1、步步高必修3高中数学复习资料第三章 3133.1.3概率的基本性质学习目标1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的关系与运算.3.会用对立事件的特征求概率.知识点一事件的关系与运算思考一粒骰子掷一次,记事件A出现的点数大于4,事件B出现的点数为5,则事件B发生时,事件A一定发生吗？答案因为54,故B发生时A一定发生.梳理1.对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作BA(或AB).与集合类比,如图所示.不可能事件记作,任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,(若BA,且AB),那么称事件A与
2、事件B相等,记作AB.2.关于事件的运算,有下表：定义表示法事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)知识点二互斥与对立的概念思考一粒骰子掷一次,事件E出现的点数为3,事件F出现的点数大于3,事件G出现的点数小于4,则EF是什么事件？EF呢？GF呢？GF呢？答案EF不可能事件,EF出现的点数大于2.GF不可能事件,GF必然事件.梳理互斥事件和对立事件互斥事件定义若AB为不可能事件,则称事件A与事件B互斥符号A
3、B图示注意事项例如,在掷骰子试验中,记C1出现1点,C2出现2点,则C1与C2互斥对立事件定义若AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件符号AB,AB图示注意事项A的对立事件一般记作知识点三概率的基本性质思考概率的取值范围是什么？为什么？答案概率的取值范围在01之间,即0P(A)1;由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在01之间,因而概率的取值范围也在01之间.梳理概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为0,1.(2)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.(3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥,则P(AB)P(A)P(B).特别地,若A与B为对立
4、事件,则P(A)1P(B).P(AB)1,P(AB)0.1.若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.()2.若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件.()3.若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为1.()类型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从110各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.考点互斥事件题点互斥事件的判断解(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是：从40张扑
5、克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.反思与感悟(1)
6、要判断两个事件是不是互斥事件,只需要分别找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件的并事件是否为必然事件,从而可判断是否为对立事件.(2)考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分析,对于较难判断的关系,也可考虑列出全部结果,再进行分析.跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球考点互斥事件题点互斥事件的判断答案D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事
7、件“三个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件是对立事件;C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件;D中两事件是互斥而不对立事件.类型二事件的运算例2在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1出现1点,事件C2出现2点,事件C3出现3点,事件C4出现4点,事件C5出现5点,事件C6出现6点,事件D1出现的点数不大于1,事件D2出现的点数大于3,事件D3出现的点数小于5,事件E出现的点数小于7,事件F出现的点数为偶数,事件G出现的点数为奇数,请根据上述定义的事件,回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是
8、和事件.考点事件的包含关系题点事件的包含关系解(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1D3,C2D3,C3D3,C4D3.同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1与事件D1相等,即C1D1.(2)因为事件D2出现的点数大于3出现4点或出现5点或出现6点,所以D2C4C5C6(或D2C4C5C6).同理可得,D3C1C2C3C4,EC1C2C3C4C5C6,FC2C4C6,GC1C3C5.反思与感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义
9、.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.跟踪训练2盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A3个球中有一个红球,两个白球,事件B3个球中有两个红球,一个白球,事件C3个球中至少有一个红球,事件D3个球中既有红球又有白球.则：(1)事件D与事件A,B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？考点事件的包含关系题点事件的包含关系解(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故DAB.(2)对于事
10、件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故CAA.类型三用互斥、对立事件求概率例3甲、乙两人下棋,和棋的概率是,乙获胜的概率为,求：(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.考点概率的几个基本性质题点对立事件的概率解(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为1.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(甲不输).方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(甲不输)1,故甲不输的概率为.反思与感悟(1)只有当A,B互斥时,公式P(AB)P(A)P(B)才成立;只有当A,B互为对立事件时,公式P(
11、A)1P(B)才成立.(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率的加法公式计算;二是间接求解,先找出所求事件的对立事件,再用公式P(A)1P()求解.跟踪训练3从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A“抽到一等品”,事件B“抽到二等品”,事件C“抽到三等品”.已知P(A)0.65,P(B)0.2,P(C)0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A.0.20 B.0.39 C.0.35 D.0.90考点概率的几个基本性质题点对立事件的概率答案C解析抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,而P(A)0.65,抽到的不
12、是一等品的概率是10.650.35.1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”考点互斥事件题点互斥事件的判断答案C解析A中的两个事件能同时发生,故不互斥;同样,B中两个事件也可同时发生,故不互斥;D中两个事件是对立的,故选C.2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是()A.0.42 B.0.28C.0.3 D.0.
13、7考点概率的几个基本性质题点对立事件的概率答案C解析摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,摸出黑球的概率是10.420.280.3,故选C.3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是()A.AB与C是互斥事件,也是对立事件B.BC与D是互斥事件,也是对立事件C.AC与BD是互斥事件,但不是对立事件D.A与BCD是互斥事件,也是对立事件考点互斥事件题点互斥事件的判断答案D解析由于A,B,C,D彼此互斥,且由P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)1,知ABCD是一个必然事件,故其事件的关系如图所示.由图可知,任何一个事
14、件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,故只有D中的说法正确.4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_.考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率答案解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.5.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0
15、.4.求：(1)他乘火车或飞机去的概率;(2)他不乘轮船去的概率.考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率解设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D,它们彼此互斥.(1)P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7.(2)P1P(B)10.20.8.1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;反之两个事件对立,它们一定互斥.
