1、第四章 电磁波的传播,在迅变情况下，电磁场以波动形式存在变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容,无界空间中平面电磁波传播的主要特性电磁波在介质界面上的反射和折射有导体存在时的电磁波传播问题有界空间的电磁波在激光技术有重要应用的电磁波狭窄波束的传播等离子体的基本电磁现象,主要内容：,1 平面电磁波,一种最基本的交变电磁场：平面电磁波,1.电磁波动方程,一般情况下，电磁波的基本方程是麦克斯韦方程组,在自由空间中，电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律是齐次的麦克斯韦方程组（
2、=0,J=0情形）,真空情形:D=0E,B=0H,代入上述得电场E的偏微分方程,同样，可得磁场B的偏微分方程,令,波动方程，其解包括各种形式的电磁波，c是电磁波在真空中的传播速度,在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波x射线和射线等）都以速度c传播，c是最基本的物理常量之一,介质情形:研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出D和E以及B和H的关系当以一定角频率作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动,由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即和是的函数,和随频率而变的现象介质的色散,由于色散，关系式
3、D(t)=E(t)不成立因此在介质内，不能够推出E和B的一般波动方程.,见第七章6,2时谐电磁波,在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，辐射出的电磁波以相同频率作正弦振荡例如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）,在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加,设角频率为，电磁场对时间的依赖关系是cos t，或用复数形式表为,E(x)表示抽出时间因子e-it以后的电场强度,在一定频率下，有D=0E,B=0H，把上式代入麦氏方
4、程，消去共同因子e-it 后得,注意：这组方程不是独立的,:,：,取第一式旋度并用第二式得,因为,解出E后，磁场B可由第一式求出，,亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模,亥姆霍兹方程,概括起来，麦氏方程组化为以下方程：,亥姆霍兹方程的每一个满足E=0的解都代表一种可能存在的波模,类似地，也可把麦氏方程组在一定频率下化为,3平面电磁波,按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可以有各种不同形式,例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解,下面讨
5、论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面波,设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，即E和B仅与x，t有关，而与y，z无关这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与x轴正交的平面,亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程：,它的一个解：,场强的全表示式：,因此，只要E0与x轴垂直，代表一种可能的模式,以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理解为只取实数部分，即,由条件E=0得，即要求,相位因子cos(kx-t)的意义,t=0时，相位因子是 coskx，x0的平面处于波峰,在另一时刻 t，相因子变为cos(kx-t)波峰移至kx-t处，即移至x
6、=t/k的平面上.,其相速度：,真空中电磁波的传播速度为,介质中电磁波的传播速度为,式中r和r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质的色散现象,选择了一个特殊坐标系，x轴沿电磁波传播方向,在一般坐标系下平面电磁波的表示式是,式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为,在特殊坐标系下，当k的方向取为x轴时，有k xkx，,图示表示沿k方向传播的平面电磁波,取垂直于矢量k的任一平面S，设P为此平面上的任一点，位矢为x，则kxkx，x为x在矢量k上的投影，在平面S上任意点的位矢在k上的投影都等于x，因而整个平面S是等相面,
7、k称为波矢量，其量值k称为园波数.沿电磁波传播方向相距为x=2/k的两点有相位差2，因此x是电磁波的波长,对上式必须加上条件E=0才得到电磁波解,因此,表示电场波动是横波,E可在垂直于k的任意方向上振荡.,矢量k方向传播的平面波,2弧度的波长数,E的取向称为电磁波的偏振方向可选与k垂直的任意两个互相正交的方向作为E的两个独立偏振方向,因此，对每一波矢量k，存在两个独立的偏振波,平面电磁波的磁场,n为传播方向的单位矢量由上式得k B=0，因此磁场波动也是横波,E、B和k是三个互相正交的矢量E和B同相，振幅比为,在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为,（用高斯单位制时，此比值为1，即电场与磁场量值
