1、第二章 完全信息静态博弈,1基本分析思路和方法一、上策均衡假设一个博弈有n个博弈方，博弈方i的 策略集(又称策略空间)为Si(i=1,2,n)，用 sij Si表示博弈方i的第j个策略；若si Si(i=1,2,n),称s=(s1,s2,sn)为一个 策略组合；若用s-i=(s1,s2,si-1,si+1,sn),则s=(si,s-i)。,12/15/2019,1,用ui(s)=ui(s1,s2,sn)(i=1,2,n)表示博弈方i 在策略组合s=(s1,s2,sn)的得 益,ui是策略集S1S2Sn上的多元函数。定义1：若一个博弈的策略空间为Si,得益函数 为：ui(s)=ui(s1,s2,
2、sn)(i=1,2,n),则该 博弈表示为：G=S1,S2,Sn；u1,u2,un。定义2：一个博弈G,若对博弈方i及所用si 都有ui(si,s-i)ui(si,s-i)，则称si是si 的严格上策，si是si的严格下策。,12/15/2019,2,*,12/15/2019,3,定义3：若在博弈G中对每个博弈方i都存 在策略si 是其它所有策略的严格上策,则称策,略组合s*=(s1,s2,sn)是G的上策均衡。*在第一章的“囚徒困境”博弈中，其中（坦白，坦白）就是一个上策均衡。而其它例 子都没有上策均衡。上策均衡反映了所有博弈方的绝对偏 好，因此非常稳定，根据上策均衡可以对博 弈结果作出最肯
3、定的预测。,二、严格下策反复消去法,12/15/2019,4,在博弈G中博弈方的严格下策当然是博 弈方实际上不愿选择的策略，因此可以从博 弈方的策略集中去掉。定义：若博弈G中每个博弈方都反复去掉严格 下策后剩下唯一策略组合s*=(s1,s2,sn)，*,12n,则称s*=(s*,s*,s*)为G的反复消去严格下,策均衡。,例1：博弈G如右图：,博弈方左 中右,12/15/2019,5,求解反复消去严格下策均衡的方法成为严格 下策反复消去法。显然第一章的“智猪博弈”中大猪“按”、小猪“等待”是一个反复消去严格下策均衡。,左,中,1,0,1,3,12/15/2019,6,左,中,上,解：博弈方的策
4、略“右”是策略“中”的严格 下策，消去策略“右”后为：博弈方的策略“下”是策略“上”的严格下策，消去策略“下”后为：博弈方的策略“左”是 策略“中”的严格下策，消 去策略“左”后为可知（上，中）就是该博弈反复消去严,格下策均衡。,严格下策反复消去法中每次消去的必须是 严格上策，否则会出现一些意想不到的结果。,例2：博弈G如下图：博弈方,12/15/2019,7,L,解：1）博弈方的策略“L”和“M”都是策略“R”的下策(不是严格下 策)，消去策略“L”和“M”后为：,R 1,80,80,9,12/15/2019,8,博弈方的策略“S”和“D”都 是策略“U”的严格下策，消去策略“S”和“D”后
5、剩下唯一策略组合（U,R）。,LMR 2,81,61,8,2）博弈方的策略“S”和“D”都是策略“U”的下策(不是严格 下策)，消去策略“S”和“D”后为:U,博弈方的策略“M”和“R”都是策略“L”的下策(不是严格下策)，消去策略“M”和“L”后剩下唯一策略组合（U,L）。,2,81,61,80,80,60,80,81,50,9,12/15/2019,9,2纳什均衡,12/15/2019,10,一、纳什均衡的定义定义4：博弈G=S1,S2,Sn；u1,u2,un,12n,中，若存在策略组合s*=(s*,s*,s*)，任,一博弈方 i的策略s*都是对其余博弈方策略组合,i*(s*,s*,s*,
6、s*,s*)最佳对策，s-i12i-1i+1n即ui(si,s-i)ui(si,s-i)对任意siSi都成*,12n,立，则称s*=(s*,s*,s*)是G的一个纳什,均衡。,二、纳什均衡的求解方法,12/15/2019,11,1、划线法 对其他博弈方的任一策略组合，找出博 弈方i的最佳策略，并在其得益值下划线。若 存在一个策略组合，使得所有博弈方的得益 值下都划了线，则该策略组合就是一个纳什 均衡。,例1：博弈G如右图：,左,博弈方中,右,解：该博弈的纳什均衡为（上，中）。,12/15/2019,12,L,例2：博弈G如下图：博弈方M,R,解：该博弈有两个纳什均衡(U,L)和(U,R)。,1