16、2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件;(2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.一、选择题1.袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是()A.至少有一个白球与都是白球B.至少有一个白球与至少有一个红球C.恰有一个红球与一个白球一个黑球D.至少有一个红球与红、黑球各一个考点互斥事件题点互斥事件的判断答案C解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可.2.一箱产品
17、有正品4件、次品3件,从中任取2件,有如下事件：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”;“至少有1件次品”和“都是次品”;“至少有1件正品”和“至少有1件次品”;“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有()A.1组 B.2组C.3组 D.4组考点互斥事件题点互斥事件的判断答案B解析对于,“恰有1件次品”就是“1件正品,1件次品”,与“2件都是次品”显然是互斥事件;对于,“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是次品”可能同时发生,因此这两个事件不是互斥事件;对于,“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”,与“至少有1件次品”不是互斥事件;对于,“至少
18、有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是正品”显然是互斥事件,故是互斥事件.3.若A,B是互斥事件,P(A)0.2,P(AB)0.5,则P(B)等于()A.0.3 B.0.7C.0.1 D.1考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率答案A解析A,B是互斥事件,P(AB)P(A)P(B)0.5,P(A)0.2,P(B)0.50.20.3.故选A.4.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有()恰有一名男生和全是男生;至少有一名男生和至少有一名女生;至少有一名男生和全是男生;至少有一名男生和全是女生.A. B.C. D.考点互斥事件题点
19、互斥事件的判断答案D解析是互斥事件.恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生;不是互斥事件;不是互斥事件;是互斥事件.至少有一名男生与全是女生不可能同时发生.5.下列四个命题：对立事件一定是互斥事件;若A,B为两个事件,则P(AB)P(A)P(B);若事件A,B,C两两互斥,则P(A)P(B)P(C)1;事件A,B满足P(A)P(B)1,则A,B是对立事件.其中错误命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3考点互斥事件题点互斥事件的判断答案D解析对立事件首先是互斥事件,故正确;只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加法公式,故不正确;概率的加法公式
20、可以适合多个互斥事件的和事件,但和事件不一定是必然事件,故不正确;对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中,设事件A正面为奇数,B正面为1,2,3,则P(A)P(B)1.而A,B不互斥,故不正确.6.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为()A.0.09 B.0.97C.0.99 D.0.96考点概率的几个基本性质题点对立事件的概率答案C解析因为抽到次品的概率为0.01,所以抽到正品的概率是10.010.99.7.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加
21、公益活动的概率为()A. B. C. D. 考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率答案D解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,其中4位同学都选周六的概率为,4位同学都选周日的概率为,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P1,故选D.8.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A(表示事件B的对立事件)发生的概率为()A. B. C. D. 考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率答案C解析由题意知,表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式可得P(A)P(
22、A)P().9.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间Y统计结果如下：办理业务所需的时间Y/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时,据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为()A.0.28 B.0.3C.0.15 D.0.31考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率答案D解析第三个顾客等待不超过4分钟包括：第一个顾客办理业务用时1分钟,且第二个顾客办理业务用时1分钟,第一个顾客办理业务用时1分钟,且第二个顾客办理业务用时2分钟,第一个顾客办理业务用时1分钟,且第二个顾客
23、办理业务用时3分钟,第一个顾客办理业务用时2分钟,且第二个顾客办理业务用时1分钟,第一个顾客办理业务用时2分钟,且第二个顾客办理业务用时2分钟,第一个顾客办理业务用时3分钟,且第二个顾客办理业务用时1分钟,且这些事件彼此是互斥的,故第三个顾客等待不超过4分钟的概率P0.10.10.10.40.10.30.40.10.40.40.30.10.31.二、填空题10.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为_.考点概率的几个基本性质题点对立事件的概率答案解析由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为,故所求概率P1.11.某袋中
24、有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是_.考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率答案解析设a,b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意,摸球试验共有36种不同的结果,满足ab的基本事件共有6种.所以摸出编号不同的概率P1.12.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有_人.考点概率的几个基本性质题点对立事件的概率答案120解析可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,
25、“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1.再由题意,知nn12,解得n120.三、解答题13.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率解记事件“射击一次,命中k环”为Ak(kN,k10),则事件Ak之间彼此互斥.(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生
26、时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.6.(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)1P(B)10.780.22.四、探究与拓展14.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间20,25)上的为一等品,在区间15,20)和25,30)内为二等品,在区间
27、10,15)和30,35内为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为()A.0.09 B.0.20C.0.25 D.0.45考点概率的几个基本性质题点对立事件的概率答案D解析由题意可知,除去一等品和三等品就是二等品,故可用对立事件的概率公式求解.由图可知抽得一等品的概率为0.0650.3,抽得三等品的概率为(0.020.03)50.25,故抽得二等品的概率为10.30.250.45.15.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：派出人数23456概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家访的概率;(2)求至少有3人外出家访的概率.考点概率的几个基本性质题点互斥事件的概率解(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(CD)P(C)P(D)0.30.10.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下,所以由对立事件的概率可知,P1P(A)10.10.9.
