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握手问题教学设计
“握手问题”模型构建片段教学设计
泉港圭峰中学刘文硕
教学背景介绍
华师大版教材七年级上册P151第四章复习题第21题学生错误较多。
通过对学生的了解,发现大多数学生根本不知道从何入手解决这个问题。
原题如下:
我们知道,2条直线相交只有1个交点,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两相交最多有6个交点,5条直线两两相交最多有10个交点,6条直线两两相交最多有15个交点,……,n条直线呢?
联想到初中几何问题中的许多题目都与该问题相似,如:
数线段条数、直线条数、角的个数、多边形的对角线条数问题;单循环比赛的比赛场次问题等。
同时考虑到此问题与高中教学内容“排列与组合”衔接较密切,因此,我上了一节“握手问题”数学模型的研究性学习课。
以下是课堂导入部分的设计。
教学设计
一、教学目标:
【整节课目标】
1、知识与技能:
通过学生自主探究,互动研讨等形式多样的实践活动,形成对“握手问题”实质的
理解,形成这类数学问题的知识链,掌握这类数学问题的解题关键。
2、过程与方法:
通过猜想、游戏、画图、讨论等活动,让学生初步感知化归、类比、从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。
3、情感态度与价值观
(1)通过“握手”问题情境的创设,对学生进行文明礼仪教育,激发学生学习兴趣和探索欲望。
(2)让学生在问题解决中体验成就感,体会学习的快乐。
(3)通过模型的构建过程,体验数学与生活的紧密联系,培养自主探索精神和团结协作意识。
【本片段目标】
1、利用握手情景引入课题,通过引导学生参与课堂活动,诱发学生的求知欲望和积极思维,激发学习兴趣,为后续课堂的顺利开展奠定基础。
2、使学生经历猜想、游戏、画图等活动,加深对“握手问题”实质的理解,并能把该思维方式迁移到后续课堂其他数学问题的思考。
二、教学重难点:
【整节课重难点】
重点:
加深对“握手问题”实质的理解,并能应用该模型解决实际问题。
难点:
从实际问题中抽象、转化为握手问题进行解答。
【本片段重难点】
重点:
通过握手过程,探索计算方法,加深对“握手问题”实质的理解,培养学
生探究能力。
难点:
计算方法的探究过程。
即如何安排有序握手,才能发现计算方法。
三、教学方法:
情景导入法、游戏法、观察法、讨论法、发现法、探究归纳法
四、教学过程:
(一)创设情境,激趣导入
我国是一个文明古国,礼仪之邦,大家在初次见面时都要互相握手,以示友好。
老师今天与同学们初次见面,让我们来认识一下吧!
(与前排某个同学做出握手姿势,握完后说:
“初次见面,请多关照!
”)同学们互相之间是不是也应该……(同学之间开始握手)很好,因时间关系,我们握手到此为止。
但老师现在有一个问题,我们班假如有20个同学,如果每两个同学之间互相握手一次,那么一共握手多少次?
你们先小组之间互相讨论一下,再猜一猜答案。
[设计意图]通过“握手”这样一个起点低,贴近学生生活,符合学生认知水平的问题情境作为课堂导入,即对学生进行了文明礼仪的教育,又一下拉近了师生之间的距离,活跃了课堂气氛,激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望,同时又过渡自然,直接进入主题。
(二)小组讨论,猜想答案
1、老师让学生短暂讨论之后,请各小组代表报告答案并说明计算方法及理由。
[设计意图]这种讨论的目的并不指望同学能获取解决问题的方法,而是要激起学生的求知欲
望,所以时间不宜太长。
2、老师引导:
刚才4个小组的同学都报出了自己的答案,但谁的答案是正确的呢?
不忙,我们知道研究数学问题有一个重要方法,那就是先把复杂问题简单化,20个人太多,能不能先考虑4个人每两个人互相握手一次,共握几次?
[设计意图]因为对“握手问题”实质理解不深,所以学生的答案可能五花八门,这就造成了更多学生的认知冲突(到底谁的答案是对的?
),就会激起学生更强烈的求知欲望。
此时老师适时引导,加深学生对“复杂问题简单化”这一重要数学思想方法的体验。
(三)游戏演示,探索规律
1、让4位同学上台做互相握手演示,同学观察并思考
[设计意图]七年级学生个性天真活泼,通过游戏,进一步激发学生的学习兴趣。
2、老师引导:
刚才4位同学的握手是杂乱无序的,你们能从中发现计算方法吗?
怎样安排有序握手,才能发现规律,寻找到计算方法呢?
待学生充分讨论后,老师请一位同学当导演,安排学生的有序握手,其他学生认真观察思考,发现规律,并寻找出计算方法。
握手方式1:
握手方式2:
注:
1、待学生完成握手方式1后,老师问计算方法(3+2+1=6),进而追问5个人呢?
20个人呢?
2、握手方式2与生活实际不符,所以学生较难想到。
老师可以自己当导演安排学生握手,同时让学生记住与对方握手的次数,让他们体会到每两个人之间都握了两次手,重复一次,所以要除以2.
