向量中的中点转化与极化恒等式.docx
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向量中的中点转化与极化恒等式
极化恒等式
【一.式子结构分析】
r
r2
r2
rr
r2
,同理可以有:
r
r2
r2
rr
r
2
.
1.a
b
a
2ab
b
a
b
a
2ab
b
两个式子相加可得:
r
2
r
2
r
r2
r
r
2
2a
b
a
b
a
b
这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平
方和,也等于邻边的平方和的两倍,
由此可得三角形的中线长公式:
ma
1
2b2
c2
a2(必修五课
2
本20页).
r
r2
r
2
rr
r
2
,同理可以有:
r
r2
r
2
rr
r2
.
2.a
b
a
2ab
b
a
b
a
2ab
b
两个式子相减可得:
一题考查了.
r
r
r
r
2
r
r
a
b
a
b
a
b
4
2
这个叫极化恒等式,2017年全国甲卷理科选择最后
r
2
r2
这样的式子,一般
r
2
r
2
r
rr
r
3.很多时候我们也会遇到a
b
a
b
(a
b)(a
b),类似于平方差公式,实
质上同2差不多
【二、极化恒等式】
和数学上很多经典的公式定理一样,极化恒等式也并没有那么神秘,甚至说是很基本.回忆必修四105页例2
r
r2
r
2
rr
r
2
,同理可以有:
r
r2
r
2
rr
r
2
.
a
b
a
2ab
b
a
b
a
2ab
b
r
2
r
2
r
r2
r
r
两个式子相加可得:
2a
b
a
b
a
b
2
这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平
方和,也等于邻边的平方和的两倍,由此可得三角形的中线长公式:
ma12b2c2a2(必修五课
2
本20页).
两个式子相减可得:
考查了.
r
r
r
r2
r
r
a
b
a
b
a
b
4
2
这个叫极化恒等式,2017年全国甲卷理科选择最后一题
极化恒等式的几何意义是:
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与
“差对角线”平方差的
1
rr
1(AD2
BC2).
,即ab
4
4
在三角形中,也可以用三角形的中线来表示,即
rr
AM
2
1
2
,他揭示了三角形的中线与边长的
ab
BC
4
关系.
下面通过几道题目,来分析极化恒等式的妙用.
ABC中,M是BC的中点,AM
3,BC
uuuruuur
4.
在
10,则ABAC________.
uuur
uuur
uuur
uuur
2
uuur
uuur
2
uuuur2
uuur2
解析:
AB
AC
(AB
AC)
BC
16
ABAC
4
AM
4
事实上,类似的问题时有看到,
只是很多时候用其他的方法取代了
“极化恒等式”,或在无意中使用“极
化恒等式”.
ABC中,D是BC的中点,AB
2,AC
uuur
uuur
在
3,则AD
BC
________.
uuur
uuur
解析:
uuur
uuur
AB
AC
uuur
uuur
1
uuur2
uuur2
5
AD
BC
2
(AB
AC)
(AB
AC
).
2
2
MN
2
uuuuruuur
5.
在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且
,则CMgCN的取值范
围为_______.
uuuur
uuur
uuuur
uuur2
uuuur
uuur2
解析:
设MN的中点为D,则
1
g
CM
CN
CM
CN
CMCN
4
1
uuur
uuuur2
uuur2
1
2
2CD
MN
CD
4,6
4
2
uuur
uuur
uuur
类题:
△ABC中,AC⊥BC,AB=3,AC=1,D为BC的中点,F为线段AD上任意一点,求AFgFB
FC
的最大值.
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
g
g
g
解析:
AF
FB
FC
,
AF2FD
2AFFD
因AF
FD
AD
3
,故当AF
FD
3
uuur
uuur
uuur
3
2
时,AFgFB
FC
取最大值.
2
6.
(2017年高考全国卷Ⅱ理
12)
uuur
uuur
uuur
ABC是边长为
已知
2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB
PC)的最小值是
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
2
3
解法分析
思路一:
建系,将向量运算坐标化
解法1:
如图
1,建立平面直角坐标系
xOy,A0,
3
,B1,0,C1,0
,设Px,y
,
uuur
x,
3
y
uuur
uuur
1
x,
y
1
x,
y
2x,
2y,所以
则PA
,PB
PC
uuur
uuur
uuur
2
2yy
32x2
y
3
3
3,
PAgPBPC2x2
2
2
2
当且仅当x
0
,y
3
3
2
,即P为AO的中点时取等号,则所求最小值为
,选B.
2
y
A
P
x
BOC
图1
uuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuur
uuuruuuur
思路二:
取BC中点M,将PB
PC转化为2PM,则PAgPB
PC
PAg2PM
2PAgPM,怎
uuur
uuuur
么求PAgPM的最小值呢?