8、相等）,概括平面电磁波的特性如下,电磁波为横波,E和B都与传播方向垂直；E和B互相垂直，EB沿波矢k方向；E和B同相，振幅比为v,平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图所示随着时间的推移，整个波形向x轴方向的移动速度为,4电磁波的能量和能流,电磁场的能量密度,在平面电磁波情形,平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，有,平面电磁波的能流密度,v为电磁波在介质中的相速,由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入.,例如：,E的物理有意义部分为a，,计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入,为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式设f(t)和g(t)有复数表示,和S
9、都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的时间平均值,是f(t)和 g(t)的相位差.fg对一周期的平均值为,式中f*表示f的复共轭，Re表示实数部分,由此，能量密度和能流密度的平均值为,4.2 单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射,Reflection and Refraction of Monochromatic Plane Electromagnetic Wave at Interface of Medium,本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。,关于反射和折射的规律包括两个方面：,运动学规律:入射角、反射角和折射角
10、的关系；动力学规律:入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。,1、反射和折射定律（即相位关系）,研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。,一般情况下，电磁场的边值关系为：,介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电流，即,但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态（一定频率）电磁波时，介质界面上的边值关系只取下列两式：,也就是说,切向连续性,反射和折射定律,假若所考虑的交界面为一平面，即设 x-y 平面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在z=0 平面的上、下方的介质不同，如图所示,设入射波、反射波和折射波的电场强度为、
11、，波矢量分别为、。由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也是平面波。,把入射波、反射波和折射波写为：,由 可得磁场矢量为：,在 z=0 的平面所有的点必须满足边界条件。意味着：在 z=0 处，所有场的空间和时间变化必须相同。即，所有的相因子在 z=0 处必须相等.,波矢量方向之间的关系,边界条件,要使该式成立，只有,因为x、y、t 都是独立变量，必然有,因此,讨论：,由于，说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。,根据，假若，则必有 这说明反射波和折射波与入射波在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢 与分界面的法线 所组成的平面）。,根据,则,这就是折射定律，其中n
12、21为介质2相对于介质1的折射率，一般介质（除铁磁质外），故,为两介质的相对折射率。,2、菲涅耳公式（即振幅关系）,所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。,对每一个波矢 有两个独立的偏振波，所以只需要分别讨论电场 入射面和电场 入射面两种情况就可以了。,入射面,电场只有y分量，并入射面（纸面）指向外面。因为介质1中有入射波和反射波，介质2中只有折射波，根据边界条件（边值关系）：,即,考虑到,故有,联立、两式得,对于光波，,因此,入射面,这时磁场只有y分量，并入射面（纸面）指向外面，以表示。由边界条件，即在 z=0 的界面上有：,即,同理由 的关系,把上式中的
13、磁场换为电场。,从而得到：,即得,对于光波，,综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅耳公式。不过当时，菲涅耳是利用光的“以太”理论推导出来的。因此，这也有力地证示了光是电磁波的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波长由4000 到8000）的电磁波。,菲涅耳公式,利用菲涅耳公式讨论 偏振 半波损失 反射系数、透射系数,菲涅耳公式讨论：,垂直偏振：当 时，即反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反射波是完全的线偏振波.,根据,令此时的,Brewsters angle,由此可见，一个任意偏振的波，总可以分为平行和垂直入射面的两个入射波。平面波以布儒斯特角入射时，反射波只有垂直入射面偏振的
