1、六年级数学第三单元正比例和反比例导学案六年级数学第三单元正比例和反比例导学案 杨 平第一课时 比例和比例的基本性质学习内容：课本第49页例1.例2学习目标：1使学生理解解比例的意义。2使学生进一步掌握比例的基本性质，学会应用比例的基本性质解比例。3让学生在解比例的过程中，培养学生主动学习知识的意识和能力，感受学习数学的乐趣，增强学习的兴趣重点和难点：比例的意义和基本性质。应用比例的意义或基本性质判断两个比能否组成比例，并能正确地组成比例自主学习：1什么叫做比？2什么叫做比值？3观察书中的一个表格，思考从中你发现什么？4什么叫比例？如何判定能否成比例？5将例2的4个比例中的两个外项和两个内项分别
2、相乘，你能发现什么？合作探究1、观察图片，出示表。竹竿长（m） 26影子长（m）392、观察上表，你发现了什么？总结比例的意义、各部分名称3、提问：什么叫做比例？组成比例的关键是什么？4、练习 下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来（1）610和915（2）205和145、出示例2： 1、将上面4个比例中的两个外项和两个内项分别相乘，你能发现什么？ 2、学生自己任选两三个比例，计算出它的外项积和内项积 3、明确：比例的基本性质 4、：如果把比例写成分数形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积有什么关系？为什么？ 表示两个比相等的式子叫做比例。在一个比例中，两端的两项叫做比例的外项
3、，中间的两项叫做比例的内项。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积这叫做比例的基本性质。思维拓展：（一）说一说比和比例有什么区别（二）填空在653025这个比例中，外项是（ ）和（ ），内项是（ ）和（ ）根据比例的基本性质可以写成（ ）（ ）（ ）（）小结：先由学生自己说，然后老师再归纳课后反思：在学习中，先复习有关比的知识，让学生在具体情境中通过观察、比较、交流等活动学习新知识，很好的理解比例的意义和性质，并能用学到的知识解决实际问题）第2课时 解比例学习内容 课本例3学习目标1.使学生理解解比例的意义。2使学生进一步掌握比例的基本性质，学会应用比例的基本性质解比例。3让学生在解比例的过程
4、中，培养学生主动学习知识的意识和能力，感受学习数学的乐趣，增强学习的兴趣重难点：解比例的方法自主学习：回顾旧知，复习铺垫1、谁能说一说什么叫做比例？比例的基本性质是什么？2、下面每组中的两个比是否能组成比例？为什么？1、6:3和8:4 2、判断两个比是否组成比例 6:3和8:4 3、自学例3，解比例根据什么？尝试练习 练习中的内容合作探究：1、什么叫解比例？我们知道比例共有四项，如果知道其中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。2、出示例3 解比例3、教师说明：这样解比例就变成解方程了，利用以前学过的解方程的方法就可以求出未知数X的值。因为解方程要写“
5、解：”，解比例也应写“解：”。4、学生说，教师板书解比例的过程。5、教师：从刚才解比例的过程，可以看出，解比例可以根据比例的基本性质把比例变成方程，然后用解方程的方法来求未知数x。 6、指名学生上黑板解比例7.小结：解比例可以根据比例的基本性质把比例变成方程，然后用解方程的方法来求未知数x。思维拓展：巩固练习：练习十一5题、6题。课后反思：本课中先引导学生复习比例的基本性质后让学生通过独立探究、合作交流的方式让学生自主学习解比例的有关知识，在教学中同时关注学生解答方法的多样性，效果很好。第3课时 学习内容：正比例学习目标：1.使学生通过具体问题情境认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两种量是
6、否成正比例关系，能找到生活中成正比例的实例，并进行交流。2.通过探索正比例意义的教学活动，使学生感受事物中充满着运动、变化的思想，并且特定的事物发展、变化是有规律的。3.通过观察、交流、归纳、推断等教学活动，感受数学思维过程的合理性，培养学生的观察能力、推理能力、归纳能力和灵活应用知识的能力认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两种量是否成正比例关系。重难点理解正比例的意义，感受事物中充满着运动、变化的思想，并且特定的事物发展、变化是有规律的。自主学习下面是居委会张阿姨负责的小区水费收缴情况，用这个表中的数能写成多少个有意义的比？哪些比能组成比例？把能组成的比例都写出来。住户 张家 赵家水费（