7、2/15/2019,13,2、箭头法 考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过 单独改变自己的策略而增加得益。如能，则从所 分析的策略组合对应的得益数组引一箭头，到改 变策略后策略组合对应的得益数组。若存在一策 略组合，其得益数组只有进来的箭头而没有出去 的箭头，则该策略组合就是纳什均衡。,12/15/2019,14,例3：博弈G如右图：博弈方中,纳什均衡为（上，中）。,12/15/2019,15,斗鸡B,进攻,退却,例4：斗鸡博弈,(进，退)和(退，进)是两个纳什均衡。,12/15/2019,16,二、纳什均衡的一致预测性,12/15/2019,17,一致预测性是指这样一种性质：如果所 有博弈
8、方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该预测或者这 种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿 望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的 结果。一致预测性是纳什均衡的本质属性，纳什均衡是稳定的和自我强制的.,三、纳什均衡与严格下策反复消去法,12/15/2019,18,上策均衡肯定是纳什均衡，但反过来纳什 均衡不一定是上策均衡，因此上策均衡是比纳 什均衡更强、稳定性更高的均衡概念。只是，上策均衡在博弈问题中的普遍性比纳什均衡要 差得多。,命题1：在n个博弈方的博弈G=S1,S2,12/15/2019,19,12,Sn；u1,u2,un 中
9、，如果s*=(s*,s*,s*)是G的一个纳什均衡，那么严格下策反复,n消去法一定不会将它消去。,12,证：用反证法：设策略组合(s*,s*,n,s*)是博弈G的一个纳什均衡，且博弈方i的策略,s*，是该策略组合中第一个由于相对于该博弈,*,i方的其他策略是严格下策而被消去的策略(也许是在其他某些策略被消去以后)。则必然存在博弈方i的某个策略si，该si在si 被消去的时候还没,i,有被消去，并且是相对于s*的严格上策，即满,足：,ui(si,s-i)ui(si,s-i)(1),12/15/2019,20,对任意由其他博弈方此时尚未消去的所有策略 构成的策略组合s-i=(s1,si-1,si+
10、1,sn)都 成立。,*,i12n,*,由于假设s是纳什均衡(s,s,s)的,各方策略中第一个被消去的，因此其他博弈方的 策略s1,si-1,si+1,sn，在si被消去的 时候都还没有被消去，于是对s-i=(s1,si-1,si+1,sn)也必须成立即:ui(si,s-i)ui(si,s-i)(2)*,12n,12/15/2019,21,这显然与(s*,s*,s*)是纳什均衡策略,组合的假设相矛盾，因为不等式(2)表明si不是博弈方i对其他博弈方的策略组合的最佳反应。该矛盾证明了开头所作的：纳什均衡被严 格下策反复消去法消去的假设是不可能成立的，这样命题1就得到了证明。,命题2：在n 个博弈
11、方的博弈G中，如果 严格下策反复消去法排除了除s*=(s1,s2,sn)之外的所有策略组合，那*么s*一定是该博弈惟一的纳什均衡。证：命题2的后半部分即惟一性可由命题1 的结论得到证明。下面用反证法证明前半部分：,12/15/2019,22,设严格下策反复消去法已经消去除了,12/15/2019,23,s*=(s1,s2,sn)以外的所有策略组合。*但s*却不是一个纳什均衡。就是说，至少 存在某个博弈方i的某个策略si使得：ui(si,s-i)ui(si,s-i)(1)*但由于s*是经过严格下策反复消去法以后 留下的惟一策略组合，因此si必然是被严格下 策反复消去法消去的策略。也就是说，在严格