14、波，反射波和折射波传播方向互相垂直。,半波损失：当平面波从光疏介质入射到光密介质时（即n211）。根据折射定律,可知：,与入射波的相应分量反向,反射波与入射波位相相差，好象差个半波长，这种现象称为半波损失。,当平面波从光密介质入射到光疏介质时,反射波与入射波同位相，即没有半波损失。,由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和透射系数。反射系数（R）：反射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比透射系数（T）：折射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比。,入射面,入射波的能流平均值：,反射波的能流平均值：,折射波的能流平均值：,从而得到：,同理,容易证明：,符合能量守恒定律,3、全反射
15、,若，则，因此,即电磁波从介质1入射时，折射角入射角。,当 时，则。,全反射临界角,如果再增大入射角，使得，这时不能定义实数的折射角，因而将出现不同于一般反射折射的物理现象.,假设在这种情形下两介质中的电场形式仍然为,边值关系依旧成立，仍可得到,在，情形下有.,令,故折射波的传播因子为：,这里,即,折射波的电场为：,上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质2中传播的一种可能波模因为当z-时E，上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所研究的折射波只存在于z0的半空间中，因此，上式是一种可能的解,折射波将沿 z 方向衰减，沿 x 方向传播。因此，在全反射时，介质2中的电磁波并不为零，如果介质
16、2的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为表面波。,上式是沿x轴方向传播的电磁波，它的场强沿z轴方向指数衰减。因此，这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，该层厚度,1为介质1中的波长。一般来说，透入第二介质中的薄层厚度与波长同数量级。,折射波磁场强度,考虑 入射面：,与 同相,与 有900的相位差,折射波平均能流密度,由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿z轴方向透入第二介质的平均能流密度为零,虚数,以上推出的有关反射和折射的公式在 sinn21情形下形式上仍然成立。只要作对应,当 入射面时：,比较上式，
17、可得,欧拉公式,表示在全反射时，入射波和反射波振幅相同，两者存在相位差，因此反射波与入射波的瞬时能流值是不同的。只是 Sz 的平均值为零，其瞬时值不为零。由此可见，在全反射过程中第二介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入第二介质，在界面附近薄层内储存起来，在另一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。,当 入射面时：,其中,比较，可见，并与入射角有关，如果 入射波是线编振波，但其振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相差，因而是一个椭园偏振波，即一个线偏振波入射在介质界面上经过反射成了一个椭园偏振波。,4.3 有导体存在时电磁波的传播,Electromagnetic Wave
18、Propagation in Conduction Medium,本节所要研讨的问题是：导电介质中的电磁波的传播。由于导体内有自由电荷存在，在电磁波的电场作用下，自由电荷运动形成传导电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁波能量有损耗。由此可见，在导体内部的电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程中，电磁能量转化为热量。,1、导体内的自由电荷的分布,根据焦耳定律的微分形式,电荷守恒定律,Gauss 定理,衰减的特征时间为,电荷密度随时间指数衰减,因此，只要电磁波的频率满足,或,良导体条件,2、导体内的单色平面电磁波,导电介质与非导电介质的根本区别在于导电介质中有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存在，总
19、要引起传导电流。,因此，导体内部：,则Maxwell equs为：,令,从形式上看，与均匀介质中的情况完全相同,则有,令,同理：,运动方程,如果令,复波数,当电磁波从真空中入射到导体表面时，以 矢量表示真空中的波矢，表示导体内的波矢.,根据边值关系：,真空中 为实数，其值为,垂直于金属表面,因为良导体条件下,在导体内部，k也在入射面内,k2的实部可忽略,3、趋肤效应和穿透深度,根据,良导体：,则此时的电磁场形式为：,讨论：,从电磁场 可看到，复数波矢量，包含了两个部分：实部 是通常意义上的波矢量，而虚部 反映着电磁波在进入导体以后的衰减程度。,波振幅沿传播方向按指数衰减，为衰减常数。,例如对铜