[设计意图]通过学生自主探索,亲身体验,使学生在加深对“握手问题”实质理解的同时体验成功的快感,增强学习的兴趣。
在全班每4个同学之间的互相握手实践中,也培养了学生合作学习的意识。
(四)方法归纳,导出公式
老师引导:
刚才同学们的表现都很精彩。
那么你们能用公式表示出n个人每两个人之间互相握手一次,一共握多少次手吗?
握手总次数=1+2+3+…+(n-1)
或握手总次数=
[设计意图]培养学生从特殊到一般的数学思想方法和归纳概括能力。
(五)知识迁移,模型应用
例题1.
(1)如图
(1)所示,图中共有条线段。
(2)如图
(2)所示,图中共有个角。
(3)如图(3)所示,图中共有个三角形。
(4)已知平面内有5个点,经过每两点画一条直线,最多可以画几条?
注:
该例的设计基于学生的认知水平,接近学生的“最近发展区”。
这里的数线段,数角,数三角形,学生可能通过直观的“数”来得到答案。
老师应引导学生通过交流,悟出该类问题的思维方式与“握手问题”完全相同,可以化归为“握手问题”。
[设计意图]通过简单问题,让学生初步掌握“握手问题”模型的应用,为后续问题的进一步拓展奠定基础。
例题2.
(1)画出正五边形的对角线,数一数,共有几条对角线?
注:
学生可能用如下方法解答:
过每个顶点都能画出两条对角线,5个顶点可以画出2×5=10条,重复一次,故可以画出5条对角线。
此时老师可以引导学生利用“握手问题”模型解决:
5个顶点相当于5个人握手,每两个人握一次,共握10次,就是10条线段,去掉五边形的5条边,所以有5条对角线。
进一步提问:
六边形、七边形、…,n边形有几条对角线?
(
)
(2)n条直线两两相交,最多有几个交点?
画一画,填写下表:
(以小组为单位合作完成)
直线数
2
3
4
5
6
…
n
交点数
(3)图5中共有几个平行四边形?
(以小组为单位,进行合作探究)
注:
老师视情况加以引导:
平行四边形的个数与AB边和AD边的线段条数有关系吗?
如果有关系,那么这个关系是什么?
假如知道了这个关系,你能用“握手”模型解决这个问题吗?
[设计意图]利用一组难度逐渐递进的数学问题,通过学生合作探究,领悟数学思想,使学生加深对“握手问题”实质的理解,进而形成这类数学问题的知识链,掌握这类问题的解题要领。
(六)归纳小结,共同提升
老师提问:
1、通过本堂课学习,你学会了什么?
2、你学会了哪些重要方法?
有什么启示?
学生自由发言,可以相互补充:
1、学会了握手次数的计算公式
2、懂得了可以先把复杂问题简单化
3、学会了从特殊到一般的数学思想方法
4、要学好数学,不但要会独立思考,还应会与别人合作交流
……………………
[设计意图]通过学生自我小结,加深对本节课教学内容的理解,同时又实现了自我反馈,从而建构起自己的知识经验,形成自己的见解。
(七)课后作业
与“握手问题”类似的例子在生活中还有很多,你能设计几个能用这个模型来解决的数学问题吗?
请拿出来与同学交流解决。
[设计意图]让学生例举生活中类似实例,不仅考查学生对“握手问题”的理解,而且让学生感受到数学与生活息息相关,同时在与他人的交流过程中,有培养了学生团结协作的团队精神。
五、板书设计(例题在课件中展示)
200次380次1+2+3+…+19=190次400次
3+2+1=6次5个同学:
4+3+2+1=10次
3×4÷2=6次
5个同学:
4×5÷2=10次
20个同学:
19×20÷2=190次
握手总次数=1+2+3+…+(n-1)或握手总次数=
六、教学反思:
“握手问题”在小学时学生已有所接触,但大部分学生停留在初步感知上,对其问题实质理解不深,有的只是对公式的生搬硬套,(比如在提问20个同学互相握手一次,共握多少次手时,也有个别同学能回答出正确答案,但进一步提问计算方法及理由时,学生要么一脸茫然,要么简单回答说这种问题小学老师讲过,计算方法就是从1加到29)谈不上对“握手问题”思维方式的迁移应用。
这就是老师在上课时只重结果不重过程的严重后果。
在本片段教学中,我以“握手”这样一个起点低,贴近学生生活,符合学生认知水平的问题情境作为课堂导入,即对学生进行了文明礼仪的教育,又一下拉近了师生之间的距离,活跃了课堂气氛,激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望,同时又过渡自然,直接进入主题。
接着通过猜想、游戏、观察、讨论、画图等形式多样的活动,使学生在兴趣盎然、跃跃欲试的状态下主动学习,力求每个学生都能体验到成功的快乐。
教师只有把“学”的权利交给学生,把“思”的时间还给学生,把“做”的过程留给学生,改变传统的教学方法,引导学生主动探究,才能发挥学生的个性特长,激发学生的数学潜能和创新意识,培养学生良好的思维品质,才能使学生“知其然”又“知其所以然”。
在“如何安排有序握手,才能发现计算方法”这一环节,学生一般能想到第一种握手方式,第二种握手方式虽有利于数学问题的解决,但不符合生活实际,学生一般不能直接想到。
我在处理时是通过老师自己当导演引导学生完成。
如何引导学生自己找到第二种握手方式,才更有利于学生的学习和发展,是有待于进一步完善和改进的问题。
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