12、 下策反复消去过程中的某个阶段，必然存在某 个当时还没有被消去的策略si使得：,ui(si,s-i)ui(si,s-i)(2),12/15/2019,24,对由此时尚未被消去的，其他博弈方的 策略构成的所有策略组合s-i都成立。由于s*是本博弈经过严格下策反复消去法以 后惟一留下的策略组合，因此策略s1,si-1,si+1,sn始终不会被消去，因此也应该满足(2)式，即:ui(si/,s-i)ui(si,s-i)(3)*,/,12/15/2019,25,*,iiii,如果s 就是s,即s 是相对于s 的严格,上策，则(3)式和(1)式相矛盾，从而s*不是纳 什均衡的假设不能成立。这就证明了命题
13、。,/,*,iii,如果s 与s 不同，则s/在严格下策反复,消去的过程中也必须被消去(要不然s*就不会是 留下的惟一的策略组合)。,进一步推定在某阶段存在si/是相对于si/的严格上策，用si/和si/分别代替si/和si时，,12/15/2019,26,/,ii,*,(2)式和(3)式仍然必须成立，如果s就是s，则与上相同也证明了命题。,否则用si/代替si/重复上述过程。这样，,ii,总会找到某个s(k)就是s*,从而证明在前述,假设下必然导致(1)式和(3)式的矛盾，否定前 述假设成立的可能性，由此证实命题2。,3 无限策略博弈分析和反应函数,12/15/2019,27,根据上一节的分
14、析已经明白，分析完全信 息静态博弈的关键是找出其中的纳什均衡。但 前面所讨论都是可通过策略之间的两两比较进 行分析的有限策略博弈模型。在无限策略、连续策略空间的博弈中，纳 什均衡的概念同样适用。我们通过具体模型来 说明这种博弈的纳什均衡分析方法。,一、古诺（Cournot）模型古诺模型是研究寡头垄断市场的经典模 型，在古诺模型中,假设一个市场有两家生产 同一种产品厂商。如果厂商1的产量为q1，厂 商2的产量为q2，则市场总产量为Qq1十q2。设市场出清价格P(即可以将产品全部卖出去的 价格)是市场总产量的函数(即逆需求函数)P=P(Q)=Q=(q1 q2)。再设两厂商有相同的单 位生产成本c1
15、=c2=c,且都没有固定成本，则该 博弈中两博弈方的得益(即两厂商各目的利润)分别为:,12/15/2019,28,和 虽然本博弈中两博弈方都有无限多种可选 策略，但根据纳什均衡的定义我们知道，纳什 均衡就是具有相互是最优对策性质的各博弈方 策略组成的策略组合。,12/15/2019,29,12,12/15/2019,30,因此，如果假设策略组合(q*,q*)是本,12,博弈的纳什均衡，则(q*,q*)必须是使得两,博弈方的得益达到最大值,即满足:,要求上式的最大值,只需(1)、(2)两式 分别对q1、q2求偏导并令两个偏导数都等于,零,由此可得q*,q*应满足方程组:12,12/15/201
16、9,31,解之得该方程组唯的一组解:均衡总产量为：两博弈方的均衡得益(利润)分别为:具体地,若设:则:,12/15/2019,32,如果想对上述博弈结果作效率评价，可 以再从两厂商总体利益最大化的角度作一次产 量选择，根据向场条件求实现总得益(总利润)最大的总产量。设总产量为Q，则总得益为UP(Q)cQ Q(8Q)2Q6Q Q2。很容易求得使总得益最 大的总产量Q*3，最大总得益U*9。,12/15/2019,33,将此结果与两厂商独立决策，追求自身而 不是共同利益最大化时的博弈结果相比，不难 发现此时总产量较小，而总利润却较高。因此从两厂商的总体来看，根据总体利益 最大化确定产量效率更高。换
17、句话说，如果两厂 商更多考虑合作，联合起来决定产量，先定出使总利益最大的产量后各自生产一半(1.5,1.5单位)，则各自可分享到的利益为4.5，比只考虑自身利 益的独立决策行为得到的利益要高。,12/15/2019,34,当然，在独立决策、缺乏协调机制的两 个企业之间，上述合作的结果并不容易实现，即使实现了也往往是不稳定的。合作难以实现 或维持的原因主要是。各生产一半实现最大总 利润产量的产量组合(1.5,1.5）不是该博弈的 纳什均衡策略组合。,12/15/2019,35,也就是说，在这个策略组合下，双力都 可以通过独自改变(增加)自己的产量而得到更 高的利润，它们都有突破1.5单位产量的冲