20、来说，5 107S m-1，当频率为 50Hz时，0.9cm；当频率为 100MHz时，0.7 10-3cm因此，对于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应.,穿透深度,不良导体,进行泰勒展开，得,衰减很小，穿透深度很大.,例如对于1020Hz的X射线，铜的，X射线可以穿透铜板,相速度，可见，在导体中传播速度,由决定，称为相位常数，波长.,一般介质中：,金属中：,一般情况下，所以在导体中波长变短了。,良导体条件,在良导体中，电磁场的关系为：,磁场相位比电场相位滞后45,磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主要是磁场能量,能量密度,4、电磁波在导体
21、表面上的反射和折射,和绝缘介质情形一样，应用边值关系可以分析导体表面上电磁波的反射和折射问题在一般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显示出导体反射的特点因此这里只讨论垂直入射情形,设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透入导体内的折射波垂直入射情形，电磁场边值关系为：,入射方为真空，故,反射系数,电导率越高，发射系数越接近于1.测量结果证实此式的正确性。可以将金属近似看作理想导体，其反射系数接近于1.,由菲涅耳公式得到：（非垂直入射）,若电磁波从真空垂直入射到金属表面，即,故反射波和入射波的振幅之比为：,对于良导体，,从而,其中,反
22、射系数为：,设,5、导体内功率损耗问题,导体内的电场为：,其中略去了 因子，可见导体内的电流密度为,导体内单位体积内的平均功耗为：,导体表面单位面积的功耗为：,定义表面电流密度：,因为,故得,由此可见：,所以,与平均功率 比较，可见,导体表面电阻,在高频情况下：,相当于厚度为的薄层的直流电阻,单位面积下的导体在高频电磁波的电阻,4-4 谐振腔,1有界空间中的电磁波,在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡。这种类型的波称为横电磁（TEM）波.,从电磁波与导体的相互作用可知，电磁波主要是在导体以外的空间或绝缘介质内传播的，只有很小部分电磁能量透人导体表层内
23、,理想导体(电导率)，导体表面自然构成电磁波存在的边界.,2理想导体边界条件,实际导体虽然不是理想导体，但是象银或铜等金属导体，对无线电波来说，透入其内而损耗的电磁能量一般很小，接近于理想导体。因此，分析实际问题时，在第一级近似下，可以先把金属看作理想导体，把问题解出来，然后在第二级近似下，再考虑有限电导率引起的损耗。,在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波情形，两不同介质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为,式中n为由介质1指向介质2的法线。这两关系满足后，另外两个关于法向分量的关系自然能够满足。,取角标1、2分别代表理想导体和真空或绝缘介质。取法线由导体指向介质中。在理想导体情况下，导体内
24、部没有电磁场（对实际导体来说，应为导体内部足够深处，例如离表面几个穿透深度处，该处实际上已没有电磁场），因此，E1=H10。,导体表面边界条件,略去角标 2，以E和H表示介质一侧处的场强，有边界条件,自然满足,理想导体界面边界条件可以表述为：电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。,实际求解时，先看方程E=0对边界电场的限制往往是方便的。在边界面上，若取x，y轴在切面上，z轴沿法线方向，由于该处Ex=Ey=0，因此方程E=0在靠近边界上为 Ez/z0，即,例题：证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振的TEM电磁波。,解：设两导体板与y轴垂直。两导体平面上的边界条件为，,Ex=Ez=0,Hy
25、=0,若沿z轴传播的平面电磁波的电场沿y轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波(E与导体面相切)不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。所以在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。,实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件激发。低频无线电波采用LC回路产生振荡。在LC回路中，集中分布于电容内部的电场和集中分布于电感线圈内部的磁场交替激发，以一定频率振荡,3谐振腔,如果要提高谐振频率，必须减小L或C的值。频率提高到一定限度后，具有很小的C和L值的电容和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们内部，这时向外辐射的损耗随频率提高而增大。,
26、另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗亦增大。因此LC回路不能有效地产生高频振荡。在微波范围，通常采用具有金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。在光学中，也采用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。,如图，取金属壁的内表面分别为x0和L1，y=0和 L2,z0和L3面。腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量都满足亥姆霍兹方程。,设u(x,y,z)为E或H 的任一直角分量，有,矩形谐振腔内的电磁振荡,用分离变量法,令,分解为三个方程,例如考虑Ex,Ex对y=0和z=0面来说是切向分量，当y=0和z=0时Ex=0，不取coskyy和coskzz项。,对x=0壁面来说是法向分量，当 x=0时 Ex/x=0，不