7、元） 15 20用水量（吨） 6 81、填写表一，思考从中发现什么规律？求一下每吨水的价钱2、填写表二，思考从中发现什么规律？求一下每吨水的价钱3、什么叫正比例关系？如何判定两个量是否成正比例关系合作学习：1.教学例1住户 张家 赵家 李家 周家 刘家 吴家水费（元）15 20 35 25 17.5用水量（吨）6 8 14 10 9观察这张表，独立思考后再讨论、交流：发现了什么规律？填写完整。同学们发现表格中的水费随着用水量的增加也在不断增加，像这样水费随着用水量的变化而变化，我们就说水费和用水量是相互关联的。水费除以用水量得到的每吨水单价始终是不变的，水费除以用水量得到的单价相等也可以说是水
8、费与用水量的比值相等，也就是一个固定的数。2.教学“试一试” 出示第52页下面的“试一试”。独立完成。用刚才我们研究例1的方法，自己分析这个表格中的数据吗？表中的路程和时间是相关联的量，路程随着时间的变化而变化。时间扩大若干倍，路程也扩大相同的倍数；时间缩小若干倍，路程缩小相同的倍数。路程与时间的比值是一定，它们间的关系写成路程时间=速度（一定）3.教学“议一议”谁能发现它们之间的共同点呢？4.结论：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系 巩固练习说一说生活中还有哪些是成正比例的量
9、完成练习十二的第1题课后反思：在本课教学中，我结合生活实际，让学生观察两种量的变化情况，启发学生发现什么不变，从而明确两个数量保持比值一定的变化，再去理解正比例的关系就非常简单。第4课时 学习内容 正比例的图像学习目标：1.初步认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画出图像，并会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。2.通过探索正比例关系图像的教学活动，使学生感受事物中充满着运动、变化、相互联系的思想。3.渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观念的启蒙教育重难点：认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有直角坐标系的方格纸上画出图像，并会根据其中
10、一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。自主学习：1.判断下面各题中的两种量是不是成正比例？为什么？中国少年报的单价一定，总价和订阅的数量。小明的跳高高度和他的身高。书的总页数一定，已经看的页数和未看的页数。水稻每公顷产量一定，水稻的公顷数和总产量。2.写出面粉质量与小麦质量的比，求出比值3.观察图像，写出你的发合作探究：1用小黑板出示例2小麦质量（kG）100 200 300 400面粉质量（kG）70 140 210 280仔细观察这个表，请你写出几组面粉质量与相对应的小麦质量的比，并比较比值的大小。说一说这个比值表示什么。表中的面粉质量和小麦质量成正比例吗？为什么？2.用图像表示正比例关
11、系出示空白坐标系。仔细观察这个图表，谁能明白这个图表所表示的意思？在这里引导学生认识图表要达到两个层次：第一层是横着的这根有箭头的轴即横轴，表示小麦质量，单位是千克，竖着的这根有箭头的轴即竖轴，表示面粉质量，单位也是千克；第二层，横轴上的数从左往右数据从0开始逐渐增加，竖轴上的数从下往上数据从0开始也是逐渐增加的。每一组数据你能用一个点来表示吗？翻开书54页，按照这样的描点方法，描出各点，并把描好的点连起来，形成一条直线。3认识正比例关系图像观察上图，你发现了什么？利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值。 4.总结：正比例的图像有什么特点巩固练习：练习作业完