如图2,设AM的中点为N,则
uuuruuuur
1
uuur
uuuur2
uuur
uuuur2
1
uuur
2
uuur
2
uuur2
3
3
PAgPM
PA
PM
PA
PM
2PN
MA
PN
4
4
4
,
uuur2
uuuruuuur
4
当且仅当
,即P与N重合(P为AM的中点)时取等号,故
3
PN
0
PAPM的最小值为
,所求最小
g
4
值为2
3
3,选B.
4
2
uuur
uuuur
uuur
uuuur
1
uuur
uuuur
2
uuur
uuuur
2
注:
(1)转化PAPM时用到了极化恒等式
PAgPM
PA
PM
PA
PM
,其一般形式
g
4
rr
1r
r2
r
r
uuuruuuur
2
为
a
b
a
b
PAgPM
ab
;(
2)
也可这样转化:
g
4
uuuruuuur
uuur
uuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur2
uuur2uuur2
3
PAgPM
PN
NAgPN
NM
PN
NAgPN
NA
PN
NA
PN
.
4
A
P
N
BMC
图2
类题:
已知动点M是腰长为
2的等腰直角三角形
ABC(
C为直角)的三边上的动点,则
uuur
uuur
uuuur
(MA+MB)MC的取值范围是(
)
A
.
[
1
B
.
[0,4]
.
1
4]
D
.[
2,4]
0]
C
[
2
2
答案:
C
uuuur
uuuur
uuur
uuur
uuuur
解析:
取AB中点D,CD中点E,则(MA+MB)MC
2MDMC
2
1
uuuur
uuuur2
uuuur
uuuur2
uuur2
uuur2
uuur2
1
MD
MC
MD
MC
14ME
CD
2ME
4
2
如图,在凸四边形
中,
uuur
uuur
,
BD
uuur
uuur
,O是
的中点,且
AO
3OC
,则
7.***
ABCDAB
AD
6BD
6
uuuruuur
CBCD等于(
)
11
8
C.
22
8
A.
B.
3
D.
5
9
3
uuur
uuur
uuur
uuur
2
uuur
uuur
解析:
AB
AD
(AB+AD)
(AB
AD)
4
uuuruuur
uuur
uuur
2
uuur
uuur
2
uuur
CBCD
(CB+CD)
(CB
CD)
CO
4
2
uuur2
uuur2
uuur2
4AO
DB
4
AO96
2
22
.
9
3
8.***(2013年浙江高考理)
ABC中P0是边AB上一定点,满足
P0B
1
AB,且对于边AB上任取
4
uuuruuur
uuuruuur
的一点
P
,恒有
,则(
)
0
PBPC
P0BPC
A.
ABC
900
B.
BAC
900
C.AB
AC
D.AC
BC
【答案】D
解析:
法1:
【将式子转化为与某一个变量有关系的式子,即函数式
.由已知条件,当
PB
1
AB时,
函数式子取最大值】
4
设PB
x,BC
a,作CH
AB,则BH
acosB.
C
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur2
uuur
uuur
x2
xacosB
则PBPC
PB(PB
BC)
PB
BPBC
由题意,当且仅当
x
1
1
BH
1
有最小值.
A
B
acosB
2
AB时,上式
H
2
4
此时,H也为AB的中点,故
AC
BC.
法2:
由题意,设
→
→
H,在AB上任取一点
P,设
|AB|=4,则
|P0B|=1,过点C作AB的垂线,垂足为
HP0=a,则由数量积的几何意义可得,
→→→
→
→
→
→→
→
→
PB?
PC=|PH||PB|=(|PB|
-(a+1))|PB|,P0B?
P0C=-|P0H||P0B|=-a,
于是→→
→→
→
→
→2
-(a+1)|
→
0
0
|PB|
PB|+a≥0恒成
PB?
PC≥PB?
PC恒成立,相当于(|PB|-(a+1))|PB|≥a-恒成立,整理得
立,只需?
=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0即可,于是a=1,因此我们得到
HB=2,即H是AB的中点,故△ABC
是等腰三角形,所以AC=BC
法3:
如图建系,设B(b,0),C(xC,yC),P(x,0),
y
C
uuuruuur
PBPCx2
(bxC)x
bxC,
当且仅当x
b
xC
b
xC
b
A
B
2
时,上式取最小值,此时
2
,故ACBC.
P
x
4
法4:
以AB中点为坐标原点建系也可,同法
2.
r
r
r
r
r
r
法5:
极化恒等式
4a
b=(a
b)2
(a
b)
2
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
如图,取线段
BC的中点M,则4PBPC=(PB
PC)2
(PB
PC)2
4PMBC,
uuur
uuur
uuuur
要使得4PB
PC的值最小,只需4PM
2
取最小值.因为P是线段AB上动点,所以只有当PMAB
uuuur
时,
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- 向量 中的 中点 转化 极化 恒等式