27、取sinkxx项。,对Ey和Ez亦可作类似考虑,再考虑x=L1，y=L2，z=L3面上的边界条件，得kxL1，kyL2和kzL3必须为的整数倍，即,m，n，p分别代表沿矩形三边所含的半波数目。,式中含三个任意常数A1、A2 和A3由方程E=0，应满足关系,因此A1,A2 和A3中只有两个是独立的。,代表腔内的一种谐振波模，或称为腔内电磁场的一种本征振荡。对每一组（m,n,p）值，有两个独立偏振波模。,谐振频率,mnp称为谐振腔的本征频率。若m，n，p中有两个为零，则场强E=0。若L1L2L3，则最低频率的谐振波模为（1,1,0），其谐振频率为,相应的电磁波波长为,此波长与谐振腔的线度同一数量级
28、。在微波技术中通常用谐振腔的最低波模来产生特定频率的电磁振荡。,4.5 电磁波在波导中的传播,Electromagnetic Wave Propagation in Wave Guide,前面讨论了电磁波在无界空间的传播规律。在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，其电场和磁场都作横向振荡，通常把这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM波。本节主要讨论电磁波在有界空间波导中的传播，在这里将要解决两个问题：第一，波导中的电磁波怎样分布？是否存在TEM波？第二，频率多高或者波长多长的电磁波才能在波导中传播？,1、矩形波导中的电磁波,所谓波导（wave guide)是利用良导体制成的中空管
29、状传输线，是一种传播电磁能的工具（主要传输波长在厘米数量级的电磁波）。常见的有截面为矩形和圆形的，分别称为矩形波导和圆柱形波导。电磁波在波导中只能沿着管的轴线方向传播，这就使得波导中的电磁波与无界空间的电磁波在性质上有很大的差别，将会看到有界空间中传播的电磁波不是TEM波。,只讨论矩形波导，设矩形波导截面边长为a、b，z 轴沿波导管的轴线方向:,在一定频率下，介电常数和磁导率既不随时间变化，也与坐标无关。因此波导内电磁波应满足亥姆霍兹方程,由于波导中没有自由电荷和传导电流，即,波动方程,根据两种不同介质界面上的边值关系：,因为波导的内表面是我们所研究的场的边界，在这些边界上，电磁波满足界面条件
30、。设想界面是理想导体，电磁波穿透深度为0，导体内电磁场,自然满足,按照切向电场分量连续的关系,E1t=E2t(良导体 E1t=0，从而使得 E2t=0）。且在波导内表面处有：,边界条件,波导中电磁波满足的微分方程和边界条件：,波导中的电磁场分布情况：,因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿 z 轴方向传播，因而电场强度为：,代入亥姆霍兹方程，得到：,设u(x,y)为电磁场的任一直角分量，它满足上式,用分离变量法解这个微分方程：,要使上式成立，必须要求左边每一项等于常数，,而且要求：,从而有：,振动方程,A、B、C、D、kx、ky为待定常数。,得到沿 z 轴方向传播的电磁波电场的三个分量为：,其中,
31、要由边界条件和其它物理条件来确定。,边界条件,因此：,由边条件：,m，n的物理意义：,m代表沿波导管a边所对应的半波数目，同理，n代表沿波导管b边对应的半波数目.,设波矢 与a边的夹角为,在波导中，因为无自由电荷，即,即,只有两个是独立的，对于每一组（m,n）值，有两种独立波模.,E的解得出后，磁场 H为,对一定的(m,n),如果选一种波模具有Ez0，则该波模的A1/A2=ky/kx就完全确定，因而另一种波模必须有Ez0。,对 Ez0的波模，Hz0,波模为Ez=0()的波称为横电波（TEW）,因此在波导中传播的有如下特点：电场和磁场不能同时为横波.,波模为Hz=0()的波称为横磁波（TMW）,
32、TEW和TMW又按（m,n)值的不同而分为TEmn波和TMmn波。一般情况下，在波导中可以存在这些波的叠加。,3、讨论,根据 的各分量，波导内电磁场沿传播方向不能同时为零。因为如果Ez和Hz同时为零，即Ez=0，Hz=0.使得从而导致整个电磁场为零，所以说波导内不可能传播横电磁波。,然而，沿传播方向的分量不能同时为零，这一结论似乎与电磁波的横波性相矛盾。实际上，横波性是电磁波固有的性质。,这种现象出现在波导中之所以不好理解，是因为波导的轴线方向并不是波的真正传播方向，波导中的电磁波是在管壁上多次反射中而曲折的前进，由于这种多次反射波的叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波，而使叠加波沿轴线方向前进
33、。,在波导管的横截面上，场是谐变的。其分布情况直接取决于m和n这两个常数的值。不同的m和n的组合对应不同的场结构，称之为不同的波型或模式，一组（m,n）组成一个模式，TM波记为TMmn，TE波记为TEmn。在实际问题中，总是选定一个模式来传递电磁波的。,由，可以看到对于一定,尺寸的矩形波导（即a,b选定），如果选定某一模式TEmn或TMmn（m,n也确定），则从kz式中得出.,若电磁场的振荡频率足够大，使得而，是实数，根据场的表达式中因子，看到场沿着z方向传播，它是行波。若电磁场的振荡频率足够小，以致于 则 是纯虚数，显然由因子 看到，这不再是行波，而是场随着z的增加而指数衰减，所以此时电磁场不能在该波导内以TEmn或TMmn波型传播。,把能够在波导中传播的波的最低频率称为该波的截止频率(cut-off frequency）。,对于（m,n）型波的截止角频率为,只有频率 的电磁波才能在波导