12、成练习十二第4题。课后反思：在教学中结合生活实例设计问题让学生共同探究正比例图像的特点，让学生体会到正比例图像是一条直线，可以用图像直观表达正比例关系，体验到数学与生活的关系，培养学生的数学意识 第5课时学习内容 正比例应用题学习目标：1进一步理解正比例的意义，会运用正比例知识解决简单的实际问题。2通过运用正比例解决实际问题的活动，让学生体验数学的应用价值，培养学生解决问题的能力。3渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观念的启蒙教育重难点：运用正比例知识解决简单的实际问题自主学习：1.判断下面各题中的两种量是不是成正比例？为什么？（1）飞机飞行的速度一定，飞行的时间和航程。（2）梯形的上底和下
13、底不变，梯形的面积和高。（3）一个加数一定，和与另一个加数。（4）如果Y=3X,Y和X。用自己的方法解答例3尽量用不同的方法解答2、 题目中相关联的两种量是_和_。_一定，_和_成_比例关系。3、尝试列比例解答合作探究：1用小黑板出示例3告诉我们一个什么事情?需要解决什么问题？独立思考合作交流，2全班交流解答方法指导学生思考出：（1）19558=312（元），（2）195（58）=312（元），（3）195（85）=312（元）3尝试用正比例知识解答，学生独立思考，然后交流（1）题中有哪两种相关联的量？（2）题中什么量是不变的？一定的？（3）题中这两种相关联的量是什么关系？题中有所订报纸份数和
14、所付总钱数这两个相关联的量，它们的关系是所付总钱数所订报纸份数=每份报纸单价，而题中的每份报纸单价一定，因此所付总钱数和所订报纸份数成正比例关系。 运用我们前面所学的正比例知识，同学们会解答吗？准备怎样列比例式？尝试列式解答准备怎样验算？学生讨论验算方法，交流：4.小结：用正比例知识解决上面两个问题的时候，步骤是（1）设所求问题为X。（2）判断题中的两个相关联的量是否成正比例关系。（3）列出比例式。（4）解比例，验算，写答语 巩固练习： 完成练习十二的5，6，7题 课堂总结：学生自己谈收获，同桌交流 课后反思：课堂上通过与学生生活相关的事例，让学生独立尝试、探索交流，去理解正比例应用题的解答方
15、法，学生能主动思考，积极交流，很好掌握了应用题的解答方法。 第6课时学习内容：认识成反比例的量学习目标：1.使学生理解反比例的意义,能正确判断成反比例关系的量。2.经历反比例意义的构建过程，培养学生的探索发现能力和归纳概括能力。3.使学生体会反比例与生活的联系，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。 重难点：引导学生正确理解反比例的意义。正确判断两种量是否成反比例。自主学习：对口令1、同样的面包单价：2元个。老师说个数，学生对总价面包总价与个数之间有什么关系呢？它们成什么比例？为什么？2、共有30个苹果分给小朋友。老师说出小朋友的人数，学生回答分得的苹果个数。你有什么发现？3.如何判定两个量是否成正
16、比例4.通过预习，你认为成反比例的量的要求是什么？如何判定合作探究：1.感知几种不同的变化规律（1）某旅游公司的导游带领60名游客来到井冈山游览，准备分组活动，。每组人数 3 5 6 15 组数 20 12 10 4说说你是怎样算每组人数和组数的？说出自己的计算方法。从这个表中你发现了什么规律？（2）游览的第一天晚上，导游写了一篇情况总结，要把它存入电脑 每分打字（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50必须先算出哪个量？为什么？学生独立计算，然后集体订正。2.分类区别，概括意义 这些表有什么共同特点 每个表中的两种量都相关联。一种量变化另一种量也随着变化。一种
17、量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。两种量的变化方向正好相反。表中两种量相对应的两个数的乘积是一定的。3、概括得出反比例的意义4.举例 抽生说一说生活中还有哪些成反比例的量。5区分 路程20kM一定时，已行的路程和剩下的路程成比例吗？为什么？6.小结：学生先自由说，同桌交流，老师再总结两种相关联的量。一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。两种量相对应的两个数的乘积是一定的。像这样的两种量，叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。巩固练习：第60页课堂活动1题 2题 3题练习十三13题课堂总结：学生谈收获，同桌交流课后反思：在本节课上，以学生学习的正比例
