)为增函数;如果f\x)<0,则/(x)为减函数.
6.函数>,=/(x)的图象的对称性:
①函数>,=/(x)的图象关于直线x=对称«f(a+x)=f(a-x)«f(2a-x)=f(x).②函数y=f(x)的图象关于直线
对称@f(a+nvc)=f(b-mx)<=>f(a+/?
—mx)=f(twc).
7.
对称.③函数}=/(x)和y=/_l(x)的图象关于直线y=x对称.
2m
两个函数图象的对称性:
①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.②函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的阁象关于直线a+b
1
8.
分数指数幕an=,——(“〉O,m,neAT,且n>l)•
9.log"N=bah=N(a〉0,tz关1,TV〉0).
10.对数的换底公式.推论logbn=-log,b.
log,爪
13.等比数列的通项公式人=a'q“=—-qn(nEN*);
q
15•分期付款(按揭贷款)每次还款x=元飾元,扇青,每期利率为
b).
17.正弦、余弦的诱导公式
asina+bcosa-yia1+b2sin(6Z+识)(辅助角p所在象限由点(“,/?
)的象限决
定,tan识=—).a
19.
2tana
二倍角公式sin26Z=sin«rcos6r.
cos2a=cos2a-sm2a=2cos2a-i=l-2sin2a.tan26r,
1-tan^a
20.三角函数的周期公式函数y=sin(a)x+识),xeR及函数=cos(a)x+炉),xeR(A,
x^k}T+—,kEZ(A, 且A矣0,<o〉0)的周期r= 2 co 21.正弦定理 abc 2R. sinAsinBsinC 22.余弦 定理a2=b2^c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB w,炉力常数,且a关o,(o〉o)的周期r= co c2=a2+b2-2abcosC. 23.面积定理 (1)5=—ciha=—bhh=—ch(.U、、hb、分别表示a、b、c边上的高).222 (2)S=—absinC=—bcsinA=—casinB. 222 ⑶|yl(\OA\\OB\)2-(OAOB)2. 24.三角形内角和定理在AABC中,有 «2C=2^-2(A+B). A+B+C=7TC=^—(A+B)<^>—=—— 22 25.平面两点间的距离公式 dA.B=\AB1=二7(易一6)2+();2—)71)2(AOw’i),bU2,),2)). 26.向量的平行与垂直设JzLt^O,则 aDb<=>b=Xa«jv,j2-x2y,=0. a丄b(a关0)<=>a•b=0«>x,x2+j,y2=0. 27. 实数,且c尸=则 线段的定比分公式设,乂),P2O2,y2),PCyj)是线段的分点,又是 2 x,+Ax2 1+义«OP=OP]+WP2OP=tOP^{\-t)OP. y\+^y2i+A~ 1+A 28.三角形的重心坐标公式AABC三个顶点的坐标分别为A(xpyi)、B(x2,y2)、 C(x3,y3),则AABC的重心的坐标是6( 29.点的平移公式 X—X-\rh\X—X—h;: /rr-1-rrz1X/-.V «.<^OP=OP^PP(阁形F上的任意一 y=[y=y-k 点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P’(x,y),且PP’的坐标为(//,幻). 30.常用不等式: (1)67,/^/? =>6? +6222以(当且仅当&=1)时取“二”号). (2)a,beR+=>^->4^b(当且仅当a=b时取“=”号). 2 (3)a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0). (4)柯丙不等式(《2+b2)(c2+e/2)>(ac+bd、2,a,b,c,deR. (5)\a\-\b\<|«+/? |<\a\+\b\ 31.极值定理己知;c,y都是正数,则有 (1)如果稅是定值p,那么当a=j,吋和a*+y有最小值2^; (2)如果和*+;>,是定值,那么当x=y时积xy有最大值h2. 。 4 32.一元二次不等式or2+/zr+c〉0(或<0)(tz0,A=/? 2-4ac〉0),如果tz与 or2+/? x+c同号,则其解集在两根之外;如果与or2+/zr+c异号,则其解集在两根之间.