18、动。在缺乏由强制作用的协议等保障手段的情况下，这种冲动注定了维持上述较低水平的产量组合 是不可能的，两厂商早晚都会增产，只有达到 纳什均衡的产量水平(2，2)时才会稳定下来。因为只有这时候任一厂商单独改变产 量才不利于自己，这实际上也是一种“囚徒 困境”，如果将遵守限额还是突破限额作为 厂商面临的选择，则构成了得益矩阵如下图 的博弈。,12/15/2019,36,厂商2,当然不难看出该博弈是一个囚徒困境博弈。上述两寡头产量博弈只是古诺模型中比 较简单的个特例，更一般的古诺模型是包 括n 个寡头的寡占市场产量决策。但其分析 方法是一样的。,12/15/2019,37,F4,二、反应函数古诺模型的
19、纳什均衡也可以通过对划线 法思路的推广来求，划线法的思路是先找出 每个博弈方针对其他博弈方所有策略(或策 略组合)的最佳对策，然后再找出相互构成 最佳对策的各博弈方策略组成的策略组合，也就是博弈的纳什均衡。在无限策略的古诺博弈模型中这样的思 路实际上也是可行的，只是其他博弈方的策 略现在有无限多种，因此各个博弈方的最佳 对策也有无限种，它们之间往往构成一种连 续函数关系。,12/15/2019,38,在上面讨论的两寡头古诺模型中，对厂商2 的任意产量q2，厂商1的最佳对策产量q1，就是 使白己在厂商2生产产量q2的情况下利润最大化 的产量，即q1是最大化问题：,的解。上式对q1求导并令导数等于
20、0：,由此得：,12/15/2019,39,这样我们得到了对于厂商2的每个可能,的产量，厂商1的最佳对策产量的计算公式，它是厂商2产量的一个连续函数，我们称这个 连续函数为厂商1对厂商2产量的一个“反应函 数”(Reaction Function)。同样的方法，我们 可再求出厂商2对厂商1产量q1的反应函数：q,2,6,3,6,3,q1,由于这两个反应函数都 是连续的线性函数，因 此可以用坐标平面上的 两条直线表示它们,如图:,(2,2),12/15/2019,40,从图中可以看出，当一方的产量选择为0时，另一方的最佳反应为3。这正是实现市场总利润 最大的产量，因为这时候等于由一个厂商垄断市
21、场，市场总体利润就是该厂商的利益；当一方的 产量达到6时，另一方被迫选择0，因为这时后者 坚持生产已经无利可图。在两个反应函数对应的两条直线上，只有 它们的交点(2，2)代表的产量组合，才是由相 互对对方的最佳反应产量构成的。R1(q2)上的其他所有点(q1,q2)只有q1是 对q2的最佳反应，q2 不是对q1的最佳反应，而R2(q1)上的点则刚好相反。,12/15/2019,41,根据纳什均衡的定义，(2，2)是该古诺 模型的纳什均衡，并且因为它是惟的一个，因此应该是该博弈的结果。这个结论与前面 直接根据纳什均衡定义得到的完全样。二、伯特兰德(Bertrand)寡头模型现在我们把反应函数法应
22、用到伯特兰 德模型的分析。伯持兰德1883年提出了另 一种形式的寡占模型。这种模型与选择产 量的古诺模型的区别在于，伯特兰德模型 中各厂商所选择的是价格而不是产量。我 们用简单的两寡头且产品有一定差别的伯 特兰德价格博弈模型进行分析。,12/15/2019,42,上述产品有一定差别是指两个厂商生 产的是同类产品，但在品牌、质量和包装等 方面有所不同，因此伯特兰德模型中厂商的 产品之间有很强的替代性但又不是完全可 替代，即价格不同时，价格较高的不会完全 销不出去。当厂商1和厂商2价格分别为P1和 P2时，它们各自的需求函数为：,和,12/15/2019,43,从上式可以看出产品之间是有差别的，其