18、意义为基础，结合实例让学生去主动、自觉去观察、分析、概括，从而发现反比例的意义，收获很大。 第7课时学习内容：反比例的应用 例2及练习十三46题学习目标：1.运用反比例知识解决简单的实际问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力。2.经历探索反比例应用的学习过程，体会反比例知识与生活的联系。3.使学生感受事物的普遍联系，受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。重难点：反比例的意义解决有关反比例的实际问题。理解反比例应用题的解题思路。自主学习：1.运一堆煤 根据表格中的内容，你能写出多少个等量关系式？车的载重量（T）2 3 A X辆数（辆） 12 8 6 Y2.判断 说明理由（1）当速度一定，路程和时间成
19、什么比例？（2）当时间一定，路程和速度成什么比例？（3）当路程一定，速度和时间成什么比例？3.用自己的方法解答例2尽量用不同的方法解答题目中相关联的两种量是_和_。_一定，_和_成_比例关系。4.尝试列比例解答合作探究：1 教学例2引导学生理解题意，找出题中的两种量。你还联想到了哪种量？（路程）上题中路程是一定的量吗？路程一定，速度和时间成什么关系？为什么？反馈：速度和时间是两种相关联的量，速度扩大或缩小几倍，时间反而缩小或扩大相同的倍数，它们的积（路程）一定，所以速度和时间成反比例。2解答例2（1）接着出示例2后面的内容：“出发时接到紧急通知要求3时之内必须到达，他们每时至少需行多少千米？”
20、现在增加的这个条件和问题应该对应在表的哪个位置？（2）合作学习：要求学生独立思考后，再试着用多种方法解答这个问题，然后在小组内交流。学生活动，教师巡视指导。（3）集体交流 这样列式的根据是什么？3.小结：用反比例意义解决问题的步骤：1：认真审题，弄清已知和所求的问题，判断两种相关联的量是否成反比例。2：设未知数x。3：根据反比例的意义列出等式，并解答。4：检查验算。巩固练习：练习十三第4题，先独立完成，再集体订正。 完成练习十三5题和6题。思维拓展：修一条路，原计划每天修400M，25天完成。实际前4天修200M，照这样的速度，修完要用多少天？课后反思：课堂上通过与学生生活相关的事例，让学生独
21、立尝试、探索交流，去理解正比例应用题的解答方法，学生能主动思考，积极交流，很好掌握了应用题的解答方法。 第8课时学习内容：综合练习学习目标：1通过练习，使学生进一步理解并掌握反比例的意义，会正确判断两种相关联的量是否成反比例，并能解决简单的实际问题。2进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。3结合实例，培养学生仔细分析、主动探索的良好的学习习惯。重难点：能根据比例的意义，解决相关的实际问题。 自主学习：你知道哪些有关反比例的知识,学生独立思考，再抽学生回答合作探究：1观察下面三个表（1）表1中哪种量是一定的？每天烧煤量和烧的天数成什么比例？每天烧煤量（kG）20 40 50 100烧的天数 5
22、0 25 20 10（2）表2哪种量是一定的？用去的煤和剩下煤的吨数成比例吗？ 用去的煤（吨） 15 14 12 11剩下的煤（吨） 5 6 8 9 2判断 下面各题中的两种量是否成比例。如果成比例，成什么比例？（1）平行四边形的面积一定，它的底和高。（2）一筐桃平均分给猴子，猴子的只数和每只猴子分的个数。（3）报纸的单价一定，订阅的份数与总价。（4）小刚跳高的高度和他的身高。3巩固练习一辆汽车从甲地开往乙地，每时行70kM，5时到达。如果要4时到达，每时需要行驶多少千米？读题，理解题意。尝试列式解答吗？4用比例知识解答（1）同学们做广播操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站