简言之: 同号两根之外,异号两根之间. x{ X 33.含有绝对值的不等式当a〉0吋,有 |x|%2 \x\>ax2>a1x>x<-a. [/(x)>0 34.无理不等式 (1)yjf(x)>yfgM\W0 (2)yjf(x)>g(x) fM>o g(x)>0或fM>[g(x)]2 f(x)>0 (3)yjf(x)<<=> f(x)<[g(x)]2 35.指数不等式与对数不等式 (1)当〃〉1时, 7W>0 af{x}>ci^x}<=>f(x)>g(x);loga/(x)>logag(x)<=>g(x)>0 ⑵当0<^<1时, 7W>0 a’⑺〉y⑴<=>,⑶ f(x) 36.斜率公式k=—~—(fOu)、P7(x,,)s))• 37.直线的四种方程 (1)点斜式y-y,=k(x-x{)(直线/过点以久乂),且斜率为々). (2)斜截式y=Ax+/)(b为直线/在y轴上的截距). (3)两点式—―—=XXl(y{^>\)(Py(x^,y2)(%丨矣x,)). >2-y.^2-^1-"" (4)—般式Ar+fiy+C=O(其中A、B不同时为0). 38.两条直线的平行和垂直 (1)若“: y=k'x+b',l2..y=k2x+b2 ®l^l2^>k{=k2,b,矣/? 2;②/,丄/2人=_1. (2)若A: 4%+gy+=0,Z2: 打2),+Q=0,且Aj、A2、Bi、B2都不为零, ©/,□/,<=>—=—;②&丄/2G/4,4gfi2=0; Aqj^2C? 2 39.夹角公式tan6Z=|-^—7-1.(/,: y=k}x+b},I,: y=k,x+b,,k,k,/-l) 1+众人'~~ AjA? +Bj 71 tana=^^―^L(/l: B,y+C,=0,/2: A,%+B2y+C2=0,4^+5丨B,^0). 直线(丄Z7时,直线6与/2的夹角是-2 40.点到直线的距离6/二1+办}+C1(点P(x。 ,y。 ),直线/: Ar+办+C=0). 7A2+B2 41.圆的四种方程 (1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2. (2) (3)圆的参数方程 圆的一般方程x2+y24-D^+£y+F=0(£>2+£2-4F>0).x=6z+rcos^y=Z? +rsin沒 (4)圆的直径式方程(x-xJO—y+G,-MXy-.yJzO(圆的直径的端点是他,%)、J5(x2,y2)). 42.椭圆=1(“>/7>0)的参数方程是卜卯0Sf• ab"[y=bs\n3 2222 43.椭圆~+寻=1(“〉/7〉0)焦半径公式|Pf;卜心+[),\PF2\=e(--x). 礼双曲线4-4=i(“〉〉0)的焦半径公式trtr 22 \PF}\=\e(x+—)\,\PF2\=\e(--x)\. 45.抛物线y2=2px上的动点可设为P(1,>J或P(2pz2,2⑻或P(u。 ),其中 2夕 X2=2pxo. 46.二次函数y二or2+to+dU+土)2+,^(6^0)的图象是抛物线: (1)顶点 2a4a 坐标为(-±,±Ez^L); (2)焦点的坐标为(-上,4队’-/r+1);(3)准线方程是2a4a2a4a 4ac-b2-1 4a 47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式网=人1「又2)2+()、1)2或 |Afi|=^(1+/: 2)(%2-%,)2=|%,-%21Vl+tan26T=|y,-y21yll^-coVa(弓玄端点 { V—kx+b 消去y得到or2+/? %+c=0,A〉0,a为 F(x,y)=O 直线AB的倾斜角,&为直线的斜率). 48.圆锥曲线的两类对称问题: (1)曲线F(x,y)=0关于点P(x。 ,八)成中心对称的曲线是F(2x0-%,2y0-^)=0. (2)曲线F(%,>,)=0关于直线Ar+Sy+C=0成轴对称的曲线是 49.“四线”一•方程对于一般的二次曲线Ax2+ftQ,+Cy2+G¥+£>,+F=0,用%x 似,用似代A用^代巧,用f代,,用~2代、即得方程 ¥+小%())了。 +6>。 >,+/).^^+£.气^+尸=0,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到. 50.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b^O),a//b«存在实数人使a=入b. 51.