23、中d1，d20即两厂商产品的替代系数。我 们也假设两厂商无固定成本，假设边际生产 成本分别为c1和c2。两博弈方的得益函数分别为：,我们直接用反应函数法分析这个博弈。上两式分别对P1和P2求偏导，并令偏导数为 0，由此得：,12/15/2019,44,很容易求出两厂商对对方策略(价格)的反应 函数分别为,和,12/15/2019,45,12,纳什均衡(P*，P*)必是两反应函数的交,点，即必须满足：,记：求解此方程组即可得到纳什均衡(P1，P2)：*,12/15/2019,46,12,将P*，P*代入得益函数则可进一步得到,两厂商的均衡得益值。具体地，如果进一步假设模型中的参数分别 为：,则可
24、以得到：P1 P2 20，u1 u2 414。*,12/15/2019,47,上述模型是伯特兰德模型较简单的情况。更一般的情况是有n个寡头的价格决策，并且 产品也可以是无差别的。值得一提的另外一点是，这种价格决策 与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡 也不如各博弈方通过协商、合作得到的最佳 结果，因此也是囚徒困境的一种。,12/15/2019,48,三、公共资源问题随着社会经济的不断发展，我们越来越 无法回避公共资源利用、公共设施提供和公共 环境保护等方面的间题。而在这些问题中，也 包含了众多的博弈关系。我们以人们对公共资 源利用方面的博弈关系为例来作一些讨论。,12/15/2019,49,
25、在经济学中，所谓公共资源是指具有(1)没 有哪个个人、企业或组织拥有所有权；(2)大家 都可以自由利用，这样两个特征的自然资源或 人类生产的供大众免费使用的设施和财货。例如大家都可以开采使用的地下水，可自 由放牧的草地，可自由排放废水的公共河道(假 设政府未予限制)，以及公共道路、楼道的照明 灯等。由于公共资源有上述两个特征，因而利 用这些资源时不支付任何代价，除非政府将这 些资源收归国有，并对使用者征收资源税或收取类似的费用。,12/15/2019,50,最晚是从休漠1739年开始，政治经济学者们就己 经开始认识到，在人们完全从自利动机出发自由利用 公共资源时，公共资源倾向于被过度利用、低效
26、率使 用和浪费，并且过度利用会达到任何利用它们的人都 无法得到实际好处的程度。,12/15/2019,51,我们用下面这个公共草地的放牧习题为例 来论证这个结论。设某村庄有n个农户，该村有一片大家都可以自由 放牧羊群的公共草地。出于这片草地的面积有限，因 此只能让不超过某一数量的羊群吃饱，如果在这片草 地上放牧羊只的实际数量超过这个限度，则每只羊都 无法吃饱，从而每只羊的产出(毛、皮、肉的总价值)就 会减少，甚至只能勉强存活或要饿死。,假设这些农户在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就要决定养羊的数量，因此可看作各 农户在决定自己的养羊数量时是不知道其他农户 养羊数的，即各农户决定养羊数的决策是
27、同时作 出的。再假设所有农户都清楚这片公共草地最 多能养多少只羊和在羊只总数的不同水平下每 只羊的产出。这就构成了n个农户之间关于养羊 数的一个博弈问题，并且是一个静态博弈。在此博弈中，博弈方就是n个农户；他 们各自的策略空间就是他们可能选择的养羊 数目qi(i=1,2,n)的取值范围。,12/15/2019,52,当各农户养羊数为q1、q2、qn时，在 公共草地上放牧羊只的总数为Qq1q2 qn，根据前面的介绍，每只羊的产出应是羊群 总数Q的减函数VV(Q)V(q1、q2、qn)。假设购买和照料每只羊的成本对每个农户都是 相同的不变常数c，则农户i养qi只羊的得益函数 为：为了使讨论比较简单
28、和能得到直观的结论，我们进步设定下列具体数值。假设n3，即 只有三个农户，每只羊的产出函数为V100 Q100一(q1q2qn)，而成本c4。这时，三 农户的得益函数分别为：,12/15/2019,53,由于羊的数量不是连续可分的，田此上 述函数不是连续函数。但我们在技术上也可以 把羊的数量看作连续可分的，因此上述得益函 数仍然可当作连续函数来处理。分别求三农户各自对其他两农户策略(养羊 数)的反应函数，得：,12/15/2019,54,12,12/15/2019,55,3,三个反应函数的交点(q*,q*,q*)就是博,12,3,弈的纳什均衡。我们将q*,q*,q*代入上述应函,12,3,数，