23、多少行？（2）用同样的砖铺地，铺18M2要用618块砖。如果铺24M2，要用多少块砖？5、变式提高练习按规律填数。（1）（1，36），（2，18），（3，12），（4，），（5，）（2）15，210，315，4()，()25（3）81，27，（），3，1，（）反思：通过本节课的训练，学生的思维能力和理解题意能力有所提高，但个别学生做题时不求甚解，急于解答，需要以后加以练习。 第9课时 学习内容：整理与复习 学习目标：1让学生参与系统、全面整理知识的过程，梳理本单元的所学知识， ，构建知识网络。2通过本单元知识的复习，比较熟练掌握比例知识，并能解决一些实际问题。3培养学生自主归纳、整理知识的兴趣
24、和能力。重难点：整理本单元知识，沟通知识间的联系。灵活运用正、反比例的意义，解决实际问题。自主学习提纲：一、梳理单元知识，形成知识网络1方法回顾以前我们是怎样整理单元知识的？ 四人小组进行交流。2学生汇报交流汇报整理结果 根据学生的整理，大家提出建议并进行修改。二、复习本单元知识1完成练习十四第1题 这两面国旗的长和宽的比，是否可以组成比例？如果可以组成比例，把组成的比例写出来，并指出这个比例的内项和外项说说什么叫做比？什么叫做比例？比和比例有什么区别？2、完成练习十四第3题。什么叫做解比例？指名板演，学生练习后讲评。3正、反比例关系的判断（1）判断下面各题中两种量是否成比例。如果成比例，成什
25、么比例？正方形的边长与周长。行驶一段路程，车轮的直径与车轮转过的转数。Y=5X，Y和X。 YX=24，Y和X。（2）说出下列各组中的三种量在什么条件下能组成什么比例关系。速度，时间，路程。汽车每次运货吨数，运货的次数和运货的总吨数。三角形的底、高和面积。（3）什么叫正比例关系？什么叫反比例关系？它们间有什么联系和区别？梳理判断两种量是否成正（反）比例的思考步骤。先找出两种相关联的量和一个定量。根据两种相关联的量之间的数量关系，列出关系。根据正、反比例的意义，判断比例关系。（4）用比例知识解决下面的问题（练习十四第6题）。用比例知识解答应用题的关键是什么？解题的步骤有哪些？注意什么问题？ 设所求
26、问题为X。判断题中的两个相关联的量是否成比例关系及成什么比例关系。列出比例式。解比例，验算，写答语。三、拓展应用练习指导学生完成练习十四第9题 独立完成，教师巡视，集体评议。 完成练习十四第10题课后反思：通过练习，学生对于正比例和反比例的意义和利用知识解决实际问题有牢固的掌握。有效提高分析问题的能力，能综合运用所学知识解决实际问题。 第10课时 学习内容：单元测试 学习目标：检查学生对单元知识的掌握情况 测试过程： 一、填空。(1)运一批粮食，卡车的载重量和所需要的次数如下表：每次运的重量/吨34568所需次数4030242012把上表中空的格子填完整。表中涉及到这批粮食总质量、()、()三
27、种量，其中()是一定的，()和()是相关联的量，它们成()比例。(2)在比例尺、图上距离、实际距离这三个量中：当比例尺一定时，()和()成()比例；当图上距离一定时，()和()成()比例； 当实际距离一定时，()和()成()比例。(3)教室的面积一定，这个班的学生人数与平均每人占地面积成()比例。(4)如果a和b成正比例，b和c成正比例，那么a和c成()比例。(5)小学生故事报的定价一定，订阅的份数和所需要的总钱数成()比例。(6)大豆油的总质量一定，大豆的千克数和出油率成()比例。(7)圆的半径和周长成()比例。长方形的周长一定，长和宽()比例。(8)一根铁丝用去的长度和剩下的长度()比例。
28、(9)长度一定的铁丝，平均分成若干段，每段的长度和截的段数成( )比例。(10)圆柱的高一定,它的底面积和体积成()比例。二、判断。对的在题后的括号里画“”，错的画“”(1)两个加数的和一定，一个加数和另一个加数成正比例。( )(2)相关联的两个量不是成正比例就是成反比例。( )(3)如果a和b成正比例，a扩大10倍，b也随着扩大10倍。( )(4)如果a和b成正比例，b和c成反比例，那么a和c一定成反比例。( )(5)工作时间一定，生产每个零件所需要的时间和生产零件的总个数成正比例。三、解答下列各题。(1)一辆汽车每时行90千米。 填下表：时间/时123456路程/千米90 时间和路成()比例，理由是( )。 (2)新星小学去旅游，用4辆同样的客车每次可以运送224名学生，用13辆这样的客车，每次可以运送多少名学生？课后反思：学生对于基础知识掌握相对较好，能正确利用所学知识解决实际问题，但个别学生计算能力较弱，错误较大，还需要个别辅导。