对空间任一点0和不共线的三点A、B、C,满足=+ 则四点P、A、B、C是井面《;c+y+z=l. 52.空间两个向量的夹角公式cos<a,b)二〜)'(a= (6Z|,6^2,“3),b—(/? 】,/? 2,么))• 53.直线/IB与平面所成角为平面a的法向量). \AB\\m\ •—♦搴—> 54.二面角a-l-P的平面角沒=eirccos己1或兀-arccqsT'(z? z,n为平 \m.\\n\|m||n| 面汉,/? 的法向量). 55.设AC是a内的任一条直线,且BC丄AC,垂足为C,又设A0与AB所成的角为0,AB与AC所成的角为巧,A0与AC所成的角为么Wijcos^=cos^,cos^2. 56.若夹在平面角为p的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是0^0^与二面角的棱所成的角是G,则有 sin2(ps\x\~d=sin26}+sin2d2-2sind}sin^2cos识; \3,-e2\<(p<180°-+巧)(当且仅当沒二90°时等号成立). 57.空间两点间的距离公式;若AbpypZj,B(x2,y2,z2),贝ijd^B~\^\=」AB•AB=yj(x2—戋)2+(y2—)、)2+(z2—zj2• 58.点2到直线/距离(点P在直线Z上,直线/的方向向量 1^1 a=PA,向量b=@). 别是/p/2上任一点,6/为/,,/2间的距离). 60.点B到平面汉的距离为平面汉的法向量,AB是经过面汉的一条 1"1 斜线,Aea). 61.异面直线上两点距离公式d=a/^2+m2+n2-2fnncos3 (两条异面直线a、b所成的角为e,其公垂线段A4’的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、AE=m,AF=n,EF=d). 62./2=/,2+1\+/32<=>cos20+cos202+cos2=1 (长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为/,、/2、/3,夹角分别为0、么、A)(立几屮长方体对角线长的公式是其特例). 63.面积射影定理5=^- COS沒 (平面多边形及其射影的面积分别是5、S’,它们所在平面所成锐二面角的为沒). 64.欧拉定理(欧拉公式)7+厂-£=2(简单多面体的顶点数¥、棱数E和面数F) 4 65.球的半径是R,则其体积是V=-;r/? 3,其表面积是S=4;r/? 2. 3 66.分类计数原理(加法原理)77=/^+"22+〜+m„. 67.分步计数原理(乘法原理)N=fnAxm2x--xmn. 68•排列数公式A: =n(n-1)•••(n-m+1)=.(",mEN*,且mS/? ). (n-m)! 69•排列恒等式 (1)<+ (2)<二;(3)二以二1;(4) ⑸dx 70•组合数公式=——m+1)=_-_(/7,mEN*,且 A: 1x2x…xmm! -(n-m)! 71.组合数的两个性质 (1)=; (2)C: ;+ 72•组合恒等式 (1)c: ="7+1c: -i; (2)C;=—C^;(3)C;=-C^; mn-mm ⑷tw5)cw+i+cy…+c: =O r=0 73.排列数与组合数的关系是: • 74.二项式定理(a+b)H=C^af,+C! an-lb+C^n-2b2+…+C: W+…+C: b”;二项展开式的通项公式: 7;+1=C>n一7/(r=0,l,2…,冰 75.等可能性事件的概率P(A)=-. n 76.互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P⑻. 77.Z2个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)二PUD+P(A2)+…+P(An). 78.独立事件A,B同时发生的概率P(A•B)=P(A)*P⑻. 79.n个独立事件同时发生的概率P(Ai-A2An)=P(A! )-P(A2)P(An). 80.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率= 81.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1)/>>0(/=1,2,-); (2)/J+P2+"=l. 82.数学期望=;/]+x2P2+…+… 83.