29、并解此联立方程组，即得q*q*q*24，,12,再将其代入三农户的得益函数，则可得u*u*,u*576，此即三农户独立同时决定在公共,3草地放羊数量时所能得到的利益。,为了对公共资源的利用效率作出评价，我们 同样也可讨论总体利益最大的最佳羊只数量。设在该草地上羊只的总数为Q。则总得益为：,使总得益u最大的养羊数Q*必使总得益函 数的导数为0，容易求得：Q*48，总得益值u*2304。该结果比三农户各自独自决定自己的养羊数量时三农产得益的总和1728大了许多。而 此时的养羊数Q*48则比三农户独立决策时草 地上的羊只总数32472小，因此，三农户独 立决策时实际上使草地处于过度放牧的情况，浪费了
30、资源，农户也没有获到最好的效益。,12/15/2019,56,如果各农户能将养羊数自觉限制在48316,只，则他们都能得到更多的利益。但问题是他们 面临的也是种囚徒的困境局面，因此很难实现 这种理想的合作的结果。这个例子再一次证明了 纳什均衡，或者说非合作博弈的结果有可能是低 效率的。在本例中，如果利用上述草地资源的农户 数进一步增加，则纳什均衡的效率会更低；如允 许外来者任意加入利用该公共资源的行列，则所 有利用该资源的人的利益很决都会消失，即羊只 总数会随着放牧农户数的增加而增加到刚好不至 于亏损的水平，各农户将完全不能从在公共草地 上养羊得到任何好处，公共资源等于完全被浪费,1掉2/15
31、/2。019,57,公共资源利用方面常会出现这样的悲剧，原因是每个可以利用公共资源的人都相当于面临 着 一种囚徒的困境；在总体上有加大利用资源 可能(至少加大利用者白身还能增加得益)时，自 己加大利用而他人不加大利用则自己得利。自己,加大利用但其他人也加大利用则自己不至于吃亏，最终是所有人都加大利用资源直至再加大只会减 少利益的纳什均衡水平，而这个水平肯定比实现 资源最佳利用效率，同时也是个人最佳效率的水 平要高。,F5,12/15/2019,58,公共设施问题也是类似的问题。在许多需要 人类生产、提供的公共设施的问题上，做搭便车 者(Free Rider)总是比做提供者合算。因此许多 必需的
32、公共设施，如楼道里的电灯等就总是没人 提供。这些公共资源博弈问题的结果说明了在公 共资源的利用、公共设施的提供方面，政府的组 织、协调和制约是非常必要的，这也可以说是政 府之所以有必要存在的主要理由之一。,12/15/2019,59,现在考虑一般情况：n个农户养羊数分别为q1、q2、qn时，羊只总数为Qq1q2qn，每只羊的产出为vv(Q)v(q1、q2、qn)。是减函数，我们假定：,每只羊的成本为c，则农户i的得益函数为：,12/15/2019,60,则农户i的得益最优化的一阶条件是：,上述一阶条件可以作如下解释：增 加一只羊由正负两方面的效应，正的效应 是这只羊本身的价值v，负的效应是这只
33、 羊是他之前所有的羊的价值下降（qiv/(Q)0)。最优解满足边际收益等于 边际成本的条件。,12/15/2019,61,又因为：,上述n个一阶条件得到n个反应函数：,12/15/2019,62,即第i个农民的饲养量随其他农 民的饲养量的增加而递减。,所以：,12/15/2019,63,五、反应函数的问题和局限性 反应函数法的概念和思路非常简店明了，它 解决了我们分析一般的具有无限多种策略，有连 续策略空间的博弈模型，因此反应函数法在博弈 分析中非常有用。但这并不等于说有了反应函数的概念，就可以解决所有博弈的分析，或者分析出所有 博弈的最终结果。,12/15/2019,64,因为在许多博弈中，博弈方的策略是很 有限的而不是很多的，更不是连续的，博弈方 的得益函数并不是连续的可导函数，所以无法 用先求导找出各个博弈方的反应函数，再解联 立方程组的方法求纳什均衡，反应函数法在分 析这样的博弈模