数学期望的性质: (1)E«+b)=aE《)+b; (2)若f〜B(n,p),则拉=np• 84.方差恥=(七-钇)2.Pi+Cr2-琛)2.A+."+(x厂钇)2.凡+… 85.标准差 86•方差的性质⑴D⑷二段2-(段)2; (2)£>«+/? )二(3)若卜B(n,p),贝ij=np(l-p). 87.正态分布密度函数/—e2(7~(-oo,+oo)式中的实数u,(<7>0)<2^(7 是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 1上 88.标准正态分布密度函数=2(—,+oo). yj27T(J 89.对于yv(//,cr2),取值小于x的概率= P(x, 90.回归直线方程y=a+bx,其中 b=^—;! Z(x/-J)2 /=1 a=y-bx '•=1 Yxi 2-rix2 91.相关系数 E(〜-无)2Z(乂-歹)2-^2)(Ez2-^2) '•=1 /=! r|^l,且|r|越接近于1,相关程度越大; 0 92.特殊数列的极限 (1)limf二 r|越接近于0,相关程度越小.1^1<1 1q=\^ 不存在|彳|<1或0=-1(^<0 (2)加以+义-,1+•••+“()_ 'hocbtnl+bt_'n—+/,0 5. hk (k=t). 不存在(k>t) aA\-qn\ (3)S=lim^_」= \-q\-q 93.limf(x)=a«limf(x)=lim/(x)=6z.这是函数极限存在的一个充要条件. X->.V0'.V-»X0+ 94.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点xo的附近满足: (1)g(x) (2)limg(x)=a,limh(x)=a(常数),则lim/(x)=6? (S无穷等比数列{邮"-1}(|^|<1)的和). A•—>.X0 X—>A0 本定理对于单侧极限和-X^oo的情况仍然成立. sinx 95.两个重要的极限 (1)lim二二=1; (2)lim .V-^0JQ.Y—>«*> 96./(x)在处的导数(或变化率或微商) lim=lim/^o^)-/(xo) zlv->0\xzlv->0 Av 97.瞬时速度z;=/(z)=lim—=lim A/^0A/->0 5(Z+Az)-5(Z) Ar ^(e=2.718281845-). 98.瞬时加速度"=i/(z)=lim,=lim冲+心卜⑹. A/^0△,A/^0△, 99./(x)在(a,b)的导数f\x)=/=-^-=^=lim^-=lim■/(久也)-•’⑴ dxclxArAx 100.函数y=f(x)在点%处的导数是曲线>,=/(%)在,/(x。 ))处的切线的斜率fM,相应的切线方程是y-凡=/(x0)(x-x0). 101.几种常见函数的导数 (1)Cz=0(C为常数). (2)(%”)’=nx"~](/? gQ). (3)(sinx/=cosx. (4)(cos%/=-sinx. (5)(Inx)’=丄;(logaxy=-logae.xx (6)(eK/=ex;(axY=a"\na. 102.复合函数的求导法则设函数u=(p(x)在点x处有导数w/=识0),函数>=/(W)在点X处的对应点U处有导数凡=f'(u),则复合函数y=/(识(X))在点X 处有导数,且父=乂乂,或写作乂: (识(X))=/(M)f(X). 103.可导函数y=f(x)的微分办=f\x)dx. 104.a+bi=c+dioa=c,b=d•(a,b,c,dg/? ) 105.复数z二tz+W的模(或绝对值)\z\=\a+bi\=yla2+b2. 106.复数的四则运算法则 (1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(/? +d)i; (2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i•, (3)(“+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i; (4)(a+bi)^(c+di)=ac^bd+bc~ad/(c+^zVO). c,c“ 107.复平面上的两点间的距离公式d=\zx~z21=—)"+(y2—)2 (z,=x,4-y}i,z2=x2+y2i). 108.向量的垂直非零复数z,二tz+W,二c+必